A tengelyszimmetrikus áramlás folytonossági egyenlete
(a)
Fogalmazzunk egy tengelyszimmetrikus áramlási mezőt a hengeres koordinátarendszerben (r, φ, z), ahol minden áramlási változó független a φ azimutális szögtől – például egy forgástest feletti axiális áramlás. Ha a sebességkomponensek (u, w) megfelelnek az (r, z) koordinátairányoknak, mutassuk meg, hogy a folytonossági egyenletet a
b)
Mutassuk meg, hogy a folytonossági egyenlet automatikusan kielégíthető egy olyan alakú ψ áramlási függvénnyel, hogy
2.2
Kétdimenziós áramlás folytonossági egyenlete polárkoordinátákban
(a)
Feldolgozzunk egy kétdimenziós áramlási mezőt a hengeres koordinátarendszerben (r, φ, z) kifejezve, ahol minden áramlási változó független a φ azimutális szögtől – például egy körhenger feletti áramlás. Ha a sebességkomponensek (u, v) megfelelnek az (r, φ) koordinátairányoknak, mutassuk meg, hogy a folytonossági egyenletet a
b)
Mutassuk meg, hogy a folytonossági egyenlet automatikusan kielégíthető egy olyan alakú ψ áramlási függvénnyel, hogy
2.3
Szennyezőanyag szállítási egyenlete kétdimenziós áramlási mezőben
Szennyezőanyag szállítása kétdimenziós áramlási mezőben
Egy szennyezőanyag folyadékáramlás általi szállítása számos műszaki alkalmazásban érdekel. A szennyező anyag lehet bármi, a szennyező vegyi anyagtól kezdve a részecskékig. Az irányadó egyenlet levezetéséhez fel kell ismerni, hogy amennyiben a szennyező anyag nem keletkezik az áramlási mezőben, a szennyező anyag tömege megmarad. A szennyező anyagot két különböző fizikai mechanizmus, a konvekció és a molekuláris diffúzió révén lehet szállítani. Legyen C a szennyező anyag koncentrációja (azaz, a folyadék egységnyi térfogatára jutó tömeg); akkor a szennyezőanyag egységnyi területre vonatkoztatott szállítási sebességét a
megadja, ahol i és j az x és y irányú egységvektorok, D pedig a diffúziós együttható (egységnyi m2/s, megegyezik a kinematikai viszkozitással).
Megjegyezzük, hogy a diffúzió a szennyező anyagot a koncentrációs gradiens mentén lefelé szállítja (azaz, a szállítás magasabb koncentrációból alacsonyabb koncentrációba történik); ezért a mínusz előjel. Ez analóg a hővezetéssel.
a)
Fogalmazzunk meg egy végtelenül kicsi, téglalap alakú szabályozási térfogatot. Tegyük fel, hogy nem keletkezik benne szennyező anyag, és hogy a szennyező anyag kellően híg, hogy a folyadékáramlás változatlan maradjon. Tekintsük a kontrolltérfogat tömegmérlegét, mutassa meg, hogy a szennyező anyag transzportegyenlete kétdimenziós áramlási mezőben a következő:
(b)
Miért szükséges híg szennyező anyag szuszpenziót feltételezni? Milyen alakot öltene a transzportegyenlet, ha ezt a feltevést nem tennénk? Végül, hogyan lehetne az egyenletet úgy módosítani, hogy figyelembe vegyük, hogy a szennyező anyag egy kémiai reakció során térfogategységenként m˙c sebességgel keletkezik.
2.4
Euler-egyenletek tengelyszimmetrikus áramlásra
(a)
A 2. feladat áramlási mezejére és koordinátarendszerére.1. mutassuk meg, hogy az Euler-egyenletek (inviscid impulzusegyenletek) a
2 formát veszik fel.5
Navier-Stokes-egyenletek kétdimenziós tengelyszimmetrikus áramlásra
a)
Mutassa meg, hogy a 2. feladatban leírtakhoz hasonló tengelyszimmetrikus viszkózus áramlás esetén az alakváltozási sebességek és az örvényesség.1 leírt áramlási sebességet a
Tipp: Vegyük észre, hogy az azimutális alakváltozási sebesség nem nulla. A legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, ha felismerjük, hogy ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 egyenértékűnek kell lennie a folytonossági egyenletnek. (b)
Mutassa meg, hogy a Navier-Stokes-egyenleteket tengelyszimmetrikus áramlásra a
2 adja.6
Euler-egyenletek kétdimenziós áramláshoz polárkoordinátákban
a)
A 2. feladatban leírt kétdimenziós áramláshoz.2. mutassa meg, hogy az Euler-egyenletek (inviscid momentumegyenletek) a következő alakot veszik fel
Tippek: (i) Az elemi szabályozási térfogat oldalfelületeire merőleges, illetve azokba belépő és azokból kilépő impulzusösszetevőknek radiális irányban kis komponensei vannak, amelyeket figyelembe kell venni; hasonlóképpen (ii) az ezekre az oldalakra ható nyomóerőknek is kis radiális komponensei vannak. 2.7
Mutassuk meg, hogy az alakváltozások és az örvényerősség a 2. feladatban szereplő áramlás és koordinátarendszer esetében.6. pontban szereplő áramlások és áramlások a
Tipp: (i) Az oldalfelület torzulásszögét (β) az O origót az infinitezimális kontrolltérfogat középpontjával összekötő egyeneshez képest kell meghatározni. 2.8
A két L hosszúságú koncentrikus henger közötti keskeny (h szélességű) résben lévő áramlás, amelyben a belső, R sugarú henger ω szögsebességgel forog, a Navier-Stokes-egyenletek Couette megoldásával közelíthető. Mutassa meg, hogy a tengely ω rad/s fordulatszámú forgásához szükséges T nyomatékot és P teljesítményt a
2.9
A tengelyszimmetrikus stagnáláspontos áramlás
Végezzen a 2. szakaszban leírtakhoz hasonló elemzést.10.3. fejezetben leírtakhoz hasonlót a Navier-Stokes-egyenletek tengelyszimmetrikus formájának a 2.5. feladatban megadott, tengelyszimmetrikus stagnálási pont-áramlásra vonatkozó tengelyszimmetrikus formájával, és mutassa meg, hogy a (2.118) egyenlet ekvivalense
.