Ecuación de continuidad - una visión general | Temas de ScienceDirect

Ecuación de continuidad para flujo axisimétrico

(a)

Consideremos un campo de flujo axisimétrico expresado en términos del sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z), donde todas las variables de flujo son independientes del ángulo azimutal φ-por ejemplo, el flujo axial sobre un cuerpo de revolución. Si las componentes de la velocidad (u, w) corresponden a las direcciones de las coordenadas (r, z), respectivamente, demuestre que la ecuación de continuidad viene dada por

∂u∂r+ur+∂w∂z=0

(b)

Muestre que la ecuación de continuidad puede satisfacerse automáticamente mediante una función de corriente ψ de una forma tal que

u=1r∂ψ∂z,w=-1r∂ψ∂r

2.2

Ecuación de continuidad para un flujo bidimensional en coordenadas polares

(a)

Considere un campo de flujo bidimensional expresado en términos del sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z), donde todas las variables del flujo son independientes del ángulo acimutal φ-por ejemplo, el flujo sobre un cilindro circular. Si las componentes de la velocidad (u, v) corresponden a las direcciones de las coordenadas (r, φ), respectivamente, demuestre que la ecuación de continuidad viene dada por

∂u∂r+ur+1r∂v∂ϕ=0

(b)

Muestre que la ecuación de continuidad puede satisfacerse automáticamente mediante una función de flujo ψ de una forma tal que

u=1r∂ψ∂ϕ,v=-∂ψ∂r

2.3

Ecuación de transporte para un contaminante en un campo de flujo bidimensional

En muchas aplicaciones de ingeniería uno está interesado en el transporte de un contaminante por el flujo de fluidos. El contaminante puede ser cualquier cosa, desde un producto químico contaminante hasta partículas. Para derivar la ecuación gobernante uno necesita reconocer que, siempre que el contaminante no esté siendo creado dentro del campo de flujo, la masa del contaminante se conserva. La materia contaminante puede ser transportada por dos mecanismos físicos distintos, la convección y la difusión molecular. Sea C la concentración de contaminante (es decir masa por unidad de volumen de fluido); entonces la tasa de transporte de la contaminación por unidad de superficie viene dada por

-D∇C=-Di∂C∂x+j∂C∂y

donde i y j son los vectores unitarios en las direcciones x e y respectivamente, y D es el coeficiente de difusión (unidades m2/s, igual que la viscosidad cinemática).

Nótese que la difusión transporta el contaminante por el gradiente de concentración (es decir, el transporte es de una concentración más alta a una más baja); de ahí el signo menos. Es análogo a la conducción térmica.

(a)

Considere un volumen de control rectangular infinitesimal. Suponga que no se produce ningún contaminante en su interior y que el contaminante está lo suficientemente diluido como para que el flujo de fluido no cambie. Considerando un balance de masas para el volumen de control, demuestre que la ecuación de transporte para un contaminante en un campo de flujo bidimensional viene dada por

∂C∂t+u∂C∂x+v∂C∂y-D∂2C∂x2+∂2C∂y2=0

(b)

¿Por qué es necesario suponer una suspensión diluida de contaminante? Qué forma tendría la ecuación de transporte si no se hiciera esta suposición? Finalmente, ¿cómo podría modificarse la ecuación para tener en cuenta que el contaminante es producido por una reacción química a razón de m˙c por unidad de volumen.

2.4

Ecuaciones de Euler para flujo axisimétrico

(a)

Para el campo de flujo y el sistema de coordenadas del Ejercicio 2.1, demuestre que las ecuaciones de Euler (ecuaciones de momento no visibles) adoptan la forma

ρ∂u∂t+u∂u∂r+w∂u∂z=ρgr-∂p∂rρ∂w∂t+u∂w∂r+w∂w∂z=ρgz-∂p∂z

2.5

Ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo bidimensional axisimétrico

(a)

Demuestre que las velocidades de deformación y la vorticidad para un flujo viscoso axisimétrico como el descrito en el ejercicio 2.1 vienen dadas por

ε˙rr=∂u∂r;ε˙zz=∂w∂z;ε˙ϕϕ=urγ˙rz=12∂w∂r+∂u∂z;η=∂w∂r-∂u∂z

Sugerencia: Observe que la velocidad de deformación azimutal no es cero. La forma más fácil de determinarla es reconocer que ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 debe ser equivalente a la ecuación de continuidad. (b)

Demuestre que las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo axisimétrico vienen dadas por

ρ∂u∂t+u∂u∂r+w∂u∂z=ρgr-∂p∂r+μ∂2u∂r2+1r∂u∂r-ur2+∂2u∂z2ρ∂w∂t+u∂w∂r+w∂w∂z=ρgz-∂p∂z+μ∂2w∂r2+1r∂w∂r+∂2w∂z2

2.6

Ecuaciones de Euler para un flujo bidimensional en coordenadas polares

(a)

Para el flujo bidimensional descrito en el ejercicio 2.2, demuestre que las ecuaciones de Euler (ecuaciones de momento no visibles) adoptan la forma

ρ∂u∂t+u∂u∂r+vr∂u∂ϕ-v2r=ρgr-∂p∂rρ∂v∂t+u∂v∂r+vr∂v∂ϕ-uvr=ρgphi-1r∂p∂ϕ

Pistas: (i) Las componentes de momento perpendiculares a las caras laterales del volumen de control elemental, y que entran y salen de ellas, tienen pequeñas componentes en la dirección radial que deben ser tenidas en cuenta; asimismo (ii) las fuerzas de presión que actúan sobre estas caras tienen pequeñas componentes radiales. 2.7

Demuestre que las velocidades de deformación y la vorticidad para el flujo y el sistema de coordenadas del Ejercicio 2.6 vienen dadas por

ε˙rr=∂u∂r;ε˙φ=1r∂v∂φ+urγ˙rφ=12∂v∂r-vr+1r∂u∂φ;ζ=1r∂u∂φ-∂v∂r+vr

Pista: (i) El ángulo de deformación (β) de la cara lateral debe definirse respecto a la línea que une el origen O con el centro del volumen de control infinitesimal. 2.8

El flujo en el hueco estrecho (de anchura h) entre dos cilindros concéntricos de longitud L, con el interior de radio R girando a velocidad angular ω, puede aproximarse mediante la solución de Couette a las ecuaciones de Navier-Stokes. Demuestre que el par T y la potencia P necesarios para hacer girar el eje a una velocidad de rotación de ω rad/s vienen dados por

T=2πμωR3Lh,P=2πμω2R3Lh

2.9

Flujo axisimétrico en punto de estancamiento

Realice un análisis similar al descrito en el apartado 2.10.3 utilizando la forma axisimétrica de las ecuaciones de Navier-Stokes dadas en el Ejercicio 2.5 para el flujo axisimétrico en el punto de estancamiento, y demuestre que el equivalente a la Ec. (2.118) es

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