Equazione di continuità per un flusso assialsimmetrico
(a)
Consideriamo un campo di flusso assialsimmetrico espresso in termini del sistema di coordinate cilindriche (r, φ, z), dove tutte le variabili di flusso sono indipendenti dall’angolo azimutale φ – per esempio, il flusso assiale su un corpo di rivoluzione. Se le componenti della velocità (u, w) corrispondono alle direzioni delle coordinate (r, z), rispettivamente, mostrare che l’equazione di continuità è data da
(b)
Mostra che l’equazione di continuità può essere automaticamente soddisfatta da una funzione di flusso ψ di forma tale che
2.2
Equazione di continuità per un flusso bidimensionale in coordinate polari
(a)
Consideriamo un campo di flusso bidimensionale espresso in termini del sistema di coordinate cilindriche (r, φ, z), dove tutte le variabili di flusso sono indipendenti dall’angolo azimutale φ – per esempio, il flusso su un cilindro circolare. Se le componenti della velocità (u, v) corrispondono alle direzioni delle coordinate (r, φ), rispettivamente, mostra che l’equazione di continuità è data da
(b)
Mostra che l’equazione di continuità può essere automaticamente soddisfatta da una funzione di flusso ψ di forma tale che
2.3
Equazione di trasporto per un contaminante in un campo di flusso bidimensionale
In molte applicazioni ingegneristiche si è interessati al trasporto di un contaminante dal flusso del fluido. Il contaminante potrebbe essere qualsiasi cosa, da una sostanza chimica inquinante al particolato. Per derivare l’equazione di governo si deve riconoscere che, a condizione che il contaminante non venga creato all’interno del campo di flusso, la massa del contaminante è conservata. La materia contaminante può essere trasportata da due meccanismi fisici distinti, la convezione e la diffusione molecolare. Sia C la concentrazione del contaminante (cioè massa per unità di volume di fluido); allora la velocità di trasporto del contaminante per unità di superficie è data da
dove i e j sono i vettori unitari nelle direzioni x e y rispettivamente, e D è il coefficiente di diffusione (unità m2/s, lo stesso della viscosità cinematica).
Nota che la diffusione trasporta il contaminante lungo il gradiente di concentrazione (cioè, il trasporto avviene da una concentrazione più alta a una più bassa); da qui il segno meno. È analogo alla conduzione termica.
(a)
Considera un volume di controllo rettangolare infinitesimo. Supponiamo che nessun contaminante sia prodotto al suo interno e che il contaminante sia sufficientemente diluito da lasciare il flusso del fluido invariato. Considerando un bilancio di massa per il volume di controllo, mostra che l’equazione di trasporto per un contaminante in un campo di flusso bidimensionale è data da
(b)
Perché è necessario assumere una sospensione diluita del contaminante? Che forma avrebbe l’equazione di trasporto se non si facesse questa assunzione? Infine, come si potrebbe modificare l’equazione per tenere conto del fatto che il contaminante è prodotto da una reazione chimica al tasso di m˙c per unità di volume.
2.4
Equazioni di Eulero per un flusso assialsimmetrico
(a)
Per il campo di flusso e il sistema di coordinate dell’Esercizio 2.1, mostrare che le equazioni di Eulero (equazioni del momento inviscido) assumono la forma
2.5
Equazioni di Navier-Stokes per un flusso asimmetrico bidimensionale
(a)
Si dimostri che le velocità di deformazione e la vorticità per un flusso viscoso asimmetrico come quello descritto nell’Esercizio 2.1 sono dati da
Suggerimento: Si noti che il tasso di deformazione azimutale non è zero. Il modo più semplice per determinarlo è riconoscere che ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 deve essere equivalente all’equazione di continuità. (b)
Si dimostri che le equazioni di Navier-Stokes per il flusso asimmetrico sono date da
2.6
Equazioni di Eulero per il flusso bidimensionale in coordinate polari
(a)
Per il flusso bidimensionale descritto nell’Esercizio 2.2, mostra che le equazioni di Eulero (equazioni della quantità di moto inviscida) assumono la forma
Consigli: (i) Le componenti di quantità di moto perpendicolari alle facce laterali del volume di controllo elementare, che entrano ed escono, hanno piccole componenti in direzione radiale che devono essere prese in considerazione; allo stesso modo (ii) le forze di pressione che agiscono su queste facce hanno piccole componenti radiali. 2.7
Si dimostri che i tassi di deformazione e la vorticità per il flusso e il sistema di coordinate dell’Esercizio 2.6 sono dati da
Consiglio: (i) L’angolo di distorsione (β) della faccia laterale deve essere definito rispetto alla linea che unisce l’origine O al centro del volume di controllo infinitesimale. 2.8
Il flusso nello stretto spazio (di larghezza h) tra due cilindri concentrici di lunghezza L, con quello interno di raggio R che ruota a velocità angolare ω, può essere approssimato dalla soluzione di Couette alle equazioni di Navier-Stokes. Mostrare che la coppia T e la potenza P richieste per far ruotare l’albero a una velocità di rotazione di ω rad/s sono date da
2.9
Flusso asimmetrico a punto di stagnazione
Svolgere un’analisi simile a quella descritta nella Sezione 2.10.3 utilizzando la forma asimmetrica delle equazioni di Navier-Stokes date nell’Esercizio 2.5 per il flusso asimmetrico del punto di stagnazione, e dimostrare che l’equivalente della Eq. (2.118) è