Matemaattinen malli saarekepiiristä
Verensokerin säätelyn taustalla olevan piirin luonnehtimiseksi johdimme matemaattisen mallin neljästä tavallisesta differentiaaliyhtälöstä (Ordinary Differential Equations, ODE), jossa otettiin huomioon kokeelliset havainnot ja kirjallisuuden hypoteesit. Yksinkertaisuuden vuoksi jätimme huomiotta somatostatiinin vaikutuksen, joka on saarekkeiden delta-solujen erittämä hormoni vastauksena insuliinin eritykseen ja joka estää sekä insuliinin että glukagonin eritystä. Mallimme kuvaa seuraavien suureiden pitoisuuksien muutosnopeutta ajan kuluessa: Veren glukoosi (), veren glukagoni (), veren insuliini () ja etäinsuliini (), välitekijä, joka edustaa insuliinin pitoisuuksia interstitiaalisessa kudososastossa. katsotaan välittävän insuliinin tukahduttamisen viivästynyttä vaikutusta veren glukoosipitoisuuteen28. Tarkastelimme kaikkia mahdollisia insuliinin ja glukagonin negatiivisten ja positiivisten vuorovaikutusten yhdistelmiä, jolloin saimme aikaan yhdeksän erilaista osamallia (kuva 1c).
Seuraavat yleiset tavalliset differentiaaliyhtälöt kuvaavat kaikkien mahdollisten endokriinisten piirien dynamiikkaa:
INPUT edustaa glukoosin saantia ateriasta, DROP edustaa verensokerin systeemisen saannin lisääntymistä esimerkiksi lihaskulutuksen lisääntymisen vuoksi liikunnan aikana. (x)+ on 0, kun x ≤ 0, ja x, kun x > 0. Vakaassa tilassa ilman ulkoista häiriötä INPUT = DROP = 0. Simuloimme endokriinisten piirien dynaamista vastetta ulkoisiin häiriöihin muuttamalla muuttujia INPUT ja DROP (kuvat 1d,e). f(, ) edustaa hepaattista glukoosituotantoa (HGO) verensokeripitoisuuksien ja 36,37 funktiona. Tarkastelimme seuraavaa muotoa, joka koostuu kahden Michelis Menten (MM) -termin summasta:
GLG* ja INS* edustavat glukagonin ja insuliinin pysyviä tiloja, kun ne ovat tasoissa, jotka ovat tasolla = 5 mM, ja 0 ≤ ω ≤ 2 edustaa glukagonin suhteellista painoarvoa insuliiniin nähden maksan vasteeseen vaikuttamisessa.
Kussakin yhtälössä otettiin huomioon glukagonin, insuliinin ja etäinsuliinin hajoamistermit (vastaavasti δg, δi, δRi); δb edustaa veren glukoosin perusottoa, joka tapahtuu pääasiassa aivojen kulutuksen kautta, ja V edustaa insuliinista riippuvaista glukoosinottoa27; α ja μ edustavat glukagonin ja insuliinin peruseritysnopeuksia. Mallinnimme insuliinin erityksen veren glukoosipitoisuuden monotonisesti kasvavana funktiona K( – BG*)+ ja glukagonin erityksen veren glukoosipitoisuuden monotonisesti laskevana funktiona Vr(BG* – )+ 38. Insuliinin (3) ja etäinsuliinin (4) yhtälöissä on yhteinen ”kuljetustermi” (ε ( – )), joka kuvaa insuliinin diffuusiota verestä interstitiaaliseen osastoon28.
Insuliinin ja glukagonin väliset vuorovaikutukset ilmaistaan kahdella yleisellä funktiolla Igg() ja Gih(). Yksinkertaisuuden vuoksi seuraavassa analyysissä g() ja h() ovat lineaarisia, mutta tulokset pätevät edelleen epälineaarisille funktioille(Supplementary Information). Mallissamme ei myöskään oteta huomioon veren insuliinin suoria vaikutuksia maksan glukoosin kulutuksen lisääntymiseen glykogeneesin kautta. Kuten epälineaarisuuksien kohdalla, jäljempänä esitetyt tulokset pysyvät voimassa, kun otetaan käyttöön tämä lisäprosessi (täydentävät tiedot). Yhtälöiden (1-5) mukaisessa mallissa on 16 vapaata parametria, jotka vähensimme seuraavaksi viiteen parametriin (Ig, Gi, Vr, K, ω) käyttäen kirjallisuudesta saatuja erilaisia estimaatteja (taulukko 1).
Toimintakriteerit
Harkitsimme kolmea erilaista toimintakriteeriä tutkituille hormonijärjestelmille. Ensimmäinen oli pieni positiivinen integraalivirhe, joka määriteltiin seuraavasti:
jossa edustaa aikaväliä, jolla simulointi suoritetaan.
Tämä kriteeri edustaa piirin kykyä välttää hyperglykemiaa glukoosivaiheen jälkeen (kuva 1d). Toinen kriteeri oli glukoosin vähimmäistason korkea arvo vastauksena lisääntyneeseen systeemiseen glukoosin kulutukseen, jolloin vältetään suuret hypoglykemialliset glukoosipudotukset (kuva 1e). Kolmas kriteeri oli pieni ylitys, kun verensokeri palautuu hypoglykeemisestä tilasta (maksimi pudotuksen jälkeen, kuva 1e).
Vaste glukoosihäiriöihin – paikallinen analyysi
Ymmärtääksemme alfa- ja beetasolujen välisen paradoksaalisen negatiivisen takaisinkytkennän potentiaalista hyötyä sovelsimme seuraavaksi strategiaa, jota kutsumme nimellä ”paikallinen analyysi”. Stimuloimme järjestelmää ilman parakriinistä vuorovaikutusta, T0 (kuva 1c), positiivisella tai negatiivisella 30 minuutin INPUT- ja DROP-askeleella (kuva 2e,g). Skannasimme T0:n kolmiulotteisen parametriavaruuden (Vr, K, ω) ja tunnistimme yhdistelmän, joka johtaa suhteellisen suotuisaan suorituskykyyn kolmen kriteerin suhteen (seuraavat tulokset eivät ole herkkiä T0:n parametreille). Seuraavaksi muokkasimme systemaattisesti parakriinisten vuorovaikutusten Gi ja Ig voimakkuutta ja suuntaa ja arvioimme vaikutuksia järjestelmän suorituskykykriteereihin (kuva 2a-d).
Lokaalianalyysi paljastaa kaikkien piiritopologioiden piirteitä. Kuvassa on esitetty verensokerin vakiotilat (a) integraalinen positiivinen virhe (b) minimitaso glukoosipudotuksen jälkeen (c) ja maksimi ylitys glukoosipudotuksesta palautumisen jälkeen (d). Kullekin parametriparille (Ig, Gi) simuloitiin ja pisteytettiin järjestelmän vasteet 30 minuutin glukoosin sisäänmenoon ja 30 minuutin glukoosipudotukseen. Integraalivirhe on arvioitu 500 minuutin aikavälein. Valkoiset pisteet edustavat kutakin (e ja f) esitettyä parametriparia; eri alueet on merkitty vastaavalla topologialla. (e-f) Simulaatiot verensokerin vasteesta 30 minuutin positiiviseen/negatiiviseen pulssiin: ulkoiset ärsykkeet esitetään harmaalla tummennetulla alueella ja järjestelmien T0, T1, T2, T3, T4 vaste vastaavasti sinisellä, punaisella, vihreällä, keltaisella ja violetilla. (g) Topologioiden T0, T1 vertailu verensokerin (), glukagonin (), insuliinin () ja etäinsuliinin () käyttäytymisen osalta 30 minuuttia kestäneen lisääntyneen glukoosin kulutuksen jälkeen (harmaalla tummennettu alue): topologiassa T0 insuliini kiihtyy 50 minuutin viiveellä. Kaikissa analyyseissä Vr = K = 10-5 ja ω = 1.
Havaitsimme, että piiritopologiat T1, T2 ja T5 olivat muita parempia integraalisen positiivisen virheen minimoinnissa. Näihin virtapiireihin sisältyy glukagonin erityksen estäminen insuliinilla, mikä varmistaa maksan glukoosintuotannon tehokkaan sammuttamisen ruokinnan yhteydessä. Näin ollen glukoosipitoisuuden noustessa glukagonitasot laskisivat sekä suoraan glukoosin että epäsuorasti insuliinin erityksen lisääntymisen ansiosta (kuva 2b). Topologiat T3, T4 ja T7 pärjäsivät integraalivirheen osalta paljon huonommin, koska ne sisälsivät glukagonin epäsuoran aktivoitumisen insuliinin vaikutuksesta rinnakkain glukoosin suoran eston kanssa. Ne eivät myöskään pystyneet saavuttamaan 5 mM:n tasaista tilaa laajalla parametrivalikoimalla, kuten kuvasta 2a käy ilmi.
Kun tarkastelimme vastetta glukoosin pudotukseen, havaitsimme, että T1, T4 ja T8 osoittivat alhaisempaa minimiä, mikä oli seurausta insuliinin erityksen paradoksaalisesta aktivoinnista glukagonin toimesta (kuva 2c). Huomionarvoista on kuitenkin se, että nämä topologiat aiheuttivat huomattavasti pienemmän ylilyönnin glukoosipitoisuuksien palautuessa takaisin vakiintuneeseen tilaansa, mikä käy ilmi pienemmistä glukoosin maksimipitoisuuksista glukoosipisaroiden palautuessa takaisin (kuva 2d). Tämä T1:n, T4:n ja T8:n ainutlaatuinen piirre liittyy kyseisiin aikaskaaloihin. Yhtälössä (1) otetaan huomioon, että veren glukoosipitoisuus laskee systeemisesti etäinsuliinin vaikutuksesta, . nousee kuitenkin viiveellä insuliiniin verrattuna, koska se diffundoituu verestä interstitiaalisiin osastoihin (kuva 2g). Veren glukoosipitoisuuden palautumisen jälkeen 30 minuutin hypoglykemiapudotuksen jälkeen, jos insuliinin eritys lisääntyisi vasta, kun pitoisuudet ylittävät 5 mM, olisi 50 minuutin viive, ennen kuin insuliinin eritys olisi kiihtynyt pitoisuuksien alentamiseen tarvittavaan tasoon (kuva 2g). Insuliinin erityksen paradoksaalinen aktivoituminen glukagonin vaikutuksesta saa aikaan varhaisen nousun , joten sen systeemiset tasot ovat riittävän korkeat, kun ne saavuttavat 5 mM:n rajan, jotta ylimääräiset ylilyönnit voidaan tyrehdyttää (kuva 2g).Järjestelmän kyky torjua veren glukoosipitoisuuden laskujen palautumisen jälkeistä ylilyöntiä pätee laajalla viiveen arvojen vaihteluvälialueella, täydentävä kuva S1.
Näin ollen saarekkeissa havaittu piiri T1 näyttää johtavan alhaisempaan veren glukoosipitoisuuden minimiin verrattuna muihin topologioihin, mutta sillä on kaksi houkuttelevaa ominaisuutta glukoosin homeostaasin kannalta – integraalisen positiivisen virheen minimoiminen vasteena glukoosin syöttöön ja glukoosipitoisuuden ylisyöksyjen tyrehdyttäminen hypoglykemian palautumisen jälkeen. Osoitamme jäljempänä, että tähän topologiaan liittyvät mahdollisesti vaaralliset alitukset voidaan minimoida moduloimalla maksan insuliinin ja glukagonin syöttöfunktiota.
Vaste glukoosihäiriöihin – globaali analyysi
Lokaalissa analyysissämme tarkasteltiin systeemin suorituskykyä, kun vain kahden parakriinin voimakkuutta vaihdeltiin ja kaikki muut parametrit pysyivät kiinteinä. Tämän analyysin täydentämiseksi suoritimme puolueettoman numeerisen seulan39,40,41 poimimalla parametrit satunnaisesti 5-ulotteisesta parametriavaruudesta, joka koostuu (Vr, K, ω, Ig, Gi) ja pisteyttämällä tuloksena saadut topologiat (kuvat 3 ja S2). Tässäkin havaittiin, että topologiat T1, T2 ja T5 olivat parempia minimoimaan integraalista positiivista virhettä vastauksena glukoosin syöttöön. Tämä parempi suorituskyky johtui glukagonin erityksen estämisestä sekä glukoosilla että insuliinilla (kuva 3a). T1, T4 ja T8, topologiat, joissa glukagoni aktivoi insuliinin, johtivat alhaisempiin glukoosipitoisuuksiin vasteena lisääntyneeseen glukoosin kulutukseen (kuva 3b), mutta olivat paljon parempia välttämään ylilyöntejä sen jälkeen, kun glukagoni oli palautunut normaaleille tasoille (kuva 3c). Samanlaisia tuloksia saadaan, kun toinen parakriinisistä vuorovaikutuksista tai molemmat mallinnetaan epälineaarisina (täydentävä kuva S3) tai kun yhtälössä (1) otetaan huomioon glykogeneesitermi, täydentävä kuva S4.
Globaalinen analyysi paljastaa piirteiden ominaispiirteitä kaikista piiritopologioista. (a) Boxplotit kuvaavat kaikkien piiritopologioiden integraalista positiivista virhettä (a), minimitasoa pudotuksen jälkeen (b) ja suurinta ylitystä pudotuksen jälkeen (c). Kunkin indeksin osalta Kruskal-Wallis-analyysi ilmoittaa p-arvon < 0,001. (d) Piirin T1 aliohjaus voidaan minimoida lisäämällä maksan herkkyyttä glukagonille. Harmaa tummennettu alue edustaa ω:n aluetta, jolla minimi on suurempi kuin 3 mM. (e) Maksan glukoosituotanto glukagonin ja insuliinin funktiona on esitetty riippuen maksan herkkyyden arvosta glukagonille (parametri ω). Simuloinnit on suoritettu ottaen huomioon yhtälö (5) tulofunktiona ja taulukossa 1 ilmoitetut parametrit. Mustassa suorakulmiossa oleva kuvaaja edustaa tietoja, jotka on saatu37. GLG ∈ pM ja INS ∈ pM. GLG- ja INS-akselit on esitetty logaritmisissa asteikoissa.
Maksan glukagonin ja insuliinin syöttöfunktio voi minimoida hypoglykemian aikana tapahtuvat alitukset
Analyysimme osoittaa, että glukagonin aiheuttama insuliinin erityksen paradoksaalinen stimulaatio minimoi hypoglykemian palautumisen jälkeiset veren glukoosipitoisuuksien ylilyönnit, mutta siihen liittyy huomattava haavoittuvuus – glukoosipitoisuuksien putoamiset korostuvat (matala minimi putoamisten jälkeen, kuvat 2 ja 3). Koska matalien verensokeritasojen aiheuttamat hypoglykemiatapahtumat voivat olla hengenvaarallisia, tutkimme, voitaisiinko tätä kompromissia lieventää moduloimalla glukagonin ja insuliinin yhteisvaikutuksia maksan glukoosintuottoon. Havaitsimme, että tulofunktio f(, ) (yhtälö (5)), jossa maksa on herkempi glukagonille kuin insuliinille (ω > 1), mahdollistaa alhaisen yliaallon sekä pienemmän aliaallon (kuvat 3d ja S5). Tällaisella tulofunktiolla insuliini ei ole yhtä tehokas sulkemaan maksan glukoosintuottoa. Aiemmat tiedot osoittavat, että tällaista lisääntynyttä herkkyyttä, jossa glukagoni ”ohittaa” insuliinin signaalin, todellakin havaitaan37, kuva 3e. Arvioidaksemme parametrin ω, joka parhaiten kuvaa aiemmin mitattua maksan tulofunktiota insuliinille ja glukagonille, skannasimme alueen 0 ≤ ω ≤ 2 ja laskimme kokeellisen ja teoreettisen tulofunktion välisen keskimääräisen neliövirheen (Mean Squared Error, MSE), jotka molemmat maksimoitiin maksimiarvoonsa. Saimme ωMSE = 1,3.
Vaste proteiiniaterioihin
Aiempi analyysimme osoitti, että glukagonin erityksen estäminen insuliinilla aiheuttaa integroidun positiivisen virheen pienenemisen INPUT-glukoosiaterian jälkeen. Lisäksi havaitsimme, että glukagonin aiheuttama insuliinin erityksen paradoksaalinen stimulointi minimoi tasojen ylilyönnit hypoglykemiavaiheesta palattaessa, mikä tapahtuu pudotuksen jälkeisen pienemmän minimin kustannuksella, joka voidaan estää maksan syöttöfunktion f(, ) avulla. Seuraavaksi pohdimme paradoksaalisen topologian T1 mahdollisia lisäetuja verrattuna vaihtoehtoisiin intuitiivisempiin topologioihin, kuten T2:een, jossa insuliini ja glukagoni tukahduttavat vastavuoroisesti samankaltaisten hormoniensa erityksen. Tätä varten analysoimme piirin vastetta proteiiniaterioille.
Toisin kuin glukoosi, aminohapot saavat aikaan voimakkaan koordinoidun sekä insuliinin että glukagonin erityksen. Tämä koordinointi johtuu insuliinin moninaisista tehtävistä anabolisena hormonina. Insuliinia tarvitaan paitsi lisäämään glukoosin ottoa soluihin myös lisäämään lipogeneesiä vasteena lipidien saannille ja proteiinituotantoa translaation kautta vasteena aminohappojen kulutukselle42,43. Arginiini onkin tehokkaampi insuliinin erittäjä kuin glukoosi44. Lisääntynyt insuliinin eritys vasteena proteiiniaterioille voisi vaikuttaa vaarallisesti veren glukoosin homeostaasiin, mikä johtaisi insuliiniriippuvaiseen kulutuksen lisääntymiseen ja HGO:n vähenemiseen. Vastapainoksi tälle veren glukoosipitoisuuden laskulle glukagonia stimuloivat voimakkaasti myös aminohapot (AA)42,45,46,47,48,49,50,51, jotta varmistetaan HGO:n lisääntyminen tällaisessa sivutoimisessa veren glukoosinotossa (kuva 4a).
Ympyrän reaktiot aminohappotuloihin. (a) Aminohapot (AA) stimuloivat sekä insuliinin että glukagonin eritystä. (b) Kaavamainen esimerkki insuliinin (sininen viiva) ja glukagonin (vihreä katkoviiva) koordinoidusta käyttäytymisestä ajan funktiona asteittaisen aminohappoärsykkeen (oranssi tummennettu alue) jälkeen. (c) Kaavamainen esimerkki insuliinin (sininen viiva) ja glukagonin (vihreä katkoviiva) koordinoimattomasta käyttäytymisestä ajan funktiona asteittaisen aminohappoärsykkeen jälkeen (punainen tummennettu alue). (d) T4-piirin nollakliinien kaaviot, joissa on kaksinkertainen positiivinen vuorovaikutus kahden hormonin välillä, ilman AA-syöttöä (jatkuvat viivat) ja AA-syötön kanssa (katkoviivat): leikkauspisteet (pisteet) edustavat vakaita tiloja (LL – HH). (e) Nollakliinien kaaviot T2-piirille, jossa kahden hormonin välinen kaksoisnegatiivinen vuorovaikutus on ilman AA-syöttöä (jatkuvat viivat) ja AA-syötön kanssa (katkoviivat); leikkauspisteet (pisteet) edustavat vakaita tiloja (LH – HL). AA-ärsykkeen jälkeen nollakliinit siirtyvät ja molemmat vakaat tilat pienenevät (punaiset pisteet). (f) Kaaviolliset nollakliinit hormonien välisen negatiivisen takaisinkytkennän osalta (jatkuvat viivat); leikkauspiste (piste) edustaa yhtä vakaata tilaa; AA-ärsykkeen jälkeen nollakliinit siirtyvät (katkoviivat) ja molemmat hormonit lisääntyvät (HH).
Arvioidaksemme erilaisten saarekkeiden potentiaalia sekä insuliinin että glukagonin samanaikaiseen erittymiseen tutkimme insuliinin ja glukagonin vakaita tasoja vasteena aminohappojen (AA) saannille. Käytimme yhtälöitä (2 ja 3), mutta glukoosistimulaation sijasta lisäsimme vakiotermit IAAg ja IAAi, jotka kuvaavat insuliinin ja glukagonin eritykseen kohdistuvaa aminohappostimulaatiota (Kuva. 4a):
missä, ja ovat kaksi hormonia, α ja μ ovat molempien hormonien perustuotantonopeudet, IAAg = IAAg(AA) ja IAAi = IAAi(AA) ovat aminohappopanoksen synnyttämät tuotantonopeudet, δg ja δi hajoamisnopeudet ja Igg() ja Gih() ovat kaksi yleistä funktiota, jotka kuvaavat yhden hormonin vaikutusta toiseen: Kaksoispositiivisessa tapauksessa T4 sekä g() että h() ovat kasvavia, kaksoisnegatiivisessa tapauksessa T2 ne ovat molemmat laskevia, kun taas sekatapauksissa T1 ja T3 toinen on laskeva ja toinen kasvava.
Vertaillaksemme eri järjestelmien suorituskykyä tarkastelimme IAAg, IAAi:lle asetettuja rajoituksia, jotka varmistaisivat, että molempien hormonien vakiotilat kasvavat syötteen yhteydessä (IAAg, IAAi > 0), ks. menetelmät.
Havaitsimme, että negatiiviset takaisinkytkentäpiirit T1 ja T3, joissa on mukana insuliinia ja glukagonia, vaativat rajoituksen vain toiselle kahdesta impulssista, kun taas kaksoisnegatiivinen piiri T2 vaatii rajoituksia molemmille tulofunktioille IAAg, IAAi.
Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme yhtä lineaarista (h(GLG]) ja yhtä epälineaarista vuorovaikutusta (g), jäljempänä esitettävien tulosten pätevyys rajoittuu vain silloin, kun vähintään yksi vuorovaikutus on epälineaarinen). Erityisesti:
aktivoinnin tapauksessa, tai
inhibitiotapauksessa, kun n > 2 ja K > 0 ja h() = Gi.
Kuvissa 4d,e on esitetty kaksoispositiivisen ja kaksoisnegatiivisen tapauksen nollakäyrät: kaksoispositiivisessa tapauksessa bistabiilisuudelle on ominaista kaksi tasapainopistettä, joista toisessa molemmat pysyvät tilat ovat korkeita (HH) ja toisessa molemmat pysyvät tilat ovat matalia (LL, kuva 4d,e). 4d); kaksoisnegatiivisessa piirissä T2 bistabiilisuudelle on ominaista kaksi tasapainotilaa, joissa toinen hormoni on korkeassa ja toinen matalassa tasapainotilassa (HL, LH), jolloin syntyy kytkentä tai ”keskinäinen inhibitio”-käyttäytyminen Kuva 4e52,53,54,55. Negatiivisessa takaisinkytkennässä, joka koostuu yhdestä negatiivisesta ja yhdestä positiivisesta vuorovaikutuksesta (T1, T3), ei ole bistabiilisuutta. Pikemminkin tässä tapauksessa nollakäyrillä on vain yksi leikkauspiste, eli kyseessä on monostabiili käyttäytyminen. Näin ollen negatiivinen takaisinkytkentä välttää kokonaan bistabiilit käyttäytymiset ja erityisesti hormonien vastakkaiset tilat.
Yllä tarkasteltu yksinkertaistettu malli osoittaa myös esimerkin siitä, miten AA:n saanti voi johtaa sekä insuliinin että glukagonin koordinoituun suurempaan erittymiseen T1:n, T3:n ja T4:n osalta mutta ei T2:n osalta nollakäyrien leikkauspisteiden tietyn siirtymän kautta.
Yhteenvetona voidaan todeta, että paradoksaalinen takaisinkytkentä T1 välttää bistabiiliuden vasteena AA:lle ja on kestävämpi hormonien koordinoidun erityksen aikaansaamisessa aminohappohäiriön jälkeen: koordinointi on mahdollista rajoittamalla yhden hormonin tuotantonopeutta, kun taas kaksoisnegatiivisen takaisinkytkentäjärjestelmän koordinointiin tarvitaan enemmän rajoituksia. Arvioimme myös aminohappoaterian vaikutusta veren glukoosipitoisuuteen käyttämällä yhtälöitä (1) ja (4) yhtälöiden (9 ja 10) lisäksi. Havaitsimme, että kun maksa on herkempi glukagonille kuin insuliinille (parametri ω > 1, kuva 3e), topologiat T1, T2 ja T5 ovat parhaita minimoimaan aminohappotulon vaikutuksen verensokeritasoihin integraalipoikkeaman suhteen, kuten on esitetty lisäkuvassa S6.