Modello matematico del circuito delle isole
Per caratterizzare il circuito sottostante il controllo della glicemia, abbiamo derivato un modello matematico di 4 equazioni differenziali ordinarie (ODE) che teneva conto delle osservazioni sperimentali e delle ipotesi della letteratura. Per semplicità, abbiamo trascurato l’effetto della somatostatina, un ormone secreto dalle cellule delta degli isolotti in risposta alla secrezione di insulina e che inibisce la secrezione di insulina e glucagone. Il nostro modello descrive il tasso di variazione della concentrazione delle seguenti quantità nel tempo: Glucosio nel sangue (), glucagone nel sangue (), insulina nel sangue () e insulina a distanza (), un fattore intermedio che rappresenta le concentrazioni di insulina nel compartimento interstiziale del tessuto. è considerato mediare l’effetto ritardato della repressione dell’insulina sulla glicemia28. Abbiamo considerato tutte le possibili combinazioni di interazioni negative e positive tra insulina e glucagone, ottenendo nove diversi sottomodelli (Fig. 1c).
Le seguenti equazioni differenziali ordinarie generali descrivono la dinamica di tutti i possibili circuiti endocrini:
INPUT rappresenta l’assorbimento di glucosio da un pasto, DROP rappresenta un aumento dell’assorbimento sistemico di glucosio nel sangue, per esempio a causa di un maggiore consumo muscolare durante l’esercizio. (x)+ è 0 quando x ≤ 0 e x quando x > 0. Allo stato stazionario, in assenza di perturbazione esterna, INPUT = DROP = 0. Abbiamo simulato la risposta dinamica dei circuiti endocrini alle perturbazioni esterne cambiando le variabili INPUT e DROP (Fig. 1d,e). f(, ) rappresenta la produzione epatica di glucosio (HGO) in funzione dei livelli di glucosio nel sangue di e 36,37. Abbiamo considerato la seguente forma che consiste in una somma di due termini Michelis Menten (MM):
GLG* e INS* rappresentano gli stati stabili di glucagone e insulina a = 5 mM, e 0 ≤ ω ≤ 2 rappresenta il peso relativo attribuito al glucagone rispetto all’insulina nell’influenzare la risposta del fegato.
Per ogni equazione abbiamo considerato i termini di degradazione per il glucagone, l’insulina e l’insulina remota (δg, δi, δRi rispettivamente); δb rappresenta l’assorbimento basale di glucosio nel sangue, prevalentemente attraverso il consumo cerebrale e V rappresenta l’assorbimento di glucosio dipendente dall’insulina27; α e μ rappresentano i tassi di secrezione basale di glucagone e insulina. Abbiamo modellato la secrezione di insulina come una funzione monotonicamente crescente dei livelli di glucosio nel sangue, K( – BG*)+, e la secrezione di glucagone come una funzione monotonicamente decrescente dei livelli di glucosio nel sangue Vr(BG* – )+ 38. Le equazioni per l’insulina (3) e l’insulina remota (4) hanno un comune “termine di trasporto” (ε ( – )) che rappresenta la diffusione dell’insulina dal sangue al compartimento interstiziale28.
Le interazioni tra insulina e glucagone sono espresse da due funzioni generiche Igg() e Gih(). Per semplicità, nella seguente analisi, g() e h() saranno lineari, ma i risultati rimangono validi per funzioni non lineari (Informazioni supplementari). Il nostro modello ignora anche gli effetti diretti dell’insulina nel sangue sull’aumento del consumo di glucosio nel fegato attraverso la glicogenesi. Come per le funzioni non lineari, i risultati qui sotto rimangono validi quando si introduce questo processo aggiuntivo (Informazioni supplementari). Il modello nelle equazioni (1-5) ha 16 parametri liberi, che abbiamo poi ridotto a 5 parametri (Ig, Gi, Vr, K, ω) usando diverse stime dalla letteratura (tabella 1).
Criteri di performance
Abbiamo considerato tre diversi criteri di performance per i sistemi endocrini studiati. Il primo era un basso errore integrale positivo, definito come:
dove rappresenta l’intervallo in cui viene eseguita la simulazione.
Questo criterio rappresenta la capacità di un circuito di evitare l’iperglicemia dopo uno step di glucosio (Fig. 1d). Il secondo criterio era un valore elevato per il livello minimo di glucosio in risposta all’aumento del consumo sistemico di glucosio, evitando così grandi cadute ipoglicemiche di glucosio (Fig. 1e). Il terzo era un basso overshoot quando il glucosio nel sangue ritorna da uno stato ipoglicemico (massimo dopo la caduta, Fig. 1e).
Risposta alle perturbazioni del glucosio – analisi locale
Per capire la potenziale utilità del paradossale ciclo di feedback negativo tra le cellule alfa e beta abbiamo applicato una strategia che chiamiamo “analisi locale”. Abbiamo stimolato il sistema senza interazione paracrina, T0 (Fig. 1c), con un passo positivo o negativo di 30 minuti di INPUT e DROP (Fig. 2e,g). Abbiamo analizzato lo spazio dei parametri tridimensionali di T0 (Vr, K, ω) e abbiamo identificato una combinazione che porta a una performance relativamente favorevole in termini di tre criteri (i risultati seguenti sono insensibili ai parametri di T0). Successivamente, abbiamo modificato sistematicamente le forze e le direzioni delle interazioni paracrine Gi e Ig e abbiamo valutato gli effetti sui criteri di performance del sistema (Fig. 2a-d).
L’analisi locale rivela le caratteristiche di tutte le topologie di circuito. Sono mostrati gli stati stazionari del glucosio nel sangue (a) l’errore positivo integrale (b) il livello minimo dopo un calo di glucosio (c) e il massimo overshoot dopo l’inversione dai cali di glucosio (d). Per ogni coppia di parametri (Ig, Gi) sono state simulate e valutate le risposte del sistema a 30 minuti di glucosio INPUT e 30 minuti di glucosio DROP. L’errore integrale è stato valutato su un intervallo di tempo di 500 minuti. I punti bianchi rappresentano ogni coppia di parametri rappresentati in (e e f); le diverse aree sono etichettate con la topologia corrispondente. (e-f) Simulazioni della risposta della glicemia a un impulso positivo/negativo di 30 minuti: gli stimoli esterni sono rappresentati dall’area grigia ombreggiata e la risposta dei sistemi T0, T1, T2, T3, T4 sono rappresentati rispettivamente in blu, rosso, verde, giallo e viola. (g) Confronto tra le topologie T0, T1, per il comportamento della glicemia (), del glucagone (), dell’insulina () e dell’insulina remota (), dopo un consumo di glucosio aumentato di 30 minuti (area grigia ombreggiata): nella topologia T0 l’insulina aumenta con un ritardo di 50 minuti. In tutte le analisi, Vr = K = 10-5 e ω = 1.
Abbiamo trovato che le topologie di circuito T1, T2 e T5 erano migliori delle altre nel minimizzare l’errore positivo integrale. Questi circuiti includono l’inibizione della secrezione di glucagone da parte dell’insulina, garantendo così un efficiente arresto della produzione epatica di glucosio al momento dell’alimentazione. Così, su un aumento dei livelli di glucosio, i livelli di glucagone diminuirebbero sia direttamente dal glucosio che indirettamente dall’aumento della secrezione di insulina (Fig. 2b). Le topologie T3, T4 e T7 sono andate molto peggio in termini di errore integrale in quanto includevano l’attivazione indiretta del glucagone da parte dell’insulina in parallelo alla sua inibizione diretta da parte del glucosio. Inoltre, non potevano raggiungere lo stato stazionario di 5 mM per una vasta gamma di parametri, come mostrato in Fig. 2a.
Quando si considera la risposta alle cadute di glucosio, abbiamo trovato che T1, T4 e T8 hanno mostrato un minimo inferiore, un risultato dell’attivazione paradossale della secrezione di insulina da parte del glucagone (Fig. 2c). In particolare, tuttavia, queste topologie hanno dato luogo a un overshoot significativamente ridotto al momento della reversione dei livelli di glucosio allo stato stazionario, come evidente dai livelli di glucosio massimo inferiore al momento della reversione delle gocce di glucosio (Fig. 2d). Questa caratteristica unica di T1, T4 e T8 è legata alle scale temporali coinvolte. L’equazione (1) considera che i livelli di glucosio nel sangue sono ridotti sistematicamente attraverso l’azione dell’insulina remota, . Tuttavia, sale con un ritardo rispetto all’insulina a causa della sua diffusione dal sangue ai compartimenti interstiziali (Fig. 2g). In seguito alla reversione dei livelli di glucosio nel sangue dopo una caduta ipoglicemica di 30 minuti, se la secrezione di insulina aumentasse solo quando i livelli superano i 5 mM ci sarebbe un ritardo di 50 minuti fino a quando non sarà salita al livello necessario per ridurre i livelli (Fig. 2g). L’attivazione paradossale della secrezione di insulina da parte del glucagone produce un aumento precoce in , in modo che i suoi livelli sistemici sono abbastanza alti una volta raggiunge 5 mM per smussare ulteriori overshoots (Fig. 2g).La capacità del sistema di contrastare un overshoot dopo la reversione del livello di glucosio nel sangue scende è valido per una vasta gamma di valori di ritardo, Supplementary Fig. S1.
Quindi, T1, il circuito osservato negli isolotti, sembra portare a un livello minimo di glucosio nel sangue più basso rispetto ad altre topologie, ma ha due caratteristiche interessanti in termini di omeostasi del glucosio – minimizzando l’errore positivo integrale in risposta all’input di glucosio e smussando l’overshoot dei livelli di glucosio dopo la reversione di ipoglicemia. Dimostreremo di seguito che gli undershoots potenzialmente pericolosi associati a questa topologia possono essere minimizzati modulando la funzione di input epatico all’insulina e al glucagone.
Risposta alle perturbazioni del glucosio – analisi globale
La nostra analisi locale ha considerato le prestazioni del sistema quando solo la forza delle due paracrine veniva variata e tutti gli altri parametri rimanevano fissi. Per completare questa analisi abbiamo eseguito uno screening numerico imparziale39,40,41 campionando i parametri a caso dallo spazio dei parametri a 5 dimensioni, composto da (Vr, K, ω, Ig, Gi) e dando un punteggio alle topologie risultanti (Figg. 3 e S2). Anche qui, abbiamo trovato che le topologie T1, T2 e T5 erano migliori nel minimizzare l’errore positivo integrale in risposta a un input di glucosio. Questa migliore performance è nata dall’inibizione della secrezione di glucagone sia da parte del glucosio che dell’insulina (Fig. 3a). T1, T4 e T8, le topologie in cui il glucagone attiva l’insulina, hanno portato a livelli di glucosio più bassi in risposta a un maggiore consumo di glucosio (Fig. 3b), ma sono stati molto migliori nell’evitare gli overshoots dopo il ritorno a livelli normali (Fig. 3c). Risultati simili sono mostrati per il caso in cui una delle interazioni paracrine o entrambe sono modellate come non lineari (Fig. Supplementare S3) o quando un termine per la glicogenesi è considerato in Eq. (1), Fig. Supplementare S4.
L’analisi globale rivela caratteristiche di tutte le topologie di circuito. (a) I boxplot rappresentano l’errore positivo integrale (a) il livello minimo dopo la caduta (b) e il massimo overshoot dopo la caduta (c) di tutte le topologie di circuito. Per ogni indice, l’analisi Kruskal-Wallis riporta pvalue < 0,001. (d) Undershoot del circuito T1 può essere minimizzato aumentando la sensibilità del fegato al glucagone. L’area grigia ombreggiata rappresenta l’intervallo di ω per il quale il minimo è superiore a 3 mM. (e) La produzione epatica di glucosio in funzione del glucagone e dell’insulina è mostrata in funzione del valore della sensibilità epatica al glucagone (parametro ω). Le simulazioni sono state eseguite considerando l’equazione (5) come funzione di input con i parametri riportati nella tabella 1. Il grafico nel rettangolo nero rappresenta i dati ottenuti da37. GLG ∈ pM e INS ∈ pM. Gli assi GLG e INS sono mostrati in scala logaritmica.
La funzione di input del fegato al glucagone e all’insulina può minimizzare gli undershoots durante l’ipoglicemia
La nostra analisi indica che la stimolazione paradossale della secrezione di insulina da parte del glucagone minimizza gli overshoots nei livelli di glucosio nel sangue dopo l’inversione dell’ipoglicemia, ma ha una vulnerabilità notevole – i livelli di glucosio cadono accentuati (minimo basso dopo le cadute, Figs 2 e 3). Poiché gli eventi ipoglicemici di bassi livelli di glucosio nel sangue possono essere pericolosi per la vita, abbiamo esaminato se questo trade off potrebbe essere alleviato modulando gli effetti combinati di glucagone e insulina sulla produzione epatica di glucosio. Abbiamo scoperto che una funzione di input f(, ) (Equazione (5)) in cui il fegato è più sensibile al glucagone rispetto all’insulina (ω > 1) facilita un basso overshoot così come un undershoot ridotto (Figg. 3d e S5). Con una tale funzione di ingresso, l’insulina è meno efficace nello spegnimento della produzione epatica di glucosio. I dati precedenti indicano che tale maggiore sensibilità in cui glucagone ‘over-rides’ il segnale da insulina è effettivamente osservato 37, Fig. 3e. Per valutare il parametro ω che meglio descrive la funzione di ingresso precedentemente misurato fegato per insulina e glucagone, abbiamo esaminato un intervallo di 0 ≤ ω ≤ 2 e calcolato l’errore quadratico medio (MSE) tra le funzioni di ingresso sperimentale e teorico, entrambi massimizzati al loro valore massimo. Abbiamo ottenuto ωMSE = 1,3.
Risposta ai pasti proteici
La nostra precedente analisi ha dimostrato che l’inibizione della secrezione di glucagone da parte dell’insulina provoca una diminuzione dell’errore positivo integrato in seguito a un pasto di glucosio INPUT. Inoltre, abbiamo trovato che la stimolazione paradossale della secrezione di insulina da parte del glucagone minimizza gli overshoots dei livelli quando si ritorna da una fase ipoglicemica, a scapito di un minimo inferiore dopo la caduta che può essere impedito dalla funzione di input epatico f(, ). Abbiamo poi considerato ulteriori possibili vantaggi della topologia paradossale T1 rispetto a topologie alternative più intuitive come T2, in cui insulina e glucagone reprimono reciprocamente la secrezione dei loro ormoni cognati. A tal fine, abbiamo analizzato la risposta del circuito ai pasti proteici.
A differenza del glucosio, gli aminoacidi suscitano una potente secrezione coordinata di insulina e glucagone. Questo coordinamento deriva dai molteplici ruoli dell’insulina come ormone anabolico. L’insulina è necessaria non solo per aumentare l’assorbimento cellulare del glucosio, ma anche per aumentare la lipogenesi in risposta all’assunzione di lipidi e la produzione di proteine attraverso la traduzione in risposta al consumo di aminoacidi42,43. Infatti, l’arginina è un secretagogo di insulina più potente del glucosio44. L’aumento della secrezione di insulina in risposta ai pasti proteici potrebbe avere un impatto pericoloso sull’omeostasi del glucosio nel sangue, producendo un aumento del consumo insulino-dipendente e una diminuzione dell’HGO. Per contrastare questa diminuzione del livello di glucosio nel sangue, il glucagone è anche potentemente stimolato dagli aminoacidi (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 per garantire un aumento dell’HGO di fronte a tale assorbimento collaterale di glucosio nel sangue (Fig. 4a).
Risposte del circuito agli input di aminoacidi. (a) Gli aminoacidi (AA) stimolano la secrezione di insulina e glucagone. (b) Esempio schematico di comportamento coordinato di insulina (linea blu) e glucagone (linea tratteggiata verde) nel tempo dopo uno stimolo aminoacidico di passo (area ombreggiata arancione). (c) Esempio schematico di comportamento scoordinato di insulina (linea blu) e glucagone (linea tratteggiata verde) nel tempo dopo uno stimolo aminoacido passo (zona rossa ombreggiata). (d) Schemi di nullclines per il circuito T4 con una doppia interazione positiva tra i due ormoni, senza ingresso AA (linee continue) e con l’ingresso AA (linee tratteggiate): intersezioni (punti) rappresentano stati stazionari (LL – HH). (e) Schemi di nullclines per il circuito T2 con una doppia interazione negativa tra i due ormoni senza ingresso AA (linee continue) e con l’ingresso AA (linee tratteggiate); intersezioni (punti) rappresentano stati stazionari (LH – HL). Dopo lo stimolo AA, le nullclines si spostano ed entrambi gli stati stazionari diminuiscono (punti rossi). (f) Schema delle nullclines per un feedback negativo tra gli ormoni (linee continue); l’intersezione (punto) rappresenta un unico stato stazionario; dopo lo stimolo AA, le nullclines si spostano (linee tratteggiate) ed entrambi gli ormoni aumentano (HH).
Per valutare il potenziale dei diversi circuiti delle isole per la co-secrezione di insulina e glucagone, abbiamo esaminato i livelli di stato stazionario di insulina e glucagone in risposta a un’assunzione di aminoacidi (AA). Abbiamo usato le equazioni (2 e 3), ma invece di una stimolazione del glucosio, abbiamo aggiunto i termini costanti IAAg e IAAi che descrivono lo stimolo degli aminoacidi sulla secrezione di insulina e glucagone (Fig. 4a):
dove, e sono i due ormoni, α e μ sono i tassi di produzione basali dei due ormoni, IAAg = IAAg(AA) e IAAi = IAAi(AA) sono i tassi di produzione generati dall’input di aminoacidi, δg e δi i tassi di degradazione e Igg() e Gih() sono due funzioni generali, che rappresentano le azioni di un ormone sull’altro: nel doppio caso positivo T4 sia g() che h() sono crescenti, nel doppio caso negativo T2, sono entrambi decrescenti, mentre nei casi misti T1 e T3 uno è decrescente e l’altro è crescente.
Per confrontare le prestazioni dei diversi sistemi, abbiamo considerato i vincoli su IAAg, IAAi che assicurano che gli stati stazionari di entrambi gli ormoni aumentino su un input (IAAg, IAAi > 0), vedi Metodi.
Abbiamo trovato che i circuiti di feedback negativo T1 e T3 che coinvolgono insulina e glucagone richiedono un vincolo solo su uno dei due impulsi, mentre il circuito doppio negativo T2 richiede vincoli su entrambe le funzioni di input IAAg, IAAi.
Per semplicità, consideriamo una interazione lineare (h(GLG]) e una non lineare (g), i risultati che seguono sono validi solo quando almeno una interazione è non lineare). In particolare:
in caso di attivazione, o
in caso di inibizione, con n > 2 e K > 0 e h() = Gi.
La figura 4d,e mostra le nullclines per i casi doppio positivo e doppio negativo rispettivamente: nel caso doppio positivo, la bistabilità è caratterizzata da due punti di equilibrio, uno in cui entrambi gli stati stabili sono alti (HH), e un secondo, in cui entrambi gli stati stabili sono bassi (LL, Fig. 4d); nel doppio circuito negativo T2, la bistabilità è caratterizzata da due equilibri in cui un ormone è ad uno stato stazionario alto e l’altro è ad uno stato stazionario basso (HL, LH), dando luogo ad uno switch o ad un comportamento di “inibizione reciproca” Fig. 4e52,53,54,55. Nel caso di un ciclo di feedback negativo composto da un’interazione negativa e una positiva (T1, T3) non c’è bistabilità. Piuttosto, in questo caso, le nullclines hanno una sola intersezione, cioè un comportamento monostabile. Così, un feedback negativo evita completamente i comportamenti bistabili e in particolare gli stati opposti degli ormoni.
Il modello semplificato considerato sopra dimostra anche un esempio di come un’assunzione di AA può portare a una maggiore secrezione coordinata di insulina e glucagone sia per T1, T3 e T4 ma non T2 attraverso il particolare spostamento dei punti di intersezione delle nullclines.
In sintesi, il feedback paradossale T1 evita la bistabilità in risposta ad AA, ed è più robusto nel suscitare una secrezione coordinata di ormoni dopo una perturbazione aminoacidica: la coordinazione è possibile con una restrizione sul tasso di produzione di uno degli ormoni, mentre, sono necessari più vincoli per avere la coordinazione con un sistema a doppio feedback negativo. Abbiamo anche valutato l’impatto di un pasto di aminoacidi, sui livelli di glucosio nel sangue, utilizzando le equazioni (1) e (4) oltre alle (9 e 10). Abbiamo trovato che quando il fegato è più sensibile al glucagone rispetto all’insulina (parametro ω > 1, Fig. 3e) le topologie T1, T2 e T5 sono le migliori nel minimizzare l’effetto di un input di aminoacido sui livelli di glucosio nel sangue in termini di deviazione integrale, come mostrato nella Fig. supplementare S6.