A hasnyálmirigy alfa- és béta-sejtjei közötti paradox visszacsatolás tervezési elvei | Scientific Reports

Matematical model of the islet circuit

A vércukorszint szabályozásának alapjául szolgáló áramkör jellemzésére 4 közönséges differenciálegyenletből (ODE) álló matematikai modellt vezettünk le, amely figyelembe vette a kísérleti megfigyeléseket és az irodalomból származó hipotéziseket. Az egyszerűség kedvéért elhanyagoltuk a szomatosztatin hatását, amely egy olyan hormon, amelyet a szigetek delta-sejtjei választanak ki az inzulinszekrécióra, és amely gátolja mind az inzulin, mind a glükagon szekrécióját. Modellünk a következő mennyiségek koncentrációjának időbeli változásának ütemét írja le: Vércukor (), vérglükagon (), vérinzulin () és távoli inzulin (), az intersticiális szöveti kompartmentben lévő inzulinkoncentrációt reprezentáló köztes tényező. úgy tekintjük, hogy az inzulin elnyomásának a vércukorszintre gyakorolt késleltetett hatását közvetíti28. Az inzulin és a glükagon közötti negatív és pozitív kölcsönhatások minden lehetséges kombinációját figyelembe vettük, így kilenc különböző almodellt kaptunk (1c. ábra).

A következő általános közönséges differenciálegyenletek írják le az összes lehetséges endokrin kör dinamikáját:

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt} & = & INPUT+{\beta }_{0}f(,)-({\delta }_{b}+{\delta }_{b}DROP)-V\end{array}$$$

(1)

$$$\frac{d}{dt}=\alpha…{\delta }_{g}+{V}_{r}{(B{G}^{\ast }-)}^{+}+{I}_{g}g()$$

(2)

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt} & = & \mu +K{(-B{G}^{\ast })}^{+}-{\delta }_{i}-\varepsilon (-)+\,{G}_{i}h()\end{array}$$

(3)

$$$\frac{d}{dt}=\varepsilon (-)-{\delta }_{Ri}.$$

(4)

INPUT az étkezésből származó glükózfelvételt, DROP a vércukor szisztémás felvételének növekedését jelenti, például az edzés során megnövekedett izomfogyasztás miatt. (x)+ 0, ha x ≤ 0, és x, ha x > 0. Állandósult állapotban, külső perturbáció hiányában INPUT = DROP = 0. Az INPUT és DROP változók változtatásával szimuláltuk az endokrin körök dinamikus válaszát a külső perturbációkra (1d,e ábra). f(, ) a máj glükóz kibocsátását (HGO) a vércukorszint és 36,37 függvényében. A következő, két Michelis Menten (MM) kifejezés összegéből álló formát vettük figyelembe:

$$f(,)=(\omega \frac{}{GL{G}^{\ast }+}+(2-\omega )\frac{IN{S}^{\ast }}{IN{S}^{\ast }+})$$

(5)

GLG* és INS* a glükagon és az inzulin állandósult állapotát képviseli = 5 mM-on, és 0 ≤ ω ≤ 2 a glukagonnak az inzulinnal szemben tulajdonított relatív súlyt jelenti a máj válaszának befolyásolásában.

Minden egyenlethez figyelembe vettük a glukagon, az inzulin és a távoli inzulin lebontási feltételeit (δg, δi, illetve δRi); δb az alapszintű vércukorfelvételt jelenti, elsősorban az agyi fogyasztás révén, V pedig az inzulinfüggő glükózfelvételt27; α és μ a glukagon és az inzulin alapszintű szekréciós sebességét jelenti. Az inzulinszekréciót a vércukorszint K( – BG*)+ monoton növekvő függvényeként, a glukagonszekréciót pedig a vércukorszint Vr(BG* – )+ monoton csökkenő függvényeként modelleztük38. Az inzulinra (3) és a távoli inzulinra (4) vonatkozó egyenleteknek van egy közös “transzportterme” (ε ( – )), amely az inzulin diffúzióját jelenti a vérből az intersticiális kompartmentbe28.

Az inzulin és a glükagon közötti kölcsönhatásokat két általános függvény fejezi ki: Igg() és Gih(). Az egyszerűség kedvéért a következő elemzésben a g() és h() lineáris lesz, de az eredmények nemlineáris függvények esetén is érvényesek maradnak(Kiegészítő információk). Modellünk figyelmen kívül hagyja a vér inzulin közvetlen hatását a máj glükózfogyasztásának növelésére a glikogenezisen keresztül. A nemlinearitásokhoz hasonlóan az alábbi eredmények érvényesek maradnak e további folyamat bevezetésekor is (Kiegészítő információk). Az (1-5) egyenletekben szereplő modellnek 16 szabad paramétere van, amelyet a következőkben 5 paraméterre (Ig, Gi, Vr, K, ω) redukáltunk az irodalomból származó különböző becslések segítségével (1. táblázat).

1. táblázat A becsült paraméterek táblázata: a δb, δg, δi, δri, V, BG*, INS*, GLG* paramétereket az irodalomból becsültük; a β0, α, ε, RINS* paramétereket az (1-4. egyenletekben szereplő állandósult állapot feltételei alapján becsültük, lásd a Módszerek című fejezetet. A μ, Vr, K, w paramétereket a Módszerek

Teljesítménykritériumok

A vizsgált endokrin rendszerek esetében három különböző teljesítménykritériumot vettünk figyelembe. Az első az alacsony integrál pozitív hiba volt, amelyet a következőképpen definiáltunk:

$${\int }_{0}^{T}{(-B{G}^{\ast })}^{+}dt$$

(6)

ahol az intervallumot jelenti, amelyben a szimulációt végezzük.

Ez a kritérium azt jelenti, hogy az áramkör képes-e elkerülni a glükózlépést követő hiperglikémiát (1d. ábra). A második kritérium a megnövekedett szisztémás glükózfogyasztásra reagáló minimális glükózszint magas értéke volt, így elkerülhető a nagy hipoglikémiás glükózesés (1e. ábra). A harmadik az alacsony túllövés volt, amikor a vércukorszint hipoglikémiás állapotból visszatér (maximum a csökkenés után, 1e. ábra).

Válasz a glükóz perturbációkra – lokális elemzés

Az alfa- és béta-sejtek közötti paradox negatív visszacsatolás potenciális hasznosságának megértéséhez a következőkben egy olyan stratégiát alkalmaztunk, amelyet “lokális elemzésnek” nevezünk. A rendszert parakrin kölcsönhatás nélkül, T0 (1c ábra), pozitív vagy negatív 30 perces INPUT és DROP lépéssel stimuláltuk (2e,g ábra). Átvizsgáltuk a T0 3 dimenziós paraméterterét (Vr, K, ω), és azonosítottunk egy olyan kombinációt, amely a három kritérium szempontjából viszonylag kedvező teljesítményhez vezet (a következő eredmények nem érzékenyek a T0 paraméterekre). Ezután szisztematikusan módosítottuk a Gi és Ig parakrin kölcsönhatások erősségét és irányát, és értékeltük a rendszer teljesítménykritériumaira gyakorolt hatásokat (2a-d ábra).

Megállapítottuk, hogy a T1, T2 és T5 áramköri topológiák a többinél jobban minimalizálták az integrál pozitív hibát. Ezek az áramkörök magukban foglalják a glükagonszekréció inzulin általi gátlását, így biztosítva a máj glükózkibocsátásának hatékony leállítását táplálkozáskor. Így a glükózszint emelkedésekor a glükagon szintje mind közvetlenül a glükóz, mind közvetve az inzulinszekréció növekedése révén csökkenne (2b. ábra). A T3, T4 és T7 topológiák sokkal rosszabbul teljesítettek az integrál hiba szempontjából, mivel ezek a glükagon inzulin általi közvetett aktiválását tartalmazzák a glükóz általi közvetlen gátlással párhuzamosan. Ráadásul nem tudták elérni az 5 mM-os állandósult állapotot a paraméterek széles skáláján, amint azt a 2a. ábra mutatja.

A glükózcseppekre adott választ vizsgálva azt találtuk, hogy a T1, T4 és T8 alacsonyabb minimumot mutatott, ami az inzulinszekréció glükagon általi paradox aktiválásának eredménye (2c. ábra). Figyelemre méltó azonban, hogy ezek a topológiák a glükózszintek állandósult állapotba való visszaállításakor jelentősen csökkent túlcsordulást eredményeztek, ami a glükózcseppek visszaállításakor az alacsonyabb maximális glükózszintekből is kitűnik (2d. ábra). A T1, T4 és T8 egyedi jellemzője az érintett időskálákkal függ össze. Az (1) egyenlet figyelembe veszi, hogy a vér glükózszintje szisztémásan csökken a távoli inzulin hatására, . azonban az inzulinhoz képest késleltetve emelkedik a vérből az intersticiális kompartmentekbe történő diffúziója miatt (2g. ábra). A vércukorszintek 30 perces hipoglikémiás csökkenést követő visszafordulását követően, ha az inzulinszekréció csak akkor emelkedne, amikor a szintek meghaladják az 5 mM-ot, akkor 50 perc késedelem következne be, amíg a szintek csökkenéséhez szükséges szintre emelkedik (2g. ábra). Az inzulinszekréció glukagon általi paradox aktiválása korai emelkedést eredményez a , így a szisztémás szintje elég magas, amint eléri az 5 mM-ot, hogy tompítsa a további túllövéseket (2g. ábra).A rendszer képessége a vércukorszint-csökkenés visszafordulását követő túllövés ellensúlyozására a késleltetési értékek széles tartományára érvényes, Kiegészítő S1. ábra.

A T1, a szigeteken megfigyelt áramkör tehát úgy tűnik, hogy más topológiákhoz képest alacsonyabb minimális vércukorszinthez vezet, de a glükóz homeosztázis szempontjából két vonzó tulajdonsággal rendelkezik – minimalizálja a glükózbevitelre adott válaszként fellépő integrál pozitív hibát és tompítja a hipoglikémia visszafordulását követő glükózszint túlsiklást. Az alábbiakban bemutatjuk, hogy az ehhez a topológiához kapcsolódó potenciálisan veszélyes alulcsúszások minimalizálhatók a máj inzulinra és glükagonra vonatkozó bemeneti funkciójának modulálásával.

Válasz a glükóz perturbációkra – globális elemzés

Lokális elemzésünk a rendszer teljesítményét vizsgálta, amikor csak a két parakrin erősséget változtattuk, és az összes többi paramétert rögzítettük. Ezt az elemzést kiegészítendő egy torzításmentes numerikus szűrést39,40,41 végeztünk, véletlenszerű paraméterek mintavételezésével a (Vr, K, ω, Ig, Gi) paraméterekből álló 5 dimenziós paramétertérből és az így kapott topológiák pontozásával (3. és S2. ábra). Itt is azt találtuk, hogy a T1, T2 és T5 topológiák jobban minimalizálták az integrál pozitív hibát glükóz bevitelre adott válaszként. Ez a jobb teljesítmény a glükagonszekréció glükóz és inzulin általi gátlásából született (3a. ábra). A T1, T4 és T8 topológiák, amelyekben a glukagon aktiválja az inzulint, a megnövekedett glükózfogyasztásra válaszul alacsonyabb glükózszintekhez vezettek (3b. ábra), de sokkal jobbak voltak a normál szintre való visszatérést követő túllövések elkerülésében (3c. ábra). Hasonló eredmények mutatkoznak abban az esetben is, amikor a parakrin kölcsönhatások egyikét vagy mindkettőt nemlineárisnak modellezzük (S3. kiegészítő ábra), vagy amikor az (1) egyenletben figyelembe vesszük a glikogenezis kifejezését, S4. kiegészítő ábra.

A máj glukagon és inzulin bemeneti függvénye képes minimalizálni a hypoglikémia alatti alulcsúszásokat

Elemzésünk azt mutatja, hogy az inzulinszekréció glukagon általi paradox stimulálása minimalizálja a vércukorszintek túlcsúszásait a hipoglikémia visszafordulását követően, de van egy figyelemre méltó sebezhetőség – a glükózszintek csökkenése hangsúlyos (alacsony minimum a csökkenés után, 2. és 3. ábra). Mivel az alacsony vércukorszintek hipoglikémiás eseményei életveszélyesek lehetnek, megvizsgáltuk, hogy ez a kompromisszum enyhíthető-e a glükagon és az inzulin együttes hatásának modulálásával a máj glükózkibocsátására. Azt találtuk, hogy egy olyan f(, ) bemeneti függvény ((5. egyenlet)), amelyben a máj érzékenyebb a glukagonra, mint az inzulinra (ω > 1), elősegíti az alacsony túlcsordulást, valamint a csökkentett alulcsordulást (3d. és S5. ábra). Ilyen bemeneti funkció mellett az inzulin kevésbé hatékony a máj glükózkibocsátásának leállításában. Korábbi adatok azt mutatják, hogy valóban megfigyelhető ilyen fokozott érzékenység, amelyben a glükagon “felülírja” az inzulinból érkező jelet37, 3e. ábra. Annak értékeléséhez, hogy melyik ω paraméter írja le legjobban a korábban mért máj inzulinra és glükagonra vonatkozó bemeneti függvényét, a 0 ≤ ω ≤ 2 tartományt pásztáztuk, és kiszámítottuk a kísérleti és az elméleti bemeneti függvények közötti átlagos négyzetes hibát (MSE), mindkettőt a maximális értékre maximalizálva. Azt kaptuk, hogy ωMSE = 1,3.

Válasz a fehérje étkezésekre

A korábbi elemzésünk azt mutatta, hogy a glükagon szekréció inzulin általi gátlása az integrált pozitív hiba csökkenését eredményezi INPUT glükóz étkezést követően. Továbbá azt találtuk, hogy az inzulinszekréció glukagon általi paradox stimulálása minimalizálja a szintek túllövését a hipoglikémiás lépésből való visszatéréskor, a csökkenés utáni alacsonyabb minimum rovására, amit a máj bemeneti f(, ) függvényével meg lehet akadályozni. Ezután a T1 paradox topológia további lehetséges előnyeit vizsgáltuk az alternatív, intuitívabb topológiákkal, például a T2-vel szemben, amelyben az inzulin és a glükagon kölcsönösen elnyomja a velük rokon hormonok szekrécióját. E célból elemeztük az áramkör válaszát a fehérjeétkezésekre.

A glükózzal ellentétben az aminosavak mind az inzulin, mind a glükagon erőteljes, összehangolt szekrécióját kiváltják. Ez a koordináció az inzulin mint anabolikus hormon többszörös szerepéből ered. Az inzulinra nemcsak a glükóz sejtszintű felvételének növeléséhez van szükség, hanem a lipidbevitelre adott válaszként a lipogenezis fokozásához és az aminosavak fogyasztására adott válaszként a transzláción keresztüli fehérjetermeléshez is42,43 . Az arginin valóban hatásosabb inzulinszekréciós anyag, mint a glükóz44. A fehérjeételek hatására megnövekedett inzulinszekréció veszélyes hatással lehet a vércukor-homeosztázisra, ami a fogyasztás inzulinfüggő növekedését és a HGO csökkenését eredményezi. A vércukorszint csökkenésének ellensúlyozására a glükagont az aminosavak (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 is erőteljesen stimulálják, hogy az ilyen járulékos vércukorfelvétel mellett is biztosítsák a HGO növekedését (4a. ábra).

Az inzulin és a glükagon együttes szekréciójára vonatkozó különböző szigetköri potenciálok felmérése érdekében megvizsgáltuk az inzulin és a glükagon állandósult szintjét aminosavak (AA) bevitelére adott válaszként. A (2. és 3. egyenletet használtuk, de a glükózstimuláció helyett az inzulin- és glükagonszekrécióra gyakorolt aminosavstimulációt leíró IAAg és IAAi konstans kifejezéseket adtunk hozzá (ábra. 4a):

$$$\frac{d}{dt}=\alpha +{I}_{AAg}-{\delta }_{g}+{I}_{g}g()$$

(7)

$$$\frac{d}{dt}=\mu +{I}_{AAi}-{I}_{AAi-{\delta }_{i}+{G}_{i}h()$$$

(8)

hol, és a két hormon, α és μ a két hormon alapprodukciós rátája, IAAg = IAAg(AA) és IAAi = IAAi(AA) az aminosav-bemenet által generált termelési ráták, δg és δi a lebontási ráták és Igg() és Gih() két általános függvény, amelyek az egyik hormon másikra gyakorolt hatását reprezentálják: a T4 kettős pozitív esetben mind a g(), mind a h() nő, a T2 kettős negatív esetben mindkettő csökken, míg a T1 és T3 vegyes esetekben az egyik csökken, a másik nő.

A különböző rendszerek teljesítményének összehasonlítása érdekében figyelembe vettük az IAAg, IAAi olyan megkötéseket, amelyek biztosítják, hogy mindkét hormon állandósult állapota növekedjen egy bemenetre (IAAg, IAAi > 0), lásd Módszerek.

Azt találtuk, hogy az inzulint és a glükagont érintő T1 és T3 negatív visszacsatolási áramkörök csak a két impulzus egyikére vonatkozó korlátozást igényelnek, míg a T2 kettős negatív áramkör mindkét bemeneti függvényre (IAAg, IAAi) vonatkozó korlátozást igényel.

Az egyszerűség kedvéért egy lineáris (h(GLG]) és egy nem lineáris kölcsönhatást (g) tekintünk, az alábbi eredmények csak akkor érvényesek, ha legalább egy kölcsönhatás nem lineáris). Különösen:

$$g()=\frac{IN{S}^{n}}}{{K}^{n}+IN{S}^{n}}}$$

(9)

aktiválás esetén, vagy

$$g()=\frac{{K}^{n}}}{{K}^{n}+IN{S}^{n}}$$

(10)

gátlás esetén, ahol n > 2 és K > 0, h() = Gi.

A 4d,e ábrán a kettős pozitív, illetve a kettős negatív eset nullvonalai láthatók: a kettős pozitív esetben a bistabilitást két egyensúlyi pont jellemzi, az egyikben mindkét állandósult állapot magas (HH), a másikban pedig mindkét állandósult állapot alacsony (LL, ábra. 4d); a kettős negatív T2 áramkörben a bistabilitást két olyan egyensúlyi pont jellemzi, amelyekben az egyik hormon magas, a másik pedig alacsony állandósult állapotban van (HL, LH), ami egy kapcsolási vagy “kölcsönös gátlási” viselkedést eredményez (4e52,53,54,55. ábra). Egy negatív és egy pozitív kölcsönhatásból álló negatív visszacsatolási hurok (T1, T3) esetén nincs bistabilitás. Ebben az esetben inkább csak egy metszéspontja van a nullgörbéknek, azaz monostabil viselkedésről van szó. Így a negatív visszacsatolás teljesen elkerüli a bistabil viselkedést és különösen a hormonok ellentétes állapotát.

A fentebb vizsgált egyszerűsített modell arra is mutat egy példát, hogy az AA bevitele a nullklinikák metszéspontjainak sajátos eltolódásán keresztül mind az inzulin, mind a glükagon T1, T3 és T4, de nem T2 esetében koordináltan magasabb szekréciójához vezethet.

Összefoglalva, a T1 paradox visszacsatolás elkerüli a bistabilitást az AA-ra adott válaszban, és robusztusabb a hormonok koordinált szekréciójának kiváltásában egy aminosav-perturbációt követően: a koordináció lehetséges az egyik hormon termelési sebességének korlátozásával, míg a kettős negatív visszacsatolású rendszerrel több korlátozás szükséges a koordinációhoz. A (9. és 10.) egyenletek mellett az (1.) és (4.) egyenletekkel is megvizsgáltuk az aminosav étkezés hatását a vércukorszintre. Azt találtuk, hogy amikor a máj érzékenyebb a glükagonra, mint az inzulinra (ω > 1 paraméter, 3e. ábra), a T1, T2 és T5 topológiák a legjobbak az aminosav-bevitel vércukorszintre gyakorolt hatásának minimalizálásában az integrál eltérés szempontjából, amint az az S6. kiegészítő ábrán látható.

Design principles of the paradoxical feedback between pancreatic alpha and beta cells