Jatkuvuusyhtälö

Jatkuvuusyhtälö akselisymmetriselle virtaukselle

(a)

Tarkastellaan akselisymmetristä virtauskenttää, joka ilmaistaan lieriökoordinaatistossa (r, φ, z), jossa kaikki virtausmuuttujat eivät riipu atsimutaalisesta kulmasta φ – esimerkiksi aksiaalinen virtaus pyörivän kappaleen yli. Jos nopeuskomponentit (u, w) vastaavat koordinaattisuuntia (r, z), osoitetaan, että jatkuvuusyhtälö saadaan seuraavalla kaavalla:

b)

Osoitetaan, että jatkuvuusyhtälö voidaan automaattisesti tyydyttää virtausfunktiolla ψ, jonka muoto on sellainen, että

2.2

Jatkuvuusyhtälö kaksiulotteiselle virtaukselle polaarikoordinaatistossa

(a)

Harkitaan kaksiulotteista virtauskenttää, joka ilmaistaan lieriökoordinaatistossa (r, φ, z), jossa kaikki virtausmuuttujat ovat riippumattomia atsimutaalikulmasta φ – esimerkiksi virtaus ympyränmuotoisen sylinterin yli. Jos nopeuskomponentit (u, v) vastaavat koordinaattisuuntia (r, φ), osoita, että jatkuvuusyhtälö saadaan seuraavalla kaavalla:

b)

Osoita, että jatkuvuusyhtälö voidaan automaattisesti tyydyttää virtausfunktiolla ψ, jonka muoto on sellainen, että

2.3

Kuljetusyhtälö epäpuhtaudelle kaksiulotteisessa virtauskentässä

Monissa teknisissä sovelluksissa ollaan kiinnostuneita epäpuhtauden kulkeutumisesta nestevirrassa. Epäpuhtaus voi olla mitä tahansa saastuttavasta kemikaalista hiukkasiin. Hallitsevan yhtälön johtamiseksi on tunnustettava, että mikäli epäpuhtautta ei synny virtauskentässä, epäpuhtauden massa säilyy. Epäpuhtaudet voivat kulkeutua kahden eri fysikaalisen mekanismin, konvektion ja molekyylidiffuusion, avulla. Olkoon C epäpuhtauden pitoisuus (ts, massa nesteen tilavuusyksikköä kohti); tällöin epäpuhtauden kulkeutumisnopeus pinta-alayksikköä kohti saadaan kaavalla

missä i ja j ovat yksikkövektorit x- ja y-suunnissa ja D on diffuusiokerroin (yksikköinä m2/s, sama kuin kinemaattinen viskositeetti).

Huomaa, että diffuusio kuljettaa epäpuhtautta pitoisuusgradienttia alaspäin (ts, kuljetus tapahtuu suuremmasta pitoisuudesta pienempään pitoisuuteen); tästä johtuu miinusmerkki. Se on analoginen lämmön johtumisen kanssa.

(a)

Harkitaan äärettömän pieni suorakulmainen kontrollitilavuus. Oletetaan, että sen sisällä ei synny epäpuhtauksia ja että epäpuhtaus on riittävän laimea, jotta nestevirtaus säilyy muuttumattomana. Tarkastellaan kontrollitilavuuden massatasetta, osoitetaan, että epäpuhtauden kulkeutumisyhtälö kaksiulotteisessa virtauskentässä saadaan

(b)

Miksi on välttämätöntä olettaa epäpuhtauden laimea suspensio? Millaisen muodon kuljetusyhtälö saisi, jos tätä oletusta ei tehtäisi? Lopuksi, miten yhtälöä voitaisiin muuttaa siten, että siinä otettaisiin huomioon, että epäpuhtautta syntyy kemiallisessa reaktiossa nopeudella m˙c tilavuusyksikköä kohti.

2.4

Eulerin yhtälöt akselisymmetriselle virtaukselle

(a)

Virtauskentälle ja koordinaatistolle, joka on esitetty harjoituksessa 2.1, osoita, että Eulerin yhtälöt (invisidiset momenttiyhtälöt) ovat muodossa

2.5

Navier-Stokesin yhtälöt kaksiulotteiselle aksisymmetriselle virtaukselle

a)

Osoita, että harjoituksessa 2 kuvatun kaltaisen aksisymmetrisen viskoosivirtauksen muodonmuutosnopeudet ja pyörteisyys.1 kuvatun kaltaista virtausta, saadaan

Vihje: Huomaa, että atsimutaalinen venymisnopeus ei ole nolla. Helpoin tapa määrittää se on tunnistaa, että ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 on vastattava jatkuvuusyhtälöä. (b)

Osoita, että Navier-Stokesin yhtälöt aksisymmetriselle virtaukselle saadaan

2.6

Eulerin yhtälöt kaksiulotteiselle virtaukselle polaarikoordinaatistossa

(a)

Harjoituksessa 2 kuvatulle kaksiulotteiselle virtaukselle.2, osoita, että Eulerin yhtälöt (inviscid momenttiyhtälöt) ovat muotoa