Kontinuitetsekvation för axelsymmetriskt flöde
(a)
Konsultera ett axelsymmetriskt flödesfält som uttrycks i termer av det cylindriska koordinatsystemet (r, φ, z), där alla flödesvariabler är oberoende av den azimutala vinkeln φ – till exempel det axiella flödet över en kropp med en rotation. Om hastighetskomponenterna (u, w) motsvarar koordinatriktningarna (r, z), visa att kontinuitetsekvationen ges av
(b)
Visa att kontinuitetsekvationen automatiskt kan uppfyllas av en strömningsfunktion ψ av en sådan form att
2.2
Kontinuitetsekvation för tvådimensionellt flöde i polarkoordinater
(a)
Det gäller ett tvådimensionellt flödesfält uttryckt i termer av det cylindriska koordinatsystemet (r, φ, z), där alla flödesvariabler är oberoende av den azimutala vinkeln φ – till exempel flödet över en cirkulär cylinder. Om hastighetskomponenterna (u, v) motsvarar koordinatriktningarna (r, φ), visa att kontinuitetsekvationen ges av
(b)
Visa att kontinuitetsekvationen automatiskt kan uppfyllas av en strömningsfunktion ψ av en sådan form att
2.3
Transportekvation för förorening i ett tvådimensionellt strömningsfält
I många tekniska tillämpningar är man intresserad av transporten av en förorening genom vätskeflödet. Föroreningen kan vara allt från en förorenande kemikalie till partiklar. För att härleda den styrande ekvationen måste man inse att, förutsatt att föroreningen inte skapas inom flödesfältet, är föroreningens massa bevarad. Det förorenande materialet kan transporteras genom två olika fysikaliska mekanismer, konvektion och molekylär diffusion. Låt C vara koncentrationen av förorening (dvs, massa per volymenhet vätska); transporthastigheten för förorening per ytenhet ges då av
där i och j är enhetsvektorerna i x- respektive y-riktningen, och D är diffusionskoefficienten (enheter m2/s, samma som den kinematiska viskositeten).
Observera att diffusion transporterar föroreningen nedåt i koncentrationsgradienten (dvs, transporten sker från en högre till en lägre koncentration), därav minustecknet. Det är analogt med värmeledning.
(a)
Det är fråga om en oändligt liten rektangulär kontrollvolym. Anta att ingen förorening produceras i den och att föroreningen är tillräckligt utspädd för att vätskeflödet ska förbli oförändrat. Genom att betrakta en massbalans för kontrollvolymen, Visa att transportekvationen för en förorening i ett tvådimensionellt flödesfält ges av
(b)
Varför är det nödvändigt att anta en utspädd suspension av föroreningen? Hur skulle transportekvationen se ut om detta antagande inte gjordes? Slutligen, hur skulle ekvationen kunna ändras för att ta hänsyn till att föroreningen produceras genom en kemisk reaktion med en hastighet av m˙c per volymenhet.
2.4
Eulerekvationer för axelsymmetriskt flöde
(a)
För flödesfältet och koordinatsystemet i övning 2.1, visa att Euler-ekvationerna (inviskida impulsekvationer) har formen
2.5
Navier-Stokes ekvationer för tvådimensionellt axsymmetriskt flöde
(a)
Visa att töjningshastigheterna och vorticiteten för ett axsymmetriskt visköst flöde som det som beskrivs i övning 2.1 ges av
Tips: Observera att den azimutala töjningshastigheten inte är noll. Det enklaste sättet att bestämma den är att inse att ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 måste vara ekvivalent med kontinuitetsekvationen. (b)
Visa att Navier-Stokes ekvationer för axsymmetriskt flöde ges av
2.6
Eulerekvationer för tvådimensionellt flöde i polära koordinater
(a)
För det tvådimensionella flöde som beskrivs i övning 2.2, visa att Euler-ekvationerna (inviskida impulsekvationer) har formen
Tips: (i) De impulskomponenter som är vinkelräta mot och går in i och ut ur elementkontrollvolymens sidoytor har små komponenter i radiell riktning som måste beaktas; likaså (ii) har de tryckkrafter som verkar på dessa ytor små radiella komponenter. 2.7
Visa att deformationer och vorticitet för flödet och koordinatsystemet i övning 2.6 ges av
Tips: (i) Sidoytans förvrängningsvinkel (β) måste definieras i förhållande till den linje som förbinder ursprunget O med centrum för den infinitesimala kontrollvolymen. 2.8
Flödet i den smala springan (med bredden h) mellan två koncentriska cylindrar med längden L, där den inre cylindern med radien R roterar med vinkelhastigheten ω, kan approximeras med Couette-lösningen till Navier-Stokes ekvationer. Visa att det vridmoment T och den effekt P som krävs för att rotera axeln med en rotationshastighet på ω rad/s ges av
2.9
Axisymmetriskt stagnationspunktionsflöde
Gör en liknande analys som den som beskrivs i avsnitt 2.10.3 med hjälp av den axsymmetriska formen av Navier-Stokes ekvationer som gavs i övning 2.5 för axsymmetriskt stagnationspunktsflöde, och visa att ekvivalenten till ekv. (2.118) är