Ecuația de continuitate pentru curgerea axisimetrică
(a)
Considerăm un câmp de curgere axisimetric exprimat în termenii sistemului de coordonate cilindrice (r, φ, z), unde toate variabilele curgerii sunt independente de unghiul azimutal φ – de exemplu, curgerea axială peste un corp de revoluție. Dacă componentele vitezei (u, w) corespund direcțiilor de coordonate (r, z), respectiv, arătați că ecuația de continuitate este dată de
(b)
Demonstrați că ecuația de continuitate poate fi satisfăcută automat de o funcție de curgere ψ de o formă astfel încât
2.2
Ecuația de continuitate pentru curgerea bidimensională în coordonate polare
(a)
Considerăm un câmp de curgere bidimensional exprimat în termenii sistemului de coordonate cilindrice (r, φ, z), în care toate variabilele curgerii sunt independente de unghiul azimutal φ – de exemplu, curgerea pe un cilindru circular. Dacă componentele vitezei (u, v) corespund direcțiilor de coordonate (r, φ), respectiv, arătați că ecuația de continuitate este dată de
(b)
Demonstrați că ecuația de continuitate poate fi satisfăcută automat de o funcție de curgere ψ de o formă astfel încât
2.3
Ecuația de transport pentru un contaminant într-un câmp de curgere bidimensional
În multe aplicații inginerești se este interesat de transportul unui contaminant de către curgerea fluidului. Contaminantul poate fi orice, de la o substanță chimică poluantă până la particule. Pentru a deriva ecuația de guvernare trebuie să se recunoască faptul că, cu condiția ca contaminantul să nu fie creat în câmpul de curgere, masa contaminantului se conservă. Materia contaminantă poate fi transportată prin două mecanisme fizice distincte, convecția și difuzia moleculară. Fie C concentrația de contaminant (i.e., masa pe unitatea de volum de fluid); atunci rata de transport a contaminantului pe unitatea de suprafață este dată de
unde i și j sunt vectorii unitari în direcțiile x și, respectiv, y, iar D este coeficientul de difuzie (unități m2/s, același ca și vâscozitatea cinematică).
Rețineți că difuzia transportă contaminantul în josul gradientului de concentrație (i.e, transportul se face de la o concentrație mai mare la una mai mică); de aici și semnul minus. Este analogă conducției termice.
(a)
Considerați un volum de control dreptunghiular infinitezimal. Să presupunem că în interiorul acestuia nu se produce nici un contaminant și că contaminantul este suficient de diluat pentru a lăsa fluxul de fluid neschimbat. Luând în considerare un bilanț de masă pentru volumul de control, arătați că ecuația de transport pentru un contaminant într-un câmp de curgere bidimensional este dată de
(b)
De ce este necesar să se presupună o suspensie diluată de contaminant? Ce formă ar lua ecuația de transport dacă nu s-ar face această ipoteză? În cele din urmă, cum ar putea fi modificată ecuația pentru a lua în considerare faptul că contaminantul este produs printr-o reacție chimică cu o rată de m˙c pe unitate de volum.
2.4
Euațiile lui Euler pentru curgerea axisimetrică
(a)
Pentru câmpul de curgere și sistemul de coordonate din Exercițiul 2.1, arătați că ecuațiile lui Euler (ecuațiile momentului invizibil) iau forma
2.5
Ecuațiile lui Navier-Stokes pentru curgerea axiometrică bidimensională
(a)
Demonstrați că ratele de deformare și vorticitatea pentru un curgere vâscoasă axiometrică precum cea descrisă în exercițiul 2.1 sunt date de
Sugestie: Rețineți că viteza de deformare azimutală nu este zero. Cel mai simplu mod de a o determina este să recunoaștem că ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 trebuie să fie echivalent cu ecuația de continuitate. (b)
Demonstrați că ecuația Navier-Stokes pentru curgerea axisimetrică sunt date de
2.6
Ecuațiile lui Euler pentru curgerea bidimensională în coordonate polare
(a)
Pentru curgerea bidimensională descrisă în exercițiul 2.2, arătați că ecuațiile lui Euler (ecuațiile momentului invizibil) iau forma
Sugestii: (i) componentele de impuls perpendiculare pe fețele laterale ale volumului elementar de control și care intră și ies din acestea au componente mici în direcția radială care trebuie luate în considerare; de asemenea, (ii) forțele de presiune care acționează pe aceste fețe au componente radiale mici. 2.7
Demonstrați că ratele de deformare și vorticitatea pentru curgerea și sistemul de coordonate din exercițiul 2.6 sunt date de
Sugestie: (i) Unghiul de deformare (β) al feței laterale trebuie să fie definit în raport cu linia care unește originea O cu centrul volumului de control infinitezimal. 2.8
Curgerea în spațiul îngust (de lățime h) dintre doi cilindri concentrici de lungime L, cu cel interior de rază R care se rotește cu viteza unghiulară ω, poate fi aproximată prin soluția Couette a ecuațiilor Navier-Stokes. Arătați că cuplul T și puterea P necesare pentru a roti arborele la o viteză de rotație de ω rad/s sunt date de
2.9
Curgere axială simetrică în punctul de stagnare
Realizați o analiză similară cu cea descrisă în secțiunea 2.10.3 folosind forma axisimetrică a ecuațiilor Navier-Stokes date în exercițiul 2.5 pentru curgerea axiometrică în punctul de stagnare și arătați că echivalentul ecuației (2.118) este
.