島回路の数学的モデル
血糖制御の基盤となる回路の特徴を示すために、実験観察と文献からの仮説を考慮した4つの常微分方程式（ODE）の数学モデルを導出した。 簡単のため、インスリン分泌に反応して膵島のデルタ細胞から分泌され、インスリンとグルカゴンの両方の分泌を抑制するホルモンであるソマトスタチンの影響は無視した。 我々のモデルは、以下の量の濃度の時間的変化率を記述している。 血中グルコース（）、血中グルカゴン（）、血中インスリン（）、間質組織区画のインスリン濃度を表す中間因子であるリモートインスリン（）は、血糖値に対するインスリン抑制の遅延効果を媒介すると考えられている28． 我々は、インスリンとグルカゴンの間の負と正の相互作用のすべての可能な組み合わせを検討し、9つの異なるサブモデルを得た（図1c）。
以下の一般常微分方程式は、すべての可能な内分泌回路のダイナミクスを記述する：
$STE$$
INPUTは食事からのグルコース取り込みを、DROPは運動時の筋肉消費の増加などによる血糖の全身への取り込みの増加を表す。 (外乱のない定常状態では、INPUT = DROP = 0である。変数INPUTとDROPを変化させ、外乱に対する内分泌回路の動的応答をシミュレーションした（図1d、e）。 我々は、2つのMichelis Menten（MM）項の和からなる以下の形式を検討した。
GLG* とINS* は=5 mMでのブルカゴンおよびインシュリンの定常状態を表しています。 であり、0 ≦ ω ≦ 2 は肝臓の反応に影響を与える上でインスリンよりもグルカゴンに帰属する相対的な重みを表している。
各式について、我々はグルカゴン、インスリンおよびリモートインスリンの分解項（それぞれδg、δi、δRi）を考慮した；δbは主に脳消費による基礎血糖取り込みを、Vはインスリン依存性糖取り込みを表す27；αおよびμはグルカゴンおよびインスリンの基礎分泌速度を表している。 インスリン分泌を血糖値の単調増加関数K( – BG* )+、グルカゴン分泌を血糖値の単調減少関数Vr(BG* – )+としてモデル化した38。 インスリン(3)と遠隔インスリン(4)の式は、血液から間質コンパートメントへのインスリン拡散を表す共通の「輸送項」(ε ( – ))を持つ28。
インスリンとグルカゴン間の相互作用は二つの汎用関数 Igg() と Gih() によって表現される。 簡単のために、以下の解析ではg()とh()は線形とするが、非線形関数でも結果は有効である(Supplementary Information)。 我々のモデルはまた、血中インスリンが糖新生を介して肝臓のグルコース消費を増加させるという直接的な効果を無視する。 非線形と同様に、この追加過程を導入しても以下の結果は有効である(Supplemental Information)。 式（1-5）のモデルは16の自由パラメータを持つが、次に文献からの異なる推定値を用いて5つのパラメータ（Ig, Gi, Vr, K, ω）に削減した（表1）。
性能基準
我々は研究対象とした内分泌系について3種類の性能基準を検討した。 1つ目は積分正誤差が小さいことで、次のように定義した：
whereはシミュレーションが行われる区間を表します。
この基準は、グルコースステップに続く高血糖を回避する回路の能力を表す（図1d）。 第2の基準は、全身的なグルコース消費量の増加に対する最小グルコースレベルの値が高く、したがって低血糖の大きなグルコース低下を回避することである（Fig.1e）。 3つ目は、低血糖状態から血糖値が元に戻るときのオーバーシュートが低いことである(低下後の最大値、図1e)。
グルコース摂動に対する反応-局所分析
アルファとベータ細胞の間の逆説的な負のフィードバックループの潜在的有用性を理解するために、次に我々は「局所分析」と呼ぶ方策を適用した。 副次的相互作用のないシステムT0（図1c）を、INPUTとDROPの正または負の30分ステップで刺激した（図2e,g）。 T0の3次元パラメータ空間（Vr, K, ω）をスキャンし、3つの基準の観点から比較的良好な性能をもたらす組み合わせを特定した（以下の結果はT0パラメータに影響されない）。 次に、パラクリン相互作用GiとIgの強さと方向を系統的に変更し、システムの性能基準への影響を評価した（図2a〜d）。
ローカル分析によりすべての回路トポロジの特徴を明らかにすることができる。 示されているのは、血糖定常状態（a）積分正誤差（b）グルコース低下後の最小レベル（c）およびグルコース低下から復帰した後の最大オーバーシュート（d）である。 各パラメータのペア（Ig、Gi）に対して、30分間のグルコース入力と30分間のグルコース低下に対するシステム応答をシミュレートし、スコア化した。 積分誤差は500分の時間間隔で評価されている。 白い点は(e,f)で表された各パラメータのペアを表し、異なる領域には対応するトポロジーをラベル付けした。 (e-f) 30分間の正負パルスに対する血糖値応答のシミュレーション：外部刺激は灰色の斜線で、システムT0, T1, T2, T3, T4の応答はそれぞれ青、赤、緑、黄、紫で表されている。 (g) 30分間グルコースを消費した後の血糖値（）、グルカゴン（）、インスリン（）、遠隔インスリン（）の挙動に関するトポロジーT0、T1間の比較（灰色の斜線部分）：T0トポロジーではインスリンは50分遅れて上昇した。 すべての解析において、Vr = K = 10-5 and ω = 1.
我々は、T1、T2、T5という回路トポロジーが、積分正誤差を最小化する上で他よりも優れていることを見いだした。 これらの回路は、インスリンによるグルカゴン分泌の抑制を含むため、摂食時の肝グルコース出力の効率的なシャットダウンを保証する。 したがって、グルコースレベルが上昇すると、グルカゴンレベルはグルコースによって直接的に、またインスリン分泌の増加によって間接的に減少することになる（Fig. 2b）。 トポロジーT3、T4、T7は、グルコースによるグルカゴンの直接的な抑制と並行して、インスリンによる間接的な活性化を含んでいるため、積分誤差の点ではるかに悪い結果となった。 さらに、図2aに示すように、幅広いパラメータで5mMの定常状態を達成できなかった。
グルコース低下に対する反応を考慮すると、T1、T4およびT8は、グルカゴンによるインスリン分泌の逆説的活性化の結果、低い最小値を示すことがわかった（図2c）。 しかし、注目すべきは、これらのトポロジーでは、グルコースレベルを定常状態に戻す際のオーバーシュートが著しく減少していることである。これは、グルコース滴下の復帰時に最大グルコースレベルが低いことからも明らかである（Fig.2d）。 T1、T4、T8のこのユニークな特徴は、関係する時間スケールに関連している。 式（1）は、血糖値が遠隔のインスリンの作用によって全身的に低下すると考える。 しかし、インスリンは血液から間質コンパートメントに拡散するため、インスリンに比べて遅れて上昇する（Fig.2g）。 30分の血糖降下後、血糖値が5mMを超えるとインスリン分泌が増加するとすれば、血糖値を下げるために必要なレベルまで上昇するまで50分の遅れがある（Fig.2g）。 グルカゴンによるインスリン分泌の逆説的な活性化により、 、全身レベルが5mMに達すると十分高くなり、さらなるオーバーシュートを抑制できる（Fig. 2g）。
このように、膵島で観察された回路であるT1は、他のトポロジーと比較して最低血糖値が低くなるようだが、グルコースのホメオスタシスという点では、グルコース入力に対する積分正誤差を最小化し、低血糖の復帰後のグルコース値のオーバーシュートを鈍らせる、という2つの魅力を持っていることがわかる。 以下では、このトポロジーに関連する潜在的に危険なアンダーシュートが、インスリンおよびグルカゴンへの肝臓入力機能を調節することによって最小化できることを実証します。 この解析を補完するために、（Vr, K, ω, Ig, Gi）からなる5次元のパラメータ空間からランダムにパラメータをサンプリングし、得られたトポロジーを採点することによって、不偏の数値スクリーニング39,40,41を行った（図3、S2）。 ここでも、トポロジーT1、T2、T5が、グルコース入力に対する積分正誤差を最小化するのに優れていることが分かった。 この性能向上は、グルコースとインスリンの両方によるグルカゴン分泌の抑制から生まれた（Fig.3a）。 グルカゴンがインスリンを活性化するトポロジーであるT1、T4、T8は、グルコース消費の増加に応じてグルコースレベルが低下するが（図3b）、通常のレベルに戻った後のオーバーシュートの回避にはるかに優れていた（図3c）。 同様の結果は、パラクリン相互作用の一方または両方を非線形としてモデル化した場合（補足図S3）、または式（1）において糖新生の項を考慮した場合（補足図S4）にも示される。
グローバル分析によりすべての回路トポロジの特徴を明らかにすることができる。 (a）箱ひげ図は、すべての回路トポロジーの積分正誤差（a）ドロップ後の最小レベル（b）およびドロップ後の最大オーバーシュート（c）を表している。 各指標について、クラスカル・ワリス分析でp値< 0.001が報告されている。 (d) グルカゴンに対する肝臓の感度を上げることにより、回路T1のアンダーシュートを最小化することができる。 灰色の斜線部分は、最小値が3mMより高くなるωの範囲を示す。 (e) 肝臓のグルカゴンに対する感度（パラメータω）の値に依存するグルカゴンとインスリンの関数としての肝グルコース出力を示す。 式（5）を入力関数とし、表1に示したパラメータでシミュレーションを行った。 黒い四角のプロットは、37.A.S.S.から得られたデータである。 GLG∈pMとINS∈pM。 GLGとINSの軸は対数スケールで表示されている。
肝臓のグルカゴンやインスリンへの入力機能は低血糖時のアンダーシュートを最小化できる
我々の解析では、グルカゴンによるインスリン分泌の逆刺激は低血糖復帰後の血糖値のオーバーシュートを最小化するが、顕著な脆弱性-グルコースレベル低下が強調される（低下後の最低値、図2、3）ことを示唆した。 低血糖は生命を脅かす可能性があるため、我々はグルカゴンとインスリンの肝グルコース出力に対する複合効果を調節することで、このトレードオフを緩和できるかどうかを検討した。 我々は、肝臓がインスリンよりもグルカゴンに対してより敏感である入力関数f(, )（式（5））（ω > 1）が、オーバーシュートを低くし、アンダーシュートを小さくすることを発見した（図3dおよびS5）。 このような入力機能では、インスリンは肝グルコース出力の遮断にあまり効果的でない。 これまでのデータから、インスリンからのシグナルをグルカゴンが「オーバーライド」するような感受性の向上が実際に観察されることが示されている37, Fig.3e. 以前に測定したインスリンとグルカゴンに対する肝臓入力関数を最もよく記述するωパラメータを評価するために、0 ≦ω ≦2 の範囲をスキャンし、実験と理論入力関数間の平均二乗誤差（MSE）を計算した（両方とも最大値まで最大化した）。 その結果、ωMSE = 1.3.
Response to protein meal
我々の以前の分析では、インスリンによるグルカゴン分泌の抑制が、INPUTグルコース食後の統合正誤差の減少をもたらすことが実証された。 さらに、グルカゴンによるインスリン分泌の逆説的刺激は、肝臓入力関数f(, )によって防ぐことができる低下後の低い最小値を犠牲にして、低血糖ステップから復帰する際のレベルのオーバーシュートを最小限に抑えることを見出した。 次に、インスリンとグルカゴンが相互に同族ホルモンの分泌を抑制するT2のような、より直感的なトポロジーに代わる逆説的トポロジーT1の利点の可能性について検討した。 そのために、タンパク質の食事に対する回路の反応を分析した。
グルコースとは異なり、アミノ酸はインスリンとグルカゴン両方の強力な協調分泌を誘発する。 この連携は、同化ホルモンとしてのインスリンの複数の役割に起因する。 インスリンは、グルコースの細胞への取り込みを増加させるだけでなく、脂質の摂取に応じた脂肪生成や、アミノ酸の消費に応じた翻訳によるタンパク質産生を増加させるためにも必要である42,43。 実際、アルギニンはグルコースよりも強力なインスリンの分泌促進物質である44。 タンパク質の食事に反応してインスリンの分泌が増加すると、血糖のホメオスタシスに危険な影響を与え、インスリン依存的に消費量が増加し、HGOが減少することになる可能性がある。 この血糖値の低下に対抗するため、グルカゴンもアミノ酸（AA）によって強力に刺激され42,45,46,47,48,49,50,51、このような付随的な血糖取り込みに直面してHGOの増加を確保する（図4a）。
Circuit responses to amino acid inputs.（図4）。 (a) アミノ酸(AA)はインスリンとグルカゴンの両方の分泌を刺激する。 (b)一段のアミノ酸刺激（オレンジ色の斜線部分）後のインスリン（青線）とグルカゴン（緑の破線）の時間的な協調動作の模式的な例。 (c)段階的なアミノ酸刺激（赤色斜線部）後のインスリン（青色線）とグルカゴン（緑色破線）の非協調な挙動の経時的変化の模式図。 (d) 2つのホルモンの間に二重の正の相互作用があるT4回路のヌルクラインの模式図、AA入力なし（連続線）とAA入力あり（破線）：交点（点）は定常状態（LL – HH）を表す。 (e) 2つのホルモンが二重に負の相互作用をするT2回路のヌルクラインの模式図（連続線）およびAA入力あり（破線）；交点（点）は定常状態（LH – HL）を表す。 AA刺激後、ヌル線はシフトし、両定常状態は減少する（赤い点）。 (f) ホルモン間の負帰還の模式的なヌルクライン（連続線）；交点（点）は単一の定常状態を表す；AA刺激後、ヌルクラインはシフトし（破線）、両方のホルモンが増加する（HH）
インスリンとグルカゴン両方の共分泌に対する異なる島回路の潜在力を評価するために、アミノ酸（AA）の摂取に対するインスリンとグルカゴンの定常レベルについて調べた。 式（2、3）を用いたが、グルコース刺激の代わりに、インスリンとグルカゴンの分泌に対するアミノ酸刺激を記述する定数項IAAgとIAAiを追加した（Fig. 4a):
$$frac {d}
ここで、。 とは、2つのホルモンのことである。 αとμは2つのホルモンの基礎生産率、IAAg = IAAg(AA)とIAAi = IAAi(AA)はアミノ酸の入力によって生じる生産率、δgとδiは分解率、Igg()とGih()は一方のホルモンが他方に及ぼす作用、二つの一般的関数です。 二重陽性のT4ではg()とh()はともに増加し、二重陰性のT2ではともに減少し、T1とT3の混合では一方が減少し、他方が増加する。
異なるシステムの性能を比較するために、入力によって両ホルモンの定常状態が増加する（IAAg, IAAi > 0）ようなIAAg, IAAiの制約を考えた（Methodsを参照）。
インスリンとグルカゴンを含む負のフィードバック回路T1、T3は2つのパルスのうち片方にのみ制約が必要であり、二重負の回路T2は入力関数IAAg、IAAiの両方に制約が必要なことが分かった。
簡単のために、線形（h（GLG））と非線形相互作用（g）1個を考え、以下の結果は少なくとも片方が非線形の場合のみ有効である）を考えた。 具体的には
活性化した場合。 または
inhibition, with n > 2 and K > 0 and h() = Gi.の場合。
図4d,eはそれぞれ二重陽性の場合と二重陰性の場合のヌルラインを示す。二重陽性の場合、双安定性は二つの平衡点によって特徴づけられる。一つは両方の定常状態が高い（HH）、もう一つは両方の定常状態が低い（LL、図4）。 4d）、二重陰性回路T2の場合、双安定性は、一方のホルモンが高定常状態、他方が低定常状態（HL、LH）の2つの平衡によって特徴付けられ、スイッチまたは「相互抑制」行動を引き起こすFig.4e52、53、54、55。 一方、負と正の相互作用からなる負帰還ループの場合（T1,T3）には双安定性は存在しない。 むしろこの場合、ヌルラインは1つの交点を持つだけで、つまり単安定な振る舞いをする。
上記で検討した単純化したモデルは、AAの摂取が、ヌルクラインの交点の特定のシフトを通じて、T1、T3、T4のインスリンとグルカゴン両方の分泌を協調的に高めるがT2ではないことを示す例も示している。
以上のことから、逆説的フィードバックT1はAAに対する双安定性を回避し、アミノ酸摂動後のホルモンの協調的分泌をより強固に引き出すことができる：ホルモンの一方の分泌速度を制限することで協調が可能となり、一方、ダブル負性フィードバック系で協調させるにはより多くの制限を加える必要がある。 また、アミノ酸を摂取した場合の血糖値への影響を、式（9、10）に加え、式（1）、（4）を用いて評価しました。 肝臓がインスリンに比べてグルカゴンに敏感な場合（パラメータω> 1、図3e）、トポロジーT1、T2、T5は、補足図S6に示すように、アミノ酸投入の血糖値への影響を積分偏差で最小化する上で最適であることが分かった
。