Kontinuitetsligning for aksialsymmetrisk strømning
(a)
Opnå et aksialsymmetrisk strømningsfelt udtrykt i det cylindriske koordinatsystem (r, φ, z), hvor alle strømningsvariabler er uafhængige af den azimutale vinkel φ – f.eks. den aksiale strømning over et omdrejningslegeme. Hvis hastighedskomponenterne (u, w) svarer til henholdsvis koordinatretningerne (r, z), vis, at kontinuitetsligningen er givet ved
(b)
Vis, at kontinuitetsligningen automatisk kan opfyldes af en strømningsfunktion ψ af en sådan form, at
2.2
Kontinuitetsligning for todimensionel strømning i polarkoordinater
(a)
Opmærksomheden henledes på et todimensionelt strømningsfelt udtrykt i det cylindriske koordinatsystem (r, φ, z), hvor alle strømningsvariabler er uafhængige af den azimutale vinkel φ – f.eks. strømningen over en cirkulær cylinder. Hvis hastighedskomponenterne (u, v) svarer til henholdsvis koordinatretningerne (r, φ), vis, at kontinuitetsligningen er givet ved
(b)
Vis, at kontinuitetsligningen automatisk kan opfyldes af en strømningsfunktion ψ af en sådan form, at
2.3
Transportligning for forurenende stof i todimensionelt strømningsfelt
I mange tekniske anvendelser er man interesseret i transporten af et forurenende stof ved væskestrømningen. Forureningen kan være alt fra et forurenende kemikalie til partikler. For at udlede den styrende ligning er man nødt til at erkende, at forudsat at forureningsstoffet ikke dannes i strømningsfeltet, bevares forureningsstoffets masse. Det forurenende stof kan transporteres ved hjælp af to forskellige fysiske mekanismer, nemlig konvektion og molekylær diffusion. Lad C være koncentrationen af det forurenende stof (dvs, masse pr. volumenenhed af væske); så er transporthastigheden af forurening pr. arealenhed givet ved
hvor i og j er enhedsvektorer i henholdsvis x- og y-retningen, og D er diffusionskoefficienten (enheder m2/s, det samme som kinematisk viskositet).
Bemærk, at diffusion transporterer forureningsstoffet ned ad koncentrationsgradienten (dvs, transporten sker fra en højere til en lavere koncentration); deraf minustegnet. Det er analogt med varmeledning.
(a)
Tænk på et infinitesimalt rektangulært kontrolvolumen. Antag, at der ikke produceres noget forurenende stof i det, og at det forurenende stof er tilstrækkeligt fortyndet til at lade væskestrømmen forblive uændret. Ved at betragte en massebalance for kontrolvolumenet, Vis, at transportligningen for et forurenende stof i et todimensionalt strømningsfelt er givet ved
(b)
Hvorfor er det nødvendigt at antage en fortyndet suspension af det forurenende stof? Hvilken form ville transportligningen have, hvis denne antagelse ikke blev gjort? Endelig, hvordan kan ligningen ændres, så der tages hensyn til, at forureningsstoffet produceres ved en kemisk reaktion med en hastighed på m˙c pr. volumenenhed.
2.4
Euler-ligninger for akse-symmetrisk strømning
(a)
For strømningsfeltet og koordinatsystemet i opgave 2.1, vis, at Euler-ligningerne (inviskide impulsligninger) har formen
2.5
Navier-Stokes-ligninger for todimensionel akse-symmetrisk strømning
(a)
Vis, at forstrækningshastighederne og vorticiteten for en akse-symmetrisk viskøs strømning som den, der er beskrevet i øvelse 2.1 er givet ved
Hint: Bemærk, at den azimutale strainrate ikke er nul. Den nemmeste måde at bestemme den på er at erkende, at ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 må være ækvivalent med kontinuitetsligningen. (b)
Vis, at Navier-Stokes-ligningerne for axisymmetrisk strømning er givet ved
2.6
Euler-ligninger for todimensionel strømning i polære koordinater
(a)
For den todimensionelle strømning, der er beskrevet i øvelse 2.2, vis, at Euler-ligningerne (inviskide impulsligninger) har formen
Hints: (i) Impulskomponenterne vinkelret på og indgående og udgående fra sidefladerne i det elementære kontrolvolumen har små komponenter i radial retning, som der skal tages hensyn til; ligeledes (ii) har de trykkræfter, der virker på disse flader, små radiale komponenter. 2.7
Vis, at belastningshastighederne og vorticiteten for strømningen og koordinatsystemet i øvelse 2.6 er givet ved
Hint: (i) Sidefladens forvrængningsvinkel (β) skal defineres i forhold til den linje, der forbinder oprindelsen O med centrum af det infinitesimale kontrolvolumen. 2.8
Flowet i det snævre mellemrum (af bredde h) mellem to koncentriske cylindre af længde L, hvor den indre cylinder med radius R roterer med vinkelhastighed ω, kan tilnærmes ved Couette-løsningen til Navier-Stokes-ligningerne. Vis, at det drejningsmoment T og den effekt P, der kræves for at dreje akslen med en rotationshastighed på ω rad/s, er givet ved
2.9
Axisymmetrisk stagnationspunktstrømning
Gør en lignende analyse som den, der er beskrevet i afsnit 2.10.3 ved hjælp af den axisymmetriske form af Navier-Stokes-ligningerne givet i øvelse 2.5 for axisymmetrisk stagnationspunktsstrømning, og vis, at ækvivalenten til ligning (2.118) er