Principy návrhu paradoxní zpětné vazby mezi alfa a beta buňkami pankreatu | Scientific Reports

Matematický model okruhu ostrůvků

Pro charakterizaci okruhu, který je základem kontroly hladiny glukózy v krvi, jsme odvodili matematický model 4 obyčejných diferenciálních rovnic (ODE), který zohledňuje experimentální pozorování a hypotézy z literatury. Pro zjednodušení jsme zanedbali vliv somatostatinu, hormonu vylučovaného delta buňkami ostrůvků v reakci na sekreci inzulinu, který inhibuje sekreci inzulinu i glukagonu. Náš model popisuje rychlost změn koncentrace následujících veličin v čase: Glukóza v krvi (), glukagon v krvi (), inzulín v krvi () a vzdálený inzulín (), meziprodukt představující koncentraci inzulínu v intersticiálním tkáňovém kompartmentu. se považuje za zprostředkovatele zpožděného účinku potlačení inzulínu na glukózu v krvi28. Uvažovali jsme všechny možné kombinace negativních a pozitivních interakcí mezi inzulinem a glukagonem, čímž jsme získali devět různých dílčích modelů (obr. 1c).

Dynamiku všech možných endokrinních okruhů popisují následující obecné obyčejné diferenciální rovnice:

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt} & = & INPUT+{\beta }_{0}f(,)-({\delta }_{b}+{\delta }_{b}DROP)-V\end{array}$$

(1)

$$\frac{d}{dt}=\alfa -{\delta }_{g}+{V}_{r}{(B{G}^{\ast }-)}^{+}+{I}_{g}g()$$

(2)

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt} & = & \mu +K{(-B{G}^{\ast })}^{+}-{\delta }_{i}-\varepsilon (-)+\,{G}_{i}h()\end{array}$$

(3)

$$\frac{d}{dt}=\varepsilon (-)-{\delta }_{Ri}.$$

(4)

INPUT představuje příjem glukózy z jídla, DROP představuje zvýšení systémového příjmu glukózy v krvi, například v důsledku zvýšené svalové spotřeby při cvičení. (x)+ je 0, když x ≤ 0, a x, když x > 0. V ustáleném stavu, při absenci vnějšího rozrušení, je INPUT = DROP = 0. Dynamickou odezvu endokrinních okruhů na vnější rozrušení jsme simulovali změnou proměnných INPUT a DROP (obr. 1d,e). f(, ) představuje jaterní výdej glukózy (HGO) v závislosti na hladině glukózy v krvi a 36,37 . Uvažovali jsme následující tvar sestávající ze součtu dvou členů Michelis Menten (MM):

$$f(,)=(\omega \frac{}{GL{G}^{\ast }+}+(2-\omega )\frac{IN{S}^{\ast }}{IN{S}^{\ast }+})$$

(5)

GLG* a INS* představují ustálené stavy glukagonu a inzulinu při = 5 mM, a 0 ≤ ω ≤ 2 představuje relativní váhu přisuzovanou glukagonu oproti inzulinu při ovlivňování reakce jater.

Pro každou rovnici jsme uvažovali degradační členy pro glukagon, inzulin a vzdálený inzulin (δg, δi, δRi v tomto pořadí); δb představuje bazální příjem glukózy v krvi, převážně spotřebou mozkem, a V představuje na inzulinu závislý příjem glukózy27; α a μ představují bazální rychlost sekrece glukagonu a inzulinu. Sekreci inzulinu jsme modelovali jako monotónně rostoucí funkci hladiny glukózy v krvi, K( – BG*)+, a sekreci glukagonu jako monotónně klesající funkci hladiny glukózy v krvi Vr(BG* – )+38 . Rovnice pro inzulin (3) a vzdálený inzulin (4) mají společný „transportní člen“ (ε ( – )) představující difúzi inzulinu z krve do intersticiálního kompartmentu28.

Interakce mezi inzulinem a glukagonem jsou vyjádřeny dvěma obecnými funkcemi Igg() a Gih(). Pro zjednodušení budou v následující analýze g() a h() lineární, ale výsledky zůstávají platné i pro nelineární funkce(Doplňkové informace). Náš model také ignoruje přímý vliv inzulínu v krvi na zvýšení spotřeby glukózy v játrech prostřednictvím glykogeneze. Stejně jako v případě nelinearit zůstávají níže uvedené výsledky platné i při zavedení tohoto dodatečného procesu (Doplňkové informace). Model v rovnicích (1-5) má 16 volných parametrů, které jsme dále redukovali na 5 parametrů (Ig, Gi, Vr, K, ω) s použitím různých odhadů z literatury (tab. 1).

Tabulka 1 Tabulka odhadnutých parametrů: parametry δb, δg, δi, δri, V, BG*, INS*, GLG* jsou odhadnuty z literatury; parametry β0, α, ε, RINS* jsou vyhodnoceny z podmínek ustáleného stavu v rovnicích (1-4), viz Metody. Parametry μ, Vr, K, w jsou odhadovány podle popisu v Metodách

Kritéria výkonnosti

Uvažovali jsme tři různá kritéria výkonnosti pro studované endokrinní systémy. Prvním byla nízká integrální kladná chyba definovaná jako:

$${\int }_{0}^{T}{(-B{G}^{\ast })}^{+}dt$$

(6)

kde představuje interval, ve kterém se simulace provádí.

Toto kritérium představuje schopnost obvodu vyhnout se hyperglykémii po glukózovém kroku (obr. 1d). Druhým kritériem byla vysoká hodnota minimální hladiny glukózy v reakci na zvýšenou systémovou spotřebu glukózy, čímž se zabránilo velkým hypoglykemickým poklesům glukózy (obr. 1e). Třetím bylo nízké překročení při návratu glykémie z hypoglykemického stavu (Maximum po poklesu, obr. 1e).

Odpověď na poruchy glykémie – lokální analýza

Pro pochopení potenciální užitečnosti paradoxní negativní zpětnovazební smyčky mezi alfa a beta buňkami jsme dále použili strategii, kterou označujeme jako „lokální analýzu“. Systém jsme stimulovali bez parakrinní interakce, T0 (obr. 1c), pozitivním nebo negativním 30minutovým krokem INPUT a DROP (obr. 2e,g). Prohledali jsme třírozměrný prostor parametrů T0 (Vr, K, ω) a identifikovali kombinaci, která vede k relativně příznivému výkonu z hlediska tří kritérií (následující výsledky jsou na parametry T0 necitlivé). Dále jsme systematicky měnili síly a směry parakrinních interakcí Gi a Ig a posuzovali jsme vliv na kritéria výkonnosti systému (obr. 2a-d).

Zjistili jsme, že topologie obvodu T1, T2 a T5 jsou lepší než ostatní v minimalizaci integrální pozitivní chyby. Tyto obvody zahrnují inhibici sekrece glukagonu inzulinem, čímž zajišťují účinné vypnutí jaterního výdeje glukózy při krmení. Při zvýšení hladiny glukózy by se tedy hladina glukagonu snížila jak přímo o glukózu, tak nepřímo zvýšením sekrece inzulínu (obr. 2b). Topologie T3, T4 a T7 dopadly z hlediska integrální chyby mnohem hůře, protože zahrnovaly nepřímou aktivaci glukagonu inzulinem souběžně s jeho přímou inhibicí glukózou. Navíc nedokázaly dosáhnout ustáleného stavu 5 mM pro široký rozsah parametrů, jak ukazuje obr. 2a.

Při posuzování odezvy na pokles glukózy jsme zjistili, že T1, T4 a T8 vykazují nižší minimum, což je důsledek paradoxní aktivace sekrece inzulinu glukagonem (obr. 2c). Pozoruhodné však je, že tyto topologie vedly k výrazně nižšímu překmitu při návratu hladiny glukózy do jejího ustáleného stavu, jak je patrné z nižších maximálních hladin glukózy při návratu poklesu glukózy (obr. 2d). Tato jedinečná vlastnost systémů T1, T4 a T8 souvisí s příslušnými časovými měřítky. Rovnice (1) uvažuje, že hladina glukózy v krvi se snižuje systémově působením vzdáleného inzulinu, . stoupá však se zpožděním oproti inzulinu v důsledku jeho difuze z krve do intersticiálních kompartmentů (obr. 2g). Po reverzi hladiny glukózy v krvi po 30minutovém hypoglykemickém poklesu, pokud by se sekrece inzulinu zvýšila až při překročení hladiny 5 mM, by došlo ke zpoždění 50 minut, než se zvýší na požadovanou úroveň nutnou ke snížení hladiny (obr. 2g). Paradoxní aktivace sekrece inzulinu glukagonem vyvolá časný vzestup , takže jeho systémové hladiny jsou po dosažení 5 mM dostatečně vysoké, aby otupily další překmit (obr. 2g). schopnost systému čelit překmitu po zpětném poklesu hladiny glukózy v krvi platí pro široký rozsah hodnot zpoždění, doplňkový obr. S1.

Zdá se tedy, že zapojení T1, pozorované v ostrůvcích, vede v porovnání s jinými topologiemi k nižší minimální hladině glukózy v krvi, ale má dvě atraktivní vlastnosti z hlediska homeostázy glukózy – minimalizuje integrální pozitivní chybu v reakci na vstup glukózy a otupuje překmit hladiny glukózy po zvratu hypoglykémie. Níže ukážeme, že potenciálně nebezpečný undershoot spojený s touto topologií lze minimalizovat modulací vstupní funkce jater na inzulín a glukagon.

Odezva na poruchy glukózy – globální analýza

Naše lokální analýza zvažovala výkonnost systému, když se měnila pouze síla dvou parakrinů a všechny ostatní parametry zůstaly pevné. Pro doplnění této analýzy jsme provedli nestranný numerický screening39,40,41 náhodným výběrem parametrů z pětirozměrného prostoru parametrů, který se skládá z (Vr, K, ω, Ig, Gi), a bodováním výsledných topologií (obr. 3 a S2). I zde jsme zjistili, že topologie T1, T2 a T5 byly lepší při minimalizaci integrální pozitivní chyby v reakci na vstup glukózy. Tento lepší výkon se zrodil v důsledku inhibice sekrece glukagonu jak glukózou, tak inzulinem (obr. 3a). Topologie T1, T4 a T8, v nichž glukagon aktivuje inzulín, vedly k nižším hladinám glukózy v reakci na zvýšenou spotřebu glukózy (obr. 3b), ale mnohem lépe se vyhýbaly překmitům po návratu k normálním hladinám (obr. 3c). Podobné výsledky jsou uvedeny pro případ, kdy je jedna z parakrinních interakcí nebo obě modelovány jako nelineární (doplňkový obr. S3) nebo kdy je v rovnici (1) uvažován člen pro glykogenezi, doplňkový obr. S4.

Funkce vstupu jater do glukagonu a inzulinu může během hypoglykémie minimalizovat nadměrný růst hladiny glukózy

Naše analýza ukazuje, že paradoxní stimulace sekrece inzulinu glukagonem minimalizuje nadměrný růst hladiny glukózy v krvi po zvratu hypoglykémie, ale má pozoruhodnou zranitelnost – poklesy hladiny glukózy jsou zvýrazněny (nízké minimum po poklesu, obr. 2 a 3). Vzhledem k tomu, že hypoglykemické příhody nízkých hladin glukózy v krvi mohou být život ohrožující, zkoumali jsme, zda lze tento kompromis zmírnit modulací kombinovaného účinku glukagonu a inzulinu na jaterní výdej glukózy. Zjistili jsme, že vstupní funkce f(, ) (rovnice (5)), při níž jsou játra citlivější na glukagon ve srovnání s inzulinem (ω > 1), usnadňuje nízký overshoot i snížený undershoot (obr. 3d a S5). Při takové vstupní funkci je inzulin méně účinný při uzavírání jaterního výdeje glukózy. Předchozí údaje naznačují, že taková zvýšená citlivost, při níž glukagon „přebíjí“ signál z inzulinu, je skutečně pozorována37, obr. 3e. Abychom posoudili parametr ω, který nejlépe popisuje dříve naměřenou vstupní funkci jater vůči inzulinu a glukagonu, prohlédli jsme rozsah 0 ≤ ω ≤ 2 a vypočítali střední kvadratickou chybu (MSE) mezi experimentální a teoretickou vstupní funkcí, přičemž obě byly maximalizovány na svou maximální hodnotu. Získali jsme ωMSE = 1,3.

Reakce na bílkovinná jídla

Naše předchozí analýza prokázala, že inhibice sekrece glukagonu inzulinem vede ke snížení integrované pozitivní chyby po jídle s INPUT glukózou. Navíc jsme zjistili, že paradoxní stimulace sekrece inzulínu glukagonem minimalizuje překračování hladin při návratu z hypoglykemického kroku na úkor nižšího minima po poklesu, kterému může zabránit vstupní funkce jater f(, ). Dále jsme zvažovali další možné výhody paradoxní topologie T1 oproti alternativním intuitivnějším topologiím, jako je T2, v níž inzulin a glukagon vzájemně potlačují sekreci svých příbuzných hormonů. Za tímto účelem jsme analyzovali reakci obvodu na bílkovinná jídla.

Na rozdíl od glukózy vyvolávají aminokyseliny silnou koordinovanou sekreci inzulinu i glukagonu. Tato koordinace vyplývá z mnohostranné role inzulinu jako anabolického hormonu. Inzulín je nutný nejen ke zvýšení buněčného příjmu glukózy, ale také ke zvýšení lipogeneze v reakci na příjem lipidů a produkce bílkovin prostřednictvím translace v reakci na konzumaci aminokyselin42,43 . Arginin je totiž silnějším sekretagogem inzulinu než glukóza44. Zvýšená sekrece inzulinu v reakci na bílkovinné jídlo by mohla mít nebezpečný dopad na homeostázu glukózy v krvi, což by přineslo zvýšení spotřeby inzulinu a snížení HGO. Proti tomuto poklesu hladiny glukózy v krvi je glukagon také silně stimulován aminokyselinami (AA)42,45,46,47,48,49,50,51, aby zajistil zvýšení HGO tváří v tvář takovému kolaterálnímu příjmu glukózy v krvi (obr. 4a).

Pro posouzení potenciálu různých okruhů ostrůvků pro spolusekreci inzulinu i glukagonu jsme zkoumali ustálené stavy hladin inzulinu a glukagonu v reakci na příjem aminokyselin (AA). Použili jsme rovnice (2 a 3), ale místo stimulace glukózou jsme přidali konstantní členy IAAg a IAAi popisující stimulaci aminokyselinami na sekreci inzulinu a glukagonu (obr. 1). 4a):

$$\frac{d}{dt}=\alfa +{I}_{AAg}-{\delta }_{g}+{I}_{g}g()$$

(7)

$$\frac{d}{dt}=\mu +{I}_{AAi}-{\delta }_{i}+{G}_{i}h()$$

(8)

kde, a jsou dva hormony, α a μ jsou základní míry produkce obou hormonů, IAAg = IAAg(AA) a IAAi = IAAi(AA) jsou míry produkce generované vstupem aminokyselin, δg a δi jsou míry degradace a Igg() a Gih() jsou dvě obecné funkce, které představují působení jednoho hormonu na druhý: V dvojnásobně pozitivním případě T4 jsou g() i h() rostoucí, v dvojnásobně negativním případě T2 jsou obě klesající, zatímco ve smíšených případech T1 a T3 je jedna klesající a druhá rostoucí.

Pro porovnání výkonnosti různých systémů jsme uvažovali omezení na IAAg, IAAi, která by zajistila, že ustálené stavy obou hormonů se po vstupu zvýší (IAAg, IAAi > 0), viz Metody.

Zjistili jsme, že negativní zpětnovazební obvody T1 a T3 zahrnující inzulin a glukagon vyžadují omezení pouze na jeden z obou impulsů, zatímco dvojitý negativní obvod T2 vyžaduje omezení na obě vstupní funkce IAAg, IAAi.

Pro zjednodušení jsme uvažovali jednu lineární (h(GLG]) a jednu nelineární interakci (g), níže uvedené výsledky platí pouze v případě, že alespoň jedna interakce je nelineární). Konkrétně:

$$g()=\frac{IN{S}^{n}}{{K}^{n}+IN{S}^{n}}$$

(9)

v případě aktivace, nebo

$$g()=\frac{{K}^{n}}{{K}^{n}+IN{S}^{n}}$$

(10)

v případě inhibice, přičemž n > 2 a K > 0 a h() = Gi.

Obrázek 4d,e ukazuje nulové linie pro dvojnásobně pozitivní, resp. dvojnásobně negativní případ: v dvojnásobně pozitivním případě je bistabilita charakterizována dvěma rovnovážnými body, jedním, v němž jsou oba ustálené stavy vysoké (HH), a druhým, v němž jsou oba ustálené stavy nízké (LL, obr. 4d). 4d); v případě dvojitého negativního obvodu T2 je bistabilita charakterizována dvěma rovnovážnými body, v nichž je jeden hormon ve vysokém ustáleném stavu a druhý v nízkém ustáleném stavu (HL, LH), což dává vzniknout přepínači nebo chování „vzájemné inhibice“ obr. 4e52,53,54,55. V případě smyčky negativní zpětné vazby složené z jedné negativní a jedné pozitivní interakce (T1, T3) k bistabilitě nedochází. V tomto případě mají nulové linie spíše pouze jeden průsečík, tj. monostabilní chování. Negativní zpětná vazba tedy zcela zamezuje bistabilnímu chování a zejména protichůdným stavům hormonů.

Výše uvažovaný zjednodušený model také ukazuje příklad, jak může příjem AA vést ke koordinované vyšší sekreci inzulinu i glukagonu pro T1, T3 a T4, ale ne pro T2, a to prostřednictvím zvláštního posunu průsečíků nullklin.

Shrnem lze říci, že paradoxní zpětná vazba T1 se vyhýbá bistabilitě v reakci na AA a je robustnější při vyvolání koordinované sekrece hormonů po poruše aminokyselin: koordinace je možná s omezením rychlosti produkce jednoho z hormonů, zatímco k tomu, aby byla koordinace se systémem dvojité negativní zpětné vazby, je zapotřebí více omezení. Pomocí rovnic (1) a (4) jsme kromě rovnic (9 a 10) hodnotili také vliv aminokyselinového jídla na hladinu glukózy v krvi. Zjistili jsme, že pokud jsou játra citlivější na glukagon ve srovnání s inzulinem (parametr ω > 1, obr. 3e), topologie T1, T2 a T5 nejlépe minimalizují vliv přívodu aminokyselin na hladinu glukózy v krvi z hlediska integrální odchylky, jak ukazuje doplňkový obr. S6.