Rovnice kontinuity - přehled | ScienceDirect Topics

Rovnice kontinuity pro osově symetrické proudění

(a)

Uvažujme osově symetrické proudové pole vyjádřené ve válcové souřadnicové soustavě (r, φ, z), kde jsou všechny proměnné proudění nezávislé na azimutálním úhlu φ – například axiální proudění přes rotační těleso. Pokud složky rychlosti (u, w) odpovídají souřadným směrům (r, z), resp, ukažte, že rovnice kontinuity je dána vztahem

∂u∂r+ur+∂w∂z=0

Ukažte, že rovnici kontinuity lze automaticky splnit pomocí proudové funkce ψ takového tvaru, že

u=1r∂ψ∂z,w=-1r∂ψ∂r

2.2

Rovnice kontinuity pro dvourozměrné proudění v polárních souřadnicích

(a)

Uvažujme dvourozměrné proudové pole vyjádřené v soustavě válcových souřadnic (r, φ, z), kde všechny proměnné proudění jsou nezávislé na azimutálním úhlu φ – například proudění přes kruhový válec. Pokud složky rychlosti (u, v) odpovídají směrům souřadnic (r, φ), resp, ukažte, že rovnice kontinuity je dána vztahem

∂u∂r+ur+1r∂v∂ϕ=0

Ukažte, že rovnici kontinuity lze automaticky splnit pomocí proudové funkce ψ takového tvaru, že

u=1r∂ψ∂ϕ,v=-∂ψ∂r

2.3

Transportní rovnice pro kontaminant ve dvourozměrném proudovém poli

V mnoha technických aplikacích se zajímáme o transport kontaminantu prouděním tekutiny. Kontaminantem může být cokoli od znečišťující chemické látky až po pevné částice. Pro odvození řídicí rovnice je třeba si uvědomit, že za předpokladu, že se kontaminant v proudovém poli nevytváří, se hmotnost kontaminantu zachovává. Kontaminující látka může být transportována dvěma různými fyzikálními mechanismy, konvekcí a molekulární difuzí. Nechť C je koncentrace kontaminantu (tj, hmotnost na jednotku objemu kapaliny); pak rychlost transportu kontaminantu na jednotku plochy je dána vztahem

-D∇C=-Di∂C∂x+j∂C∂y

kde i a j jsou jednotkové vektory ve směru x, resp. y, a D je difuzní koeficient (jednotky m2/s, stejný jako kinematická viskozita).

Všimněte si, že difúze přenáší kontaminant po koncentračním gradientu (tj, transport probíhá od vyšší koncentrace k nižší); proto znaménko minus. Je to obdoba tepelné vodivosti.

(a)

Uvažujme nekonečně malý obdélníkový řídicí objem. Předpokládejte, že v něm nevzniká žádný kontaminant a že kontaminant je dostatečně zředěný, aby se proudění kapaliny nezměnilo. Uvažujte hmotnostní bilanci pro řídicí objem, ukažte, že rovnice transportu kontaminantu ve dvourozměrném proudovém poli je dána vztahem

∂C∂t+u∂C∂x+v∂C∂y-D∂2C∂x2+∂2C∂y2=0

(b)

Proč je nutné předpokládat zředěnou suspenzi kontaminantu? Jaký tvar by měla transportní rovnice, kdyby tento předpoklad nebyl učiněn? A konečně, jak by bylo možné rovnici upravit, aby zohledňovala kontaminant, který vzniká chemickou reakcí rychlostí m˙c na jednotku objemu.

2.4

Eulerovy rovnice pro osově symetrické proudění

(a)

Pro proudové pole a souřadnicový systém z cvičení 2. (a)

Vyjádřete, jak by měla rovnice vypadat?1 ukažte, že Eulerovy rovnice (inviscidní hybnostní rovnice) mají tvar

ρ∂u∂t+u∂u∂r+w∂u∂z=ρgr-∂p∂rρ∂w∂t+u∂w∂r+w∂w∂z=ρgz-∂p∂z

2. Ukažte, že Eulerovy rovnice (inviscidní hybnostní rovnice) mají tvar

Navier-Stokesovy rovnice pro dvourozměrné osově souměrné proudění

(a)

Ukažte, že deformační rychlosti a vířivost pro osově souměrné viskózní proudění, jaké je popsáno ve cvičení 2, jsou stejné.1 jsou dány vztahy

ε˙rr=∂u∂r;ε˙zz=∂w∂z;ε˙ϕϕ=urγ˙rz=12∂w∂r+∂u∂z;η=∂w∂r-∂u∂z

Pomůcka: Všimněte si, že azimutální míra deformace není nulová. Nejjednodušší způsob, jak ji určit, je poznat, že ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 musí být ekvivalentní rovnici kontinuity. (b)

Ukažte, že Navier-Stokesovy rovnice pro osově symetrické proudění jsou dány vztahem

ρ∂u∂t+u∂u∂r+w∂u∂z=ρgr-∂p∂r+μ∂2u∂r2+1r∂u∂r-ur2+∂2u∂z2ρ∂w∂t+u∂w∂r+w∂w∂z=ρgz-∂p∂z+μ∂2w∂r2+1r∂w∂r+∂2w∂z2

2.6

Eulerovy rovnice pro dvourozměrné proudění v polárních souřadnicích

(a)

Pro dvourozměrné proudění popsané ve cvičení 2.2, ukažte, že Eulerovy rovnice (inviscidní hybnostní rovnice) mají tvar

ρ∂u∂t+u∂u∂r+vr∂u∂ϕ-v2r=ρgr-∂p∂rρ∂v∂t+u∂v∂r+vr∂v∂ϕ-uvr=ρgphi-1r∂p∂ϕ

Pomůcky: (i) Složky hybnosti kolmé na boční stěny elementárního regulačního objemu a vstupující a vystupující z nich mají malé složky v radiálním směru, které je třeba zohlednit; stejně tak (ii) tlakové síly působící na tyto stěny mají malé radiální složky. 2.7

Ukažte, že rychlosti deformace a vířivosti pro proudění a souřadnicový systém z cvičení 2.6 jsou dány vztahy

ε˙rr=∂u∂r;ε˙φφ=1r∂v∂φ+urγ˙rφ=12∂v∂r-vr+1r∂u∂φ;ζ=1r∂u∂φ-∂v∂r+vr

Nápověda: (i) Úhel deformace (β) boční plochy musí být definován vzhledem k přímce spojující počátek O se středem infinitezimálního řídicího objemu. 2.8

Proudění v úzké mezeře (o šířce h) mezi dvěma soustřednými válci délky L, z nichž vnitřní o poloměru R rotuje úhlovou rychlostí ω, lze aproximovat Couettovým řešením Navierových-Stokesových rovnic. Ukažte, že točivý moment T a výkon P potřebný k otáčení hřídele při rychlosti otáčení ω rad/s jsou dány vztahem

T=2πμωR3Lh,P=2πμω2R3Lh

2.9

Osově symetrické proudění ve stagnačním bodě

Provedete podobnou analýzu jako v oddíle 2.10.3 s použitím osově symetrického tvaru Navierových-Stokesových rovnic uvedených ve cvičení 2.5 pro osově symetrické proudění v bodě stagnace a ukažte, že ekvivalent rovnice (2.118) je

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář