Equação de Continuidade - uma visão geral | ScienceDirect Topics

Equação de Continuidade para fluxo assimétrico de eixo

(a)

Considerar um campo de fluxo assimétrico expresso em termos do sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z), onde todas as variáveis de fluxo são independentes do ângulo azimutal φ por exemplo, o fluxo axial sobre um corpo de revolução. Se os componentes de velocidade (u, w) correspondem às direcções de coordenadas (r, z), respectivamente, mostrar que a equação de continuidade é dada por

∂u∂r+ur+∂w∂z=0

(b)

Mostrar que a equação de continuidade pode ser automaticamente satisfeita por uma função de fluxo ψ de uma forma tal que

u=1r∂ψ∂z,w=-1r∂ψ∂r

2.2

Equação de continuidade para fluxo bidimensional em coordenadas polares

(a)

Considerar um campo de fluxo bidimensional expresso em termos do sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z), onde todas as variáveis de fluxo são independentes do ângulo azimutal φ por exemplo, o fluxo sobre um cilindro circular. Se os componentes de velocidade (u, v) correspondem às direcções de coordenadas (r, φ), respectivamente, mostrar que a equação de continuidade é dada por

∂u∂r+ur+1r∂v∂ϕ=0

(b)

Mostrar que a equação de continuidade pode ser automaticamente satisfeita por uma função de fluxo ψ de uma forma tal que

u=1r∂ψ∂ϕ,v=-∂ψ∂r

2.3

Equação de transporte para contaminantes no campo de fluxo bidimensional

Em muitas aplicações de engenharia está interessado no transporte de um contaminante pelo fluxo do fluido. O contaminante pode ser qualquer coisa, desde um produto químico poluente até material particulado. Para derivar a equação governante é preciso reconhecer que, desde que o contaminante não esteja sendo criado dentro do campo de fluxo, a massa do contaminante é conservada. A matéria contaminante pode ser transportada por dois mecanismos físicos distintos, a convecção e a difusão molecular. Deixe C ser a concentração de contaminante (ou seja massa por unidade de volume de fluido); então a taxa de transporte de contaminação por unidade de área é dada por

-D∇C=-Di∂C∂x+j∂C∂y

onde i e j são os vectores da unidade nas direcções x e y respectivamente, e D é o coeficiente de difusão (unidades m2/s, o mesmo que a viscosidade cinemática).

Nota que a difusão transporta o contaminante para baixo no gradiente de concentração (ou seja o transporte é de uma concentração maior para uma menor); daí o sinal menos. É análogo à condução térmica.

(a)

Considerar um volume de controle retangular infinitesimal. Assumir que nenhum contaminante é produzido dentro dele e que o contaminante é suficientemente diluído para deixar o fluxo do fluido inalterado. Ao considerar um balanço de massa para o volume de controle, mostram que a equação de transporte de um contaminante num campo de fluxo bidimensional é dada por

∂C∂t+u∂C∂x+v∂C∂y-D∂2C∂x2+∂2C∂y2=0

(b)

Por que é necessário assumir uma suspensão diluída do contaminante? Que forma tomaria a equação de transporte se esta suposição não fosse feita? Finalmente, como a equação poderia ser modificada para levar em conta o contaminante sendo produzido por uma reação química à taxa de m˙c por unidade de volume.

2,4

Equações de Euler para o fluxo assimétrico do eixo

(a)

Para o campo de fluxo e sistema de coordenadas do Exercício 2.1, mostrar que as equações de Euler (equações de momento invisíveis) tomam a forma

ρ∂u∂t+u∂u∂r+w∂u∂z=ρgr-∂p∂rρ∂w∂t+u∂w∂r+w∂w∂z=ρgz-∂p∂z

2.5

Navier-Stokes equações para fluxo assimétrico bidimensional

(a)

Mostrar que as taxas de deformação e vorticidade para um fluxo viscoso assimétrico como o descrito no Exercício 2.1 são dadas por

ε˙rr=∂u∂r;ε˙zz=∂w∂z;ε˙ϕϕ=urγ˙rz=12∂w∂r+∂u∂z;η=∂w∂r-∂u∂z

Dica: Note que a taxa de deformação azimutal não é zero. A maneira mais fácil de determiná-la é reconhecer que ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 deve ser equivalente à equação de continuidade. (b)

Mostrar que o Navier-As equações de Stokes para o fluxo assimétrico são dadas por

ρ∂u∂t+u∂u∂r+w∂u∂z=ρgr-∂p∂r+μ∂2u∂r2+1r∂u∂r-ur2+∂2u∂z2ρ∂w∂t+u∂w∂r+w∂w∂z=ρgz-∂p∂z+μ∂2w∂r2+1r∂w∂r+∂2w∂z2

2.6

Euler equações para o fluxo bidimensional em coordenadas polares

(a)

Para o fluxo bidimensional descrito no Exercício 2.2, mostrar que as equações de Euler (equações de momentum invisíveis) tomam a forma

ρ∂u∂t+u∂u∂r+vr∂u∂ϕ-v2r=ρgr-∂p∂rρ∂v∂t+u∂v∂r+vr∂v∂ϕ-uvr=ρgphi-1r∂p∂ϕ

Dicas: (i) Os componentes de momento perpendiculares e que entram e saem das faces laterais do volume de controle elementar têm componentes pequenos na direção radial que devem ser considerados; da mesma forma (ii) as forças de pressão que atuam sobre essas faces têm componentes radiais pequenos. 2.7

Mostrar que as taxas de deformação e vorticidade para o sistema de fluxo e coordenadas do Exercício 2.6 são dadas por

ε˙rr=∂u∂r;ε˙φφ=1r∂v∂φ+urγ˙rφ=12∂v∂r-vr+1r∂u∂φ;ζ=1r∂u∂φ-∂v∂r+vr

Dica: (i) O ângulo de distorção (β) da face lateral deve ser definido em relação à linha que une a origem O ao centro do volume infinitesimal de controle. 2,8

O fluxo na estreita fenda (de largura h) entre dois cilindros concêntricos de comprimento L, com o interior de raio R girando à velocidade angular ω, pode ser aproximado pela solução Couette para as equações Navier-Stokes. Mostrar que o torque T e a potência P necessários para girar o eixo a uma velocidade de rotação de ω rad/s são dados por

T=2πμωR3Lh,P=2πμω2R3Lh

2,9

Fluxo de ponto de estagnação axial

Efectuar uma análise semelhante à descrita na Secção 2.10.3 utilizando a forma axissimétrica das equações Navier-Stokes dadas no Exercício 2.5 para o fluxo do ponto de estagnação axissimétrico, e mostrar que o equivalente a Eq. (2.118) é

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