Équation de continuité pour un écoulement axisymétrique
(a)
Considérons un champ d’écoulement axisymétrique exprimé en termes de système de coordonnées cylindriques (r, φ, z), où toutes les variables d’écoulement sont indépendantes de l’angle azimutal φ – par exemple, l’écoulement axial sur un corps de révolution. Si les composantes de la vitesse (u, w) correspondent aux directions des coordonnées (r, z), respectivement, montrez que l’équation de continuité est donnée par
(b)
Montrez que l’équation de continuité peut être automatiquement satisfaite par une fonction de flux ψ d’une forme telle que
2.2
Équation de continuité pour un écoulement bidimensionnel en coordonnées polaires
(a)
Considérons un champ d’écoulement bidimensionnel exprimé en termes de système de coordonnées cylindriques (r, φ, z), où toutes les variables d’écoulement sont indépendantes de l’angle azimutal φ – par exemple, l’écoulement sur un cylindre circulaire. Si les composantes de la vitesse (u, v) correspondent aux directions des coordonnées (r, φ), respectivement, montrez que l’équation de continuité est donnée par
(b)
Montrez que l’équation de continuité peut être automatiquement satisfaite par une fonction de flux ψ d’une forme telle que
2.3
Équation de transport pour un contaminant dans un champ d’écoulement bidimensionnel
Dans de nombreuses applications d’ingénierie, on s’intéresse au transport d’un contaminant par l’écoulement du fluide. Le contaminant peut être n’importe quoi, d’un produit chimique polluant à une matière particulaire. Pour dériver l’équation directrice, on doit reconnaître que, à condition que le contaminant ne soit pas créé dans le champ d’écoulement, la masse du contaminant est conservée. La matière contaminante peut être transportée par deux mécanismes physiques distincts, la convection et la diffusion moléculaire. Soit C la concentration de contaminant (i.e, masse par unité de volume de fluide) ; alors le taux de transport de la contamination par unité de surface est donné par
où i et j sont les vecteurs unitaires dans les directions x et y respectivement, et D est le coefficient de diffusion (unités m2/s, identique à la viscosité cinématique).
Notez que la diffusion transporte le contaminant le long du gradient de concentration (c’est-à-dire, le transport se fait d’une concentration plus élevée vers une concentration plus faible) ; d’où le signe moins. Elle est analogue à la conduction thermique.
(a)
Considérez un volume de contrôle rectangulaire infinitésimal. Supposons qu’aucun contaminant ne soit produit en son sein et que le contaminant soit suffisamment dilué pour que l’écoulement du fluide reste inchangé. En considérant un bilan de masse pour le volume de contrôle, montrez que l’équation de transport pour un contaminant dans un champ d’écoulement bidimensionnel est donnée par
(b)
Pourquoi est-il nécessaire de supposer une suspension diluée du contaminant ? Quelle forme prendrait l’équation de transport si cette hypothèse n’était pas faite ? Enfin, comment pourrait-on modifier l’équation pour tenir compte du fait que le contaminant est produit par une réaction chimique au taux de m˙c par unité de volume.
2.4
Équations d’Euler pour un écoulement axisymétrique
(a)
Pour le champ d’écoulement et le système de coordonnées de l’exercice 2.1, montrer que les équations d’Euler (équations de la quantité de mouvement inviscide) prennent la forme
2.5
Équations de Navier-Stokes pour un écoulement axisymétrique bidimensionnel
(a)
Montrez que les vitesses de déformation et la vorticité pour un écoulement visqueux axisymétrique comme celui décrit dans l’exercice 2.1 sont données par
Indice : Notez que la vitesse de déformation azimutale n’est pas nulle. La façon la plus simple de la déterminer est de reconnaître que ε˙rr+ε˙φ+ε˙zz=0 doit être équivalent à l’équation de continuité. (b)
Montrez que les équations de Navier-Stokes pour un écoulement axisymétrique sont données par
2.6
Équations d’Euler pour un écoulement bidimensionnel en coordonnées polaires
(a)
Pour l’écoulement bidimensionnel décrit dans l’exercice 2.2, montrez que les équations d’Euler (équations de la quantité de mouvement inviscide) prennent la forme
Indices : (i) Les composantes de quantité de mouvement perpendiculaires aux faces latérales du volume de contrôle élémentaire et entrant et sortant de celles-ci ont de petites composantes dans la direction radiale qui doivent être prises en compte ; de même (ii) les forces de pression agissant sur ces faces ont de petites composantes radiales. 2.7
Montrez que les vitesses de déformation et la vorticité pour l’écoulement et le système de coordonnées de l’exercice 2.6 sont donnés par
Indice : (i) L’angle de déformation (β) de la face latérale doit être défini par rapport à la ligne joignant l’origine O au centre du volume de contrôle infinitésimal. 2.8
L’écoulement dans l’espace étroit (de largeur h) entre deux cylindres concentriques de longueur L, le cylindre intérieur de rayon R tournant à la vitesse angulaire ω, peut être approché par la solution de Couette aux équations de Navier-Stokes. Montrez que le couple T et la puissance P nécessaires pour faire tourner l’arbre à une vitesse de rotation de ω rad/s sont donnés par
2.9
Écoulement axisymétrique au point de stagnation
Réalisez une analyse similaire à celle décrite dans la section 2.10.3 en utilisant la forme axisymétrique des équations de Navier-Stokes données dans l’exercice 2.5 pour un écoulement axisymétrique au point de stagnation, et montrez que l’équivalent de l’équation (2.118) est
.