Równanie ciągłości dla przepływu osiowosymetrycznego
(a)
Rozważmy pole przepływu osiowosymetrycznego wyrażone w kategoriach cylindrycznego układu współrzędnych (r, φ, z), gdzie wszystkie zmienne przepływu są niezależne od kąta azymutalnego φ – na przykład, przepływ osiowy nad ciałem obrotowym. Jeżeli składowe prędkości (u, w) odpowiadają odpowiednio kierunkom współrzędnych (r, z), pokazać, że równanie ciągłości jest dane przez
(b)
Wykazać, że równanie ciągłości może być automatycznie spełnione przez funkcję strumienia ψ o postaci takiej, że
2.2
Równanie ciągłości dla przepływu dwuwymiarowego we współrzędnych biegunowych
(a)
Rozważmy dwuwymiarowe pole przepływu wyrażone za pomocą cylindrycznego układu współrzędnych (r, φ, z), gdzie wszystkie zmienne przepływu są niezależne od kąta azymutalnego φ – na przykład przepływ przez walec kołowy. Jeżeli składowe prędkości (u, v) odpowiadają odpowiednio kierunkom współrzędnych (r, φ), pokazać, że równanie ciągłości jest dane przez
(b)
Wykazać, że równanie ciągłości może być automatycznie spełnione przez funkcję strumienia ψ o postaci takiej, że
2.3
Równanie transportu dla zanieczyszczeń w dwuwymiarowym polu przepływu
W wielu zastosowaniach inżynierskich interesuje nas transport zanieczyszczeń przez przepływający płyn. Zanieczyszczeniem może być wszystko, od zanieczyszczających substancji chemicznych do cząstek stałych. Aby wyprowadzić równanie rządzące, należy zauważyć, że pod warunkiem, że zanieczyszczenia nie są tworzone w polu przepływu, masa zanieczyszczeń jest zachowana. Zanieczyszczenia mogą być transportowane przez dwa różne mechanizmy fizyczne, konwekcję i dyfuzję molekularną. Niech C oznacza stężenie zanieczyszczenia (tj, masa na jednostkę objętości płynu); wtedy szybkość transportu zanieczyszczenia na jednostkę powierzchni jest dana wzorem
gdzie i i j są wektorami jednostkowymi odpowiednio w kierunkach x i y, a D jest współczynnikiem dyfuzji (jednostki m2/s, takie same jak lepkość kinematyczna).
Zauważ, że dyfuzja transportuje zanieczyszczenie w dół gradientu stężenia (tzn, transport odbywa się od wyższego do niższego stężenia); stąd znak minus. Jest to analogiczne do przewodnictwa cieplnego.
(a)
Rozważmy nieskończenie małą prostokątną objętość kontrolną. Załóżmy, że nie wytwarza się w niej żadne zanieczyszczenie i że zanieczyszczenie jest wystarczająco rozcieńczone, aby przepływ płynu pozostał niezmieniony. Rozważając bilans masy dla objętości kontrolnej, pokaż, że równanie transportu dla zanieczyszczenia w dwuwymiarowym polu przepływu jest dane przez
(b)
Dlaczego konieczne jest założenie rozcieńczonej zawiesiny zanieczyszczenia? Jaką postać przyjęłoby równanie transportu, gdyby nie przyjęto tego założenia? Wreszcie, jak można zmodyfikować równanie, aby uwzględnić, że zanieczyszczenie jest wytwarzane w wyniku reakcji chemicznej z szybkością m˙c na jednostkę objętości.
2.4
Równania Eulera dla przepływu osiowosymetrycznego
(a)
Dla pola przepływu i układu współrzędnych z ćwiczenia 2.1, pokaż, że równania Eulera (równania pędu inviscid) przyjmują postać
2.5
Równania Naviera-Stokesa dla dwuwymiarowego przepływu osiowosymetrycznego
(a)
Wykaż, że współczynniki odkształcenia i wirowości dla osiowosymetrycznego przepływu lepkiego, takiego jak opisany w ćwiczeniu 2.1 są dane przez
Wskazówka: Zauważ, że azymutalna prędkość odkształcenia nie jest równa zeru. Najprostszym sposobem jej wyznaczenia jest uznanie, że ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 musi być równoważne równaniu ciągłości. (b)
Wykazać, że równania Naviera-Stokesa dla przepływu osiowosymetrycznego są dane przez
2.6
Równania Eulera dla dwuwymiarowego przepływu we współrzędnych biegunowych
(a)
Dla dwuwymiarowego przepływu opisanego w Ćwiczeniu 2.2, pokazać, że równania Eulera (równania momentu pędu inviscid) przyjmują postać
Wskazówki: (i) składowe pędu prostopadłe do powierzchni bocznych elementarnej objętości kontrolnej oraz wchodzące i wychodzące z nich mają małe składowe w kierunku promieniowym, które należy uwzględnić; podobnie (ii) siły nacisku działające na te powierzchnie mają małe składowe promieniowe. 2.7
Wykazać, że współczynniki odkształcenia i wirowości dla przepływu i układu współrzędnych z ćwiczenia 2.6 są dane przez
Wskazówka: (i) Kąt odkształcenia (β) powierzchni bocznej musi być określony względem prostej łączącej początek O ze środkiem nieskończenie wielkiej objętości kontrolnej. 2.8
Przepływ w wąskiej szczelinie (o szerokości h) pomiędzy dwoma współśrodkowymi cylindrami o długości L, z których wewnętrzny o promieniu R obraca się z prędkością kątową ω, może być przybliżony rozwiązaniem Couette’a równań Naviera-Stokesa. Wykazać, że moment obrotowy T i moc P potrzebne do obracania wału z prędkością obrotową ω rad/s są dane przez
2.9
Aksysymetryczny przepływ w punkcie stagnacji
Przeprowadź analizę podobną do opisanej w pkt.10.3 używając osiowej postaci równań Naviera-Stokesa podanych w ćwiczeniu 2.5 dla osiowego przepływu w punkcie stagnacji i pokaż, że odpowiednikiem równania (2.118) jest
.