Mathematisch model van de eilandjeskring
Om de kring die ten grondslag ligt aan de controle van de bloedglucose te karakteriseren, hebben wij een mathematisch model van 4 Gewone Differentiaalvergelijkingen (ODE’s) afgeleid, dat rekening hield met experimentele waarnemingen en hypothesen uit de literatuur. Eenvoudigheidshalve hebben wij geen rekening gehouden met het effect van somatostatine, een hormoon dat door de deltacellen van de eilandjes wordt afgescheiden als reactie op de insulinesecretie en dat de secretie van zowel insuline als glucagon remt. Ons model beschrijft de snelheid waarmee de concentratie van de volgende grootheden in de tijd verandert: Bloedglucose (), bloedglucagon (), bloedinsuline () en insuline op afstand (), een intermediaire factor die de insulineconcentraties in het interstitiële weefselcompartiment vertegenwoordigt. wordt geacht het vertraagde effect van de insulineonderdrukking op de bloedglucose te mediëren28. We hebben alle mogelijke combinaties van negatieve en positieve interacties tussen insuline en glucagon overwogen, wat negen verschillende submodellen heeft opgeleverd (fig. 1c).
De volgende algemene gewone differentiaalvergelijkingen beschrijven de dynamica van alle mogelijke endocriene circuits:
INPUT staat voor de glucose-opname uit een maaltijd, DROP voor een toename van de systemische bloedglucose-opname, bijvoorbeeld door een verhoogd spierverbruik tijdens inspanning. (x)+ is 0 wanneer x ≤ 0 en x wanneer x > 0. In de stationaire toestand, zonder externe verstoring, is INPUT = DROP = 0. We hebben de dynamische reactie van de endocriene circuits op externe verstoringen gesimuleerd door de variabelen INPUT en DROP te wijzigen (fig. 1d,e). f(, ) staat voor de leverglucose-opbrengst (HGO) als functie van de bloedglucosewaarden van en 36,37. Wij hebben de volgende vorm beschouwd die bestaat uit een som van twee Michelis Menten (MM) termen:
GLG* en INS* vertegenwoordigen de steady states van glucagon en insuline bij = 5 mM, en 0 ≤ ω ≤ 2 staat voor het relatieve gewicht dat aan glucagon boven insuline wordt toegekend bij de beïnvloeding van de leverrespons.
Voor elke vergelijking hebben we afbraaktermen voor glucagon, insuline en afgelegen insuline (δg, δi, δRi respectievelijk) in aanmerking genomen; δb staat voor de basale bloedglucose-opname, voornamelijk door hersenverbruik, en V staat voor de insuline-afhankelijke glucose-opname27; α en μ staan voor de basale secretiesnelheden van glucagon en insuline. We hebben de insulinesecretie gemodelleerd als een monotoon stijgende functie van de bloedglucosespiegel, K( – BG*)+, en de glucagonesecretie als een monotoon dalende functie van de bloedglucosespiegel Vr(BG* – )+ 38. De vergelijkingen voor insuline (3) en insuline op afstand (4) hebben een gemeenschappelijke “transportterm” (ε ( – )) die de insulinediffusie vanuit het bloed naar het interstitiële compartiment weergeeft28.
De interacties tussen insuline en glucagon worden uitgedrukt door twee generieke functies Igg() en Gih(). Voor de eenvoud, in de volgende analyse, g() en h() zal lineair, maar de resultaten blijven geldig voor niet-lineaire functies (Supplementary Information). Ons model negeert ook de directe effecten van bloedinsuline op de toename van het leverglucoseverbruik via glycogenese. Net als bij niet-lineaire functies blijven de onderstaande resultaten geldig bij invoering van dit extra proces (Aanvullende informatie). Het model in vergelijkingen (1-5) heeft 16 vrije parameters, die we vervolgens hebben teruggebracht tot 5 parameters (Ig, Gi, Vr, K, ω) met behulp van verschillende schattingen uit de literatuur (tabel 1).
Prestatiecriteria
Wij hebben drie verschillende prestatiecriteria overwogen voor de bestudeerde endocriene systemen. Het eerste was een lage integrale positieve fout, gedefinieerd als:
waarin het interval staat waarin de simulatie wordt uitgevoerd.
Dit criterium vertegenwoordigt het vermogen van een schakeling om hyperglykemie na een glucosestap te vermijden (fig. 1d). Het tweede criterium was een hoge waarde voor het minimumglucosegehalte als reactie op een verhoogd systemisch glucoseverbruik, zodat grote hypoglycemische glucoseverliezen werden vermeden (fig. 1e). Het derde criterium was een lage overschrijding wanneer bloedglucose terugkeert van een hypoglycemische toestand (Maximum na daling, Fig. 1e).
Respons op glucoseverstoringen – lokale analyse
Om het potentiële nut van de paradoxale negatieve terugkoppellus tussen alfa en beta cellen te begrijpen, pasten we vervolgens een strategie toe die we “lokale analyse” noemen. We stimuleerden het systeem zonder paracriene interactie, T0 (Fig. 1c), met een positieve of negatieve 30-minuten stap van INPUT en DROP (Fig. 2e,g). We scanden de 3-dimensionale parameterruimte van T0 (Vr, K, ω) en identificeerden een combinatie die leidt tot een relatief gunstige prestatie in termen van de drie criteria (de volgende resultaten zijn ongevoelig voor de T0-parameters). Vervolgens wijzigden we systematisch de sterkten en richtingen van de paracriene interacties Gi en Ig en beoordeelden de effecten op de systeemprestatiecriteria (Fig. 2a-d).
Lokale analyse onthult kenmerken van alle schakeltopologieën. Afgebeeld zijn de bloedsuiker-stabilisatietoestanden (a) integraal positieve fout (b) minimumniveau na een glucosedaling (c) en maximale overschrijding na terugkeer van glucosedalingen (d). Voor elk paar parameters (Ig, Gi) werden de systeemreacties op 30 minuten glucose INPUT en 30 minuten glucose DROP gesimuleerd en gescoord. De integrale fout is geëvalueerd over een tijdsinterval van 500 minuten. Witte stippen staan voor elk paar parameters in (e en f); verschillende gebieden zijn gelabeld met de overeenkomstige topologie. (e-f) Simulaties van de bloedsuikerrespons op een positieve/negatieve puls van 30 minuten: externe stimuli worden weergegeven door het grijs gearceerde gebied en de respons van de systemen T0, T1, T2, T3, T4 wordt weergegeven in respectievelijk blauw, rood, groen, geel en paars. (g) Vergelijking tussen topologieën T0, T1, voor het gedrag van bloedglucose (), glucagon (), insuline () en insuline op afstand (), na een verhoogd glucoseverbruik van 30 minuten (grijs gearceerd gebied): in de T0-topologie loopt de insuline op met een vertraging van 50 minuten. In alle analyses is Vr = K = 10-5 en ω = 1.
Wij vonden dat de schakelingtopologieën T1, T2 en T5 beter dan andere waren in het minimaliseren van de integrale positieve fout. Deze circuits omvatten remming van glucagon secretie door insuline, waardoor een efficiënte uitschakeling van lever glucose output bij voeding. Bij een stijging van de glucosespiegel zou de glucagonspiegel dus zowel direct door de glucose als indirect door de stijging van de insulinesecretie dalen (Fig. 2b). Topologieën T3, T4 en T7 deden het veel slechter wat betreft integrale fout, aangezien zij indirecte activering van glucagon door insuline omvatten naast de directe remming ervan door glucose. Bovendien konden ze de 5 mM steady state niet bereiken voor een breed scala van parameters, zoals getoond in Fig. 2a.
Wanneer we de respons op glucosedalingen beschouwen, vonden we dat T1, T4 en T8 een lager minimum vertoonden, een gevolg van de paradoxale activering van insulinesecretie door glucagon (Fig. 2c). Deze topologieën gaven echter aanleiding tot een aanzienlijk verminderde overshoot bij het terugkeren van de glucosespiegels naar hun stabiele toestand, zoals blijkt uit de lagere maximale glucosespiegels bij het terugkeren van de glucosedalingen (Fig. 2d). Dit unieke kenmerk van T1, T4 en T8 houdt verband met de betrokken tijdschalen. Vergelijking (1) gaat ervan uit dat de bloedglucosespiegels systemisch worden verlaagd door de werking van insuline op afstand, . stijgt echter met een vertraging ten opzichte van insuline als gevolg van de diffusie ervan uit het bloed naar de interstitiële compartimenten (Fig. 2g). Wanneer na een hypoglykemische daling van 30 minuten de bloedglucosespiegel weer daalt, en de insulinesecretie pas toeneemt wanneer de spiegel 5 mM overschrijdt, is er een vertraging van 50 minuten totdat de insulinespiegel het niveau heeft bereikt dat nodig is om de spiegel te verlagen (fig. 2g). De paradoxale activering van de insulinesecretie door glucagon veroorzaakt een vroege stijging van , zodat de systemische niveaus hoog genoeg zijn zodra de 5 mM is bereikt om verdere overschrijdingen tegen te gaan (Fig. 2g).Het vermogen van het systeem om een overschrijding tegen te gaan na omkering van de bloedglucosespiegeldaling geldt voor een breed scala van vertragingswaarden, supplementaire Fig. S1.
Thus, T1, de schakeling waargenomen in de eilandjes, lijkt te leiden tot een lagere minimale bloedglucosespiegel in vergelijking met andere topologieën, maar heeft twee aantrekkelijke eigenschappen in termen van glucose homeostase – het minimaliseren van de integrale positieve fout in reactie op glucose input en het afzwakken van de overshoot van glucosespiegels na omkering van hypoglykemie. We zullen hieronder aantonen dat de potentieel gevaarlijke undershoots geassocieerd met deze topologie kunnen worden geminimaliseerd door het moduleren van de lever input functie voor insuline en glucagon.
Respons op glucose verstoringen – globale analyse
Onze lokale analyse beschouwd de prestaties van het systeem wanneer alleen de twee-paracriene sterkte werden gevarieerd en alle andere parameters vast bleven. Ter aanvulling van deze analyse hebben we een onbevooroordeelde numerieke screen39,40,41 door het samplen van parameters willekeurig uit de 5-dimensionale parameter ruimte, bestaande uit (Vr, K, ω, Ig, Gi) en scoren van de resulterende topologieën (Figs 3 en S2). Ook hier vonden we dat topologieën T1, T2 en T5 beter waren in het minimaliseren van de integrale positieve fout in reactie op een glucose-input. Deze betere prestatie was het gevolg van de remming van de glucagon secretie door zowel glucose als insuline (Fig. 3a). T1, T4 en T8, de topologieën waarbij glucagon insuline activeert, leidden tot lagere glucosespiegels als reactie op een verhoogd glucoseverbruik (fig. 3b), maar waren veel beter in het vermijden van overschrijdingen na terugkeer naar de normale niveaus (fig. 3c). Vergelijkbare resultaten worden getoond voor het geval waarin een van de paracriene interacties of beide als niet-lineair worden gemodelleerd (aanvullende fig. S3) of wanneer een term voor glycogenese in Eq. (1) in aanmerking wordt genomen, aanvullende fig. S4.
Globale analyse onthult kenmerken van alle circuit topologieën. (a) Boxplots geven de integrale positieve fout (a) het minimumniveau na daling (b) en de maximale doorschieting na daling (c) van alle circuittopologieën weer. Voor elke index geeft de Kruskal-Wallis-analyse een p-waarde < 0,001. (d) Undershoot van circuit T1 kan worden geminimaliseerd door het verhogen van de lever gevoeligheid voor glucagon. Het grijs gearceerde gebied vertegenwoordigt het bereik van ω waarvoor het minimum hoger is dan 3 mM. (e) De leverglucose-output als functie van glucagon en insuline wordt getoond afhankelijk van de waarde van de levergevoeligheid voor glucagon (parameter ω). De simulaties zijn uitgevoerd met vergelijking (5) als invoerfunctie en de parameters staan in tabel 1. De grafiek in de zwarte rechthoek vertegenwoordigt de gegevens verkregen uit37. GLG ∈ pM en INS ∈ pM. De GLG- en INS-as zijn weergegeven in logaritmische schalen.
De inputfunctie van de lever voor glucagon en insuline kan overshoots tijdens hypoglykemie minimaliseren
Uw analyse wijst uit dat de paradoxale stimulatie van de insulinesecretie door glucagon overshoots in de bloedglucosespiegel na omkeer van hypoglykemie minimaliseert, maar een opmerkelijke kwetsbaarheid heeft – glucosespiegeldalingen worden geaccentueerd (laag minimum na dalingen, fig. 2 en 3). Aangezien hypoglykemische voorvallen van lage bloedglucosespiegels levensbedreigend kunnen zijn, hebben wij onderzocht of deze wisselwerking kan worden verzacht door de gecombineerde effecten van glucagon en insuline op de leverglucose-output te moduleren. We vonden dat een ingangsfunctie f(, ) (Vergelijking (5)) waarbij de lever gevoeliger is voor glucagon in vergelijking met insuline (ω > 1) zowel een lage overshoot als een verminderde undershoot vergemakkelijkt (Figs 3d en S5). Met een dergelijke inputfunctie is insuline minder effectief in het stilleggen van de leverglucose-output. Eerdere gegevens wijzen erop dat een dergelijke verhoogde gevoeligheid, waarbij glucagon het signaal van insuline “overruled”, inderdaad wordt waargenomen37, Fig. 3e. Om de parameter ω te bepalen die de eerder gemeten leverinputfunctie voor insuline en glucagon het best beschrijft, hebben we een bereik van 0 ≤ ω ≤ 2 afgetast en de Mean Squared Error (MSE) berekend tussen de experimentele en theoretische inputfuncties, beide gemaximaliseerd op hun maximale waarde. Wij verkregen ωMSE = 1.3.
Respons op eiwitmaaltijden
Uit onze vorige analyse bleek dat de remming van de glucagon secretie door insuline leidt tot een afname van de geïntegreerde positieve fout na een INPUT glucose maaltijd. Bovendien vonden we dat de paradoxale stimulatie van de insulinesecretie door glucagon de overshoots van de niveaus minimaliseert bij het terugkeren van een hypoglycemische stap, ten koste van een lager minimum na de daling die kan worden voorkomen door de leverinvoerfunctie f(, ). Vervolgens hebben we gekeken naar bijkomende mogelijke voordelen van de paradoxale topologie T1 ten opzichte van alternatieve meer intuïtieve topologieën zoals T2, waarin insuline en glucagon wederzijds de secretie van hun cognate hormonen onderdrukken. Daartoe analyseerden wij de reactie van het circuit op eiwitmaaltijden.
In tegenstelling tot glucose, ontlokken aminozuren een krachtige gecoördineerde secretie van zowel insuline als glucagon. Deze coördinatie vloeit voort uit de meervoudige rol van insuline als anabool hormoon. Insuline is niet alleen nodig om de cellulaire opname van glucose te verhogen, maar ook om de lipogenese te verhogen als reactie op de opname van lipiden en de eiwitproductie via translatie als reactie op de consumptie van aminozuren42,43. Arginine is namelijk een krachtiger secretagoog van insuline dan glucose44. De verhoogde secretie van insuline in reactie op eiwitmaaltijden zou een gevaarlijke invloed kunnen hebben op de bloedglucosehomeostase, met als gevolg een insuline-afhankelijke toename van de consumptie en een afname van HGO. Om deze daling van het bloedglucosegehalte tegen te gaan, wordt glucagon ook krachtig gestimuleerd door aminozuren (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 om bij een dergelijke collaterale bloedglucose-opname voor een verhoogde HGO te zorgen (fig. 4a).
Circuitreacties op aminozuuraanvoer. (a) Aminozuren (AA) stimuleren de secretie van zowel insuline als glucagon. (b) Schematisch voorbeeld van het gecoördineerde gedrag van insuline (blauwe lijn) en glucagon (groene stippellijn) in de tijd na een stap aminozuurstimulans (oranje gearceerd gebied). (c) Schematisch voorbeeld van ongecoördineerd gedrag van insuline (blauwe lijn) en glucagon (groene stippellijn) in de tijd na een stapsgewijze aminozuurstimulans (rood gearceerd gebied). (d) Schema’s van nullclines voor de T4-kring met een dubbele positieve interactie tussen de twee hormonen, zonder AA-input (ononderbroken lijnen) en met de AA-input (stippellijnen): de snijpunten (stippen) vertegenwoordigen de stationaire toestanden (LL – HH). (e) Schema’s van nullclines voor de T2-schakeling met een dubbele negatieve interactie tussen de twee hormonen, zonder AA-input (ononderbroken lijnen) en met de AA-input (stippellijnen); de snijpunten (stippen) geven de stationaire toestanden (LH – HL) weer. Na de AA-stimulus verschuiven de nullijnen en nemen beide stationaire toestanden af (rode stippen). (f) Schema’s nullclines voor een negatieve terugkoppeling tussen de hormonen (ononderbroken lijnen); het snijpunt (punt) vertegenwoordigt een enkele steady state; na de AA-stimulus verschuiven de nullclines (stippellijnen) en nemen beide hormonen toe (HH).
Om het potentieel van verschillende eilandjescircuits voor de co-secretie van zowel insuline als glucagon te beoordelen, onderzochten we de steady state niveaus van insuline en glucagon in reactie op een inname van aminozuren (AA). We gebruikten vergelijkingen (2 en 3), maar in plaats van een glucosestimulatie voegden we constante termen IAAg en IAAi toe die de aminozuurstimulans op de secretie van insuline en glucagon beschrijven (Fig. 4a):
waar, en de twee hormonen zijn, α en μ de basale productiesnelheden voor de twee hormonen zijn, IAAg = IAAg(AA) en IAAi = IAAi(AA) de productiesnelheden zijn die door de aminozuurinput worden gegenereerd, δg en δi de afbraaksnelheden zijn en Igg() en Gih() twee algemene functies zijn, die de werking van het ene hormoon op het andere weergeven: in het dubbel positieve geval T4 nemen zowel g() als h() toe, in het dubbel negatieve geval T2 nemen zij beide af, terwijl in de gemengde gevallen T1 en T3 het ene afneemt en het andere toeneemt.
Om de prestaties van de verschillende systemen te vergelijken, hebben wij de beperkingen op IAAg, IAAi in aanmerking genomen die ervoor zouden zorgen dat de stationaire toestanden van beide hormonen bij een input toenemen (IAAg, IAAi > 0), zie Methoden.
Wij vonden dat de negatieve terugkoppelingscircuits T1 en T3 met insuline en glucagon slechts een beperking op een van de twee impulsen vereisen, terwijl het dubbele negatieve circuit T2 beperkingen op beide ingangsfuncties IAAg, IAAi vereist.
Voor de eenvoud beschouwen we één lineaire (h(GLG]) en één niet-lineaire interactie (g), de onderstaande resultaten zijn alleen geldig wanneer ten minste één interactie niet-lineair is). In het bijzonder:
in geval van activering, of
in geval van remming, met n > 2 en K > 0 en h() = Gi.
Figuur 4d,e toont de nullijnen voor respectievelijk het dubbel positieve en het dubbel negatieve geval: in het dubbel positieve geval wordt de bistabiliteit gekenmerkt door twee evenwichtspunten, een waarin beide stationaire toestanden hoog zijn (HH), en een tweede waarin beide stationaire toestanden laag zijn (LL, fig. 4d); in het dubbel negatieve geval wordt de bistabiliteit gekenmerkt door twee evenwichtspunten, een waarin beide stationaire toestanden hoog zijn (HH), en een tweede waarin beide stationaire toestanden laag zijn (LL, fig. 4d). 4d); in de dubbele negatieve kring T2 wordt de bistabiliteit gekenmerkt door twee evenwichtspunten waarin het ene hormoon zich in een hoge stationaire toestand bevindt en het andere in een lage stationaire toestand (HL, LH), wat aanleiding geeft tot een schakelaar of een “wederzijds inhibitie”-gedrag Fig. 4e52,53,54,55. In het geval van een negatieve terugkoppellus bestaande uit een negatieve en een positieve interactie (T1, T3) is er geen sprake van bistabiliteit. Integendeel, in dit geval hebben de nullijnen slechts één snijpunt, d.w.z. een monostabiel gedrag. Een negatieve terugkoppeling voorkomt dus volledig bistabiel gedrag en in het bijzonder tegengestelde toestanden van de hormonen.
Het hierboven beschouwde vereenvoudigde model toont ook een voorbeeld van hoe een inname van AA kan leiden tot een gecoördineerde hogere secretie van zowel insuline als glucagon voor T1, T3 en T4 maar niet T2 door de bijzondere verschuiving van de snijpunten van de nullijnen.