軸対称流の連続性方程式
(a)
すべての流れ変数が方位角φに依存しない、円柱座標系（r、φ、z）で表される軸対称の流れ場、例えば回転体上の軸方向流を考えてみる。 速度成分 (u, w) がそれぞれ座標方向 (r, z) に対応する場合。 (b)
連続性方程式は
2.2
極座標における2次元流れの連続式
(a)
すべての流れ変数が方位角φに依存しない円筒座標系（r, φ, z）で表される2次元流れ場-例えば円柱上の流れ-を考えてみよう。 速度成分 (u, v) がそれぞれ座標方向 (r, φ) に対応する場合。 (b)
連続性方程式は次のような形の流線関数ψによって自動的に満たされることを示せ
(a)連続性方程式は次のような形である。v=-∂ψ∂r 2.3
2次元流れ場における汚染物質の輸送方程式
多くの工学的応用において、流体流れによる汚染物質の輸送に関心がある。 汚染物質は汚染化学物質から粒子状物質まで何でもあり得る。 支配方程式を導くには、汚染物質が流れ場の中で生成されない限り、汚染物質の質量は保存されることを認識する必要がある。 汚染物質は、対流と分子拡散という2つの異なる物理的なメカニズムによって輸送される可能性がある。 汚染物質の濃度をCとする（すなわち。 ここで、iとjはそれぞれxとy方向の単位ベクトルであり、Dは拡散係数（単位m2/s、動粘性と同じ）である。）
拡散は汚染物質を濃度勾配下に輸送することに注意する(すなわち, 輸送は高濃度から低濃度へ）、そのためマイナス記号が付されている。 これは熱伝導に類似している。
(a)
無限小の直方体のコントロールボリュームを考える。 その中で汚染物質が生成されず、汚染物質が十分に希釈されて流体の流れが変わらないと仮定する。 制御体積の物質収支を考える。 2次元の流れ場における汚染物質の輸送方程式が
(b)
なぜ汚染物質を薄く浮かべる必要があるか… 汚染物質を薄くすると、汚染物質が濃度を失う。 この仮定がない場合、輸送方程式はどのような形になるのでしょうか。 最後に、汚染物質が単位体積あたりm˙cの割合で化学反応によって生成されることを考慮して、どのように方程式を修正すればよいでしょうか。
2.4
軸対称流に対するオイラー方程式
(a)
練習問題2の流れ場と座標系に対して。1 の流れ場と座標系に対して、オイラー方程式（非粘性運動量方程式）は
2の形になることを示している。5
二次元軸対称流のNavier-Stokes方程式
(a)
練習問題2.で述べたような軸対称粘性流のひずみ率と渦度について示すこと。
ヒントは方位線歪率が0ではないと注意すること。 最も簡単な決め方は、ε˙r+ε˙φ+ε˙zz=0が連続の式と等価でなければならないことを認識することである。 (b)
ナヴィエ方程式が連続の方程式と等価であることを示せ。Stokes equations for axisymmetric flow are given by
2.6
極座標の2次元流れに対するオイラー方程式
(a)
練習問題2.で述べた2次元の流れに対して、その流れがどのようになるか。2, show that the Euler equations (inviscid momentum equations) take the form
Hints: (i)要素制御体積の側面に垂直で出入りする運動量成分は、半径方向の成分が小さく、これを考慮しなければならない。同様に(ii)これらの面に作用する圧力力は、半径方向の成分が小さい。 2.7
演習問題2.の流れおよび座標系におけるひずみ率と渦度について示す.6は
ヒントです。 (i) 側面の歪み角(β)は、原点Oと無限小コントロールボリュームの中心を結ぶ線に対して定義する必要がある。 2.8
長さLの2本の同心円筒の間の狭い隙間（幅h）の流れは、内側の半径Rの円筒が角速度ωで回転しているので、ナビエ・ストークス方程式のクエット解で近似することができる。 回転速度ωrad/sで軸を回転させるのに必要なトルクTと電力Pは
2.9
軸対称停滞点流
2.2項と同様の解析を行い、軸対称の滞留点流が発生することを示せ。10.3節と同様の解析を, 演習2.5で与えたナビエ・ストークス方程式の軸対称形式を用いて行い, 式(2.118)に相当するものがであることを示す.