Continuïteitsvergelijking voor asymmetrische stroming
(a)
Beschouw een asymmetrisch stromingsveld uitgedrukt in termen van het cilindrische coördinatenstelsel (r, φ, z), waarin alle stromingsvariabelen onafhankelijk zijn van de azimutale hoek φ-bijvoorbeeld de axiale stroming over een omwentelingslichaam. Als de snelheidscomponenten (u, w) corresponderen met de coördinatenrichtingen (r, z), respectievelijk, laat dan zien dat de continuïteitsvergelijking gegeven wordt door
b)
Ontdek dat aan de continuïteitsvergelijking automatisch voldaan kan worden door een stroomfunctie ψ van een zodanige vorm dat
2.2
Continuïteitsvergelijking voor tweedimensionale stroming in poolcoördinaten
a)
Beschouw een tweedimensionaal stromingsveld uitgedrukt in termen van het cilindrische coördinatenstelsel (r, φ, z), waarin alle stromingsvariabelen onafhankelijk zijn van de azimutale hoek φ-bijvoorbeeld de stroming over een cirkelvormige cilinder. Als de snelheidscomponenten (u, v) corresponderen met de coördinaatrichtingen (r, φ), respectievelijk, laat dan zien dat de continuïteitsvergelijking gegeven wordt door
b)
Ontdek dat aan de continuïteitsvergelijking automatisch voldaan kan worden door een stroomfunctie ψ van een zodanige vorm dat
2.3
Transportvergelijking voor verontreiniging in tweedimensionaal stromingsveld
In veel technische toepassingen is men geïnteresseerd in het transport van een verontreiniging door de vloeistofstroming. De verontreiniging kan van alles zijn, van een verontreinigende chemische stof tot zwevende deeltjes. Om de vergelijking af te leiden moet men erkennen dat, op voorwaarde dat de verontreiniging niet binnen het stromingsveld wordt gecreëerd, de massa van de verontreiniging behouden blijft. De verontreinigende stof kan worden getransporteerd door twee verschillende fysische mechanismen, convectie en moleculaire diffusie. Stel dat C de concentratie van de verontreiniging is (d.w.z, massa per volume-eenheid vloeistof); de transportsnelheid van de verontreiniging per oppervlakte-eenheid wordt dan gegeven door
waar i en j de eenheidsvectoren in respectievelijk de x- en y-richting zijn, en D de diffusiecoëfficiënt (eenheden m2/s, dezelfde als de kinematische viscositeit).
Merk op dat diffusie de verontreiniging langs de concentratiegradiënt transporteert (d.w.z, het transport is van een hogere naar een lagere concentratie); vandaar het minteken. Het is analoog aan thermische geleiding.
(a)
Beschouw een infinitesimaal rechthoekig controlevolume. Veronderstel dat daarin geen verontreiniging wordt geproduceerd en dat de verontreiniging voldoende verdund is om de vloeistofstroom ongewijzigd te laten. Door een massabalans voor het controlevolume te beschouwen, toon aan dat de transportvergelijking voor een verontreiniging in een tweedimensionaal stromingsveld gegeven wordt door
b)
Waarom moet worden uitgegaan van een verdunde suspensie van de verontreiniging? Hoe zou de transportvergelijking eruit zien als deze aanname niet zou worden gemaakt? En tenslotte, hoe zou de vergelijking gewijzigd kunnen worden om rekening te houden met een chemische reactie van de verontreiniging met een snelheid van m˙c per volume-eenheid.
2.4
Eulervergelijkingen voor asymmetrische stroming
a)
Voor het stromingsveld en coördinatenstelsel van Oefening 2.1, tonen aan dat de Euler vergelijkingen (inviscide momentumvergelijkingen) de vorm
2.5
Navier-Stokes-vergelijkingen voor tweedimensionale asymmetrische stroming
a)
Ontdek dat de reksnelheden en de vorticiteit voor een asymmetrische viskeuze stroming zoals die beschreven in Oefening 2.1 worden gegeven door
Hint: Merk op dat de azimutale reksnelheid niet nul is. De eenvoudigste manier om deze te bepalen is in te zien dat ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 equivalent moet zijn met de continuïteitsvergelijking. (b)
Ontdek dat de Navier-Stokesvergelijkingen voor axisymmetrische stroming gegeven worden door
2.6
Eulervergelijkingen voor tweedimensionale stroming in poolcoördinaten
a)
Voor de tweedimensionale stroming beschreven in Oefening 2.2, toon aan dat de Euler-vergelijkingen (inviscide impulsvergelijkingen) de vorm
Hints: (i) De impulscomponenten die loodrecht op de zijvlakken van het elementaire regelvolume staan en deze binnenkomen en verlaten, hebben kleine componenten in radiale richting waarmee rekening moet worden gehouden; evenzo (ii) hebben de drukkrachten die op deze zijvlakken werken, kleine radiale componenten. 2.7
Ontdek dat de reksnelheden en de vorticiteit voor de stroming en het coördinatenstelsel van Oefening 2.6 gegeven zijn door
Hint: (i) De vervormingshoek (β) van het zijvlak moet worden gedefinieerd ten opzichte van de lijn die de oorsprong O verbindt met het middelpunt van het infinitesimaal regelvolume. 2.8
De stroming in de nauwe spleet (met breedte h) tussen twee concentrische cilinders met lengte L, waarvan de binnenste met straal R roteert met hoeksnelheid ω, kan benaderd worden met de Couette-oplossing van de Navier-Stokes-vergelijkingen. Laat zien dat het koppel T en het vermogen P, benodigd om de as bij een rotatiesnelheid van ω rad/s te doen draaien, gegeven worden door
2.9
Axisymmetrische stagnatiepuntstroming
Voer een soortgelijke analyse uit als die beschreven in par. 2.10.3 met behulp van de asymmetrische vorm van de Navier-Stokes-vergelijkingen uit Oefening 2.5 voor asymmetrische stagnatiepuntstroming, en laat zien dat het equivalent van Eq. (2.118) is