Modelo matemático del circuito de los islotes
Para caracterizar el circuito que subyace al control de la glucosa en sangre, derivamos un modelo matemático de 4 ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que tenía en cuenta observaciones experimentales e hipótesis de la literatura. Para simplificar, desestimamos el efecto de la somatostatina, una hormona secretada por las células delta de los islotes en respuesta a la secreción de insulina y que inhibe la secreción tanto de insulina como de glucagón. Nuestro modelo describe la tasa de cambios de la concentración de las siguientes cantidades a lo largo del tiempo: Glucosa en sangre (), glucagón en sangre (), insulina en sangre () e insulina a distancia (), un factor intermedio que representa las concentraciones de insulina en el compartimento tisular intersticial. se considera que media el efecto retardado de la represión de la insulina sobre la glucosa en sangre28. Consideramos todas las posibles combinaciones de interacciones negativas y positivas entre la insulina y el glucagón, dando lugar a nueve submodelos diferentes (Fig. 1c).
Las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias generales describen la dinámica de todos los posibles circuitos endocrinos:
INPUT representa la captación de glucosa a partir de una comida, DROP representa un aumento de la captación sistémica de glucosa en sangre, por ejemplo debido a un mayor consumo muscular durante el ejercicio. (x)+ es 0 cuando x ≤ 0 y x cuando x > 0. En estado estacionario, en ausencia de perturbaciones externas, INPUT = DROP = 0. Simulamos la respuesta dinámica de los circuitos endocrinos a las perturbaciones externas cambiando las variables INPUT y DROP (Fig. 1d,e). f(, ) representa la salida de glucosa hepática (HGO) en función de los niveles de glucosa en sangre de y 36,37. Consideramos la siguiente forma que consiste en una suma de dos términos de Michelis Menten (MM):
GLG* e INS* representan los estados estables del glucagón y la insulina a = 5 mM, y 0 ≤ ω ≤ 2 representa el peso relativo atribuido al glucagón sobre la insulina a la hora de afectar a la respuesta del hígado.
Para cada ecuación consideramos términos de degradación para el glucagón, la insulina y la insulina remota (δg, δi, δRi respectivamente); δb representa la captación basal de glucosa en sangre, predominantemente a través del consumo cerebral y V representa la captación de glucosa dependiente de la insulina27; α y μ representan las tasas de secreción basal de glucagón e insulina. Modelamos la secreción de insulina como una función monotónicamente creciente de los niveles de glucosa en sangre, K( – BG*)+, y la secreción de glucagón como una función monotónicamente decreciente de los niveles de glucosa en sangre Vr(BG* – )+ 38. Las ecuaciones para la insulina (3) y la insulina remota (4) tienen un «término de transporte» común (ε ( – )) que representa la difusión de la insulina desde la sangre al compartimento intersticial28.
Las interacciones entre la insulina y el glucagón se expresan mediante dos funciones genéricas Igg() y Gih(). Por simplicidad, en el siguiente análisis, g() y h() serán lineales, pero los resultados siguen siendo válidos para funciones no lineales(Información suplementaria). Nuestro modelo también ignora los efectos directos de la insulina en sangre sobre el aumento del consumo de glucosa en el hígado a través de la glucogénesis. Al igual que en el caso de las no linealidades, los resultados que se presentan a continuación siguen siendo válidos al introducir este proceso adicional (Información complementaria). El modelo en las ecuaciones (1-5) tiene 16 parámetros libres, que a continuación redujimos a 5 parámetros (Ig, Gi, Vr, K, ω) utilizando diferentes estimaciones de la literatura (Tabla 1).
Criterios de rendimiento
Consideramos tres criterios de rendimiento diferentes para los sistemas endocrinos estudiados. El primero fue un error positivo integral bajo, definido como:
donde representa el intervalo en el que se realiza la simulación.
Este criterio representa la capacidad de un circuito para evitar la hiperglucemia tras un paso de glucosa (Fig. 1d). El segundo criterio fue un valor alto para el nivel mínimo de glucosa en respuesta al aumento del consumo sistémico de glucosa, evitando así grandes caídas hipoglucémicas de glucosa (Fig. 1e). El tercero fue un bajo rebasamiento cuando la glucosa en sangre revierte desde un estado hipoglucémico (Máximo después de la caída, Fig. 1e).
Respuesta a las perturbaciones de la glucosa – análisis local
Para comprender la utilidad potencial del bucle paradójico de retroalimentación negativa entre las células alfa y beta aplicamos a continuación una estrategia que denominamos «análisis local». Estimulamos el sistema sin interacción paracrina, T0 (Fig. 1c), con un paso positivo o negativo de 30 minutos de INPUT y DROP (Fig. 2e,g). Exploramos el espacio de parámetros tridimensional de T0 (Vr, K, ω) e identificamos una combinación que conduce a un rendimiento relativamente favorable en términos de los tres criterios (los resultados siguientes son insensibles a los parámetros de T0). A continuación, modificamos sistemáticamente las fuerzas y direcciones de las interacciones paracrinas Gi e Ig y evaluamos los efectos sobre los criterios de rendimiento del sistema (Fig. 2a-d).
El análisis local revela características de todas las topologías del circuito. Se muestran los estados estables de la glucosa en sangre (a) el error positivo integral (b) el nivel mínimo después de una caída de glucosa (c) y el rebasamiento máximo después de la reversión de las caídas de glucosa (d). Para cada par de parámetros (Ig, Gi) se han simulado y puntuado las respuestas del sistema a la ENTRADA de glucosa de 30 minutos y a la CAÍDA de glucosa de 30 minutos. El error integral se ha evaluado en un intervalo de tiempo de 500 minutos. Los puntos blancos representan cada par de parámetros representados en (e y f); las diferentes áreas están etiquetadas con la topología correspondiente. (e-f) Simulaciones de la respuesta de la glucosa en sangre a un pulso positivo/negativo de 30 minutos: los estímulos externos están representados por el área sombreada en gris y la respuesta de los sistemas T0, T1, T2, T3, T4 están representados respectivamente en azul, rojo, verde, amarillo y morado. (g) Comparación entre las topologías T0, T1, para el comportamiento de la glucosa en sangre (), del glucagón (), de la insulina () y de la insulina a distancia (), tras un aumento del consumo de glucosa de 30 minutos (zona sombreada en gris): en la topología T0, la insulina aumenta con un retraso de 50 minutos. En todos los análisis, Vr = K = 10-5 y ω = 1.
Encontramos que las topologías de circuito T1, T2 y T5 eran mejores que otras para minimizar el error positivo integral. Estos circuitos incluyen la inhibición de la secreción de glucagón por parte de la insulina, asegurando así un cierre eficiente de la producción de glucosa hepática tras la alimentación. Así, ante un aumento de los niveles de glucosa, los niveles de glucagón disminuirían tanto directamente por la glucosa como indirectamente por el aumento de la secreción de insulina (Fig. 2b). Las topologías T3, T4 y T7 fueron mucho peores en términos de error integral, ya que incluían la activación indirecta del glucagón por la insulina en paralelo a su inhibición directa por la glucosa. Además, no pudieron alcanzar el estado estacionario de 5 mM para un amplio rango de parámetros, como se muestra en la Fig. 2a.
Cuando se considera la respuesta a las caídas de glucosa, encontramos que T1, T4 y T8 mostraron un mínimo más bajo, resultado de la activación paradójica de la secreción de insulina por el glucagón (Fig. 2c). Sin embargo, estas topologías dieron lugar a un rebasamiento significativamente reducido tras la reversión de los niveles de glucosa a su estado estable, como se evidencia por los menores niveles máximos de glucosa tras la reversión de las caídas de glucosa (Fig. 2d). Esta característica única de T1, T4 y T8 está relacionada con las escalas de tiempo implicadas. La ecuación (1) considera que los niveles de glucosa en sangre se reducen sistémicamente a través de la acción de la insulina a distancia, . Sin embargo, se eleva con un retraso respecto a la insulina debido a su difusión desde la sangre a los compartimentos intersticiales (Fig. 2g). Tras la reversión de los niveles de glucosa en sangre después de un descenso hipoglucémico de 30 minutos, si la secreción de insulina se incrementara sólo cuando los niveles superaran los 5 mM, habría un retraso de 50 minutos hasta que hubiera alcanzado el nivel necesario para reducir los niveles (Fig. 2g). La activación paradójica de la secreción de insulina por el glucagón produce un aumento temprano de , de modo que sus niveles sistémicos son lo suficientemente altos una vez que se alcanzan los 5 mM para contrarrestar los excesos adicionales (Fig. 2g).La capacidad del sistema para contrarrestar un exceso tras la reversión de los descensos de los niveles de glucosa en sangre es válida para una amplia gama de valores de retraso, Fig. Suplementaria S1.
Por lo tanto, T1, el circuito observado en los islotes, parece conducir a un nivel mínimo de glucosa en sangre más bajo en comparación con otras topologías, pero tiene dos características atractivas en términos de homeostasis de la glucosa – minimizando el error positivo integral en respuesta a la entrada de glucosa y embotando el sobreimpulso de los niveles de glucosa tras la reversión de la hipoglucemia. Demostraremos a continuación que los subimpulsos potencialmente peligrosos asociados a esta topología pueden minimizarse modulando la función de entrada del hígado a la insulina y el glucagón.
Respuesta a las perturbaciones de la glucosa – análisis global
Nuestro análisis local consideró las actuaciones del sistema cuando sólo se varió la fuerza de las dos paracrinas y todos los demás parámetros permanecieron fijos. Para complementar este análisis, realizamos una pantalla numérica insesgada39,40,41 muestreando parámetros al azar del espacio de parámetros de 5 dimensiones, consistente en (Vr, K, ω, Ig, Gi) y puntuando las topologías resultantes (Figs 3 y S2). De nuevo, encontramos que las topologías T1, T2 y T5 eran mejores para minimizar el error positivo integral en respuesta a una entrada de glucosa. Esta mejora en el rendimiento se debió a la inhibición de la secreción de glucagón tanto por la glucosa como por la insulina (Fig. 3a). T1, T4 y T8, las topologías en las que el glucagón activa la insulina, condujeron a niveles de glucosa más bajos en respuesta al aumento del consumo de glucosa (Fig. 3b), pero fueron mucho mejores a la hora de evitar los excesos tras la reversión a niveles normales (Fig. 3c). Se muestran resultados similares para el caso en el que una de las interacciones paracrinas o ambas se modelan como no lineales (Fig. Suplementaria S3) o cuando se considera un término para la glucogénesis en la Ec. (1), Fig. Suplementaria S4.
El análisis global revela características de todas las topologías de circuitos. (a) Los gráficos de caja representan el error positivo integral (a), el nivel mínimo después de la caída (b) y el rebasamiento máximo después de la caída (c) de todas las topologías de circuitos. Para cada índice, el análisis de Kruskal-Wallis indica un valor p < 0,001. (d) El rebasamiento del circuito T1 puede minimizarse aumentando la sensibilidad del hígado al glucagón. El área sombreada en gris representa el rango de ω para el que el mínimo es superior a 3 mM. (e) Se muestra la producción hepática de glucosa en función del glucagón y la insulina dependiendo del valor de la sensibilidad hepática al glucagón (parámetro ω). Las simulaciones se han realizado considerando la ecuación (5) como función de entrada con los parámetros indicados en la tabla 1. El gráfico en el rectángulo negro representa los datos obtenidos de37. GLG ∈ pM y INS ∈ pM. Los ejes GLG e INS se muestran en escalas logarítmicas.
La función de entrada del hígado al glucagón y a la insulina puede minimizar los rebasamientos durante la hipoglucemia
Nuestro análisis indica que la estimulación paradójica de la secreción de insulina por parte del glucagón minimiza los rebasamientos de los niveles de glucosa en sangre tras la reversión de la hipoglucemia, pero tiene una notable vulnerabilidad: los descensos de los niveles de glucosa se acentúan (mínimo bajo tras los descensos, Figs. 2 y 3). Dado que los eventos hipoglucémicos de niveles bajos de glucosa en sangre pueden poner en peligro la vida, examinamos si esta contrapartida podría aliviarse modulando los efectos combinados del glucagón y la insulina en la producción de glucosa hepática. Encontramos que una función de entrada f(, ) (Ecuación (5)) en la que el hígado es más sensible al glucagón en comparación con la insulina (ω > 1) facilita un bajo rebasamiento así como un reducido rebasamiento (Figs 3d y S5). Con esta función de entrada, la insulina es menos eficaz en el cierre de la salida de glucosa hepática. Los datos anteriores indican que esta mayor sensibilidad en la que el glucagón «anula» la señal de la insulina se observa efectivamente37, Fig. 3e. Para evaluar el parámetro ω que mejor describe la función de entrada hepática a la insulina y al glucagón medida previamente, exploramos un rango de 0 ≤ ω ≤ 2 y calculamos el error cuadrático medio (MSE) entre las funciones de entrada experimental y teórica, ambas maximizadas a su valor máximo. Obtuvimos ωMSE = 1,3.
Respuesta a las comidas proteicas
Nuestro análisis anterior demostró que la inhibición de la secreción de glucagón por parte de la insulina da lugar a una disminución del error positivo integrado tras una comida de glucosa INPUT. Además, descubrimos que la estimulación paradójica de la secreción de insulina por parte del glucagón minimiza los rebasamientos de los niveles al revertir desde un escalón hipoglucémico, a expensas de un mínimo más bajo después de la caída que puede ser evitado por la función de entrada del hígado f(, ). A continuación, consideramos otras posibles ventajas de la topología paradójica T1 sobre topologías alternativas más intuitivas como la T2, en la que la insulina y el glucagón reprimen mutuamente la secreción de sus hormonas afines. Para ello, analizamos la respuesta del circuito a las comidas proteicas.
A diferencia de la glucosa, los aminoácidos provocan una potente secreción coordinada de insulina y glucagón. Esta coordinación se debe a las múltiples funciones de la insulina como hormona anabólica. La insulina es necesaria no sólo para aumentar la captación celular de glucosa, sino también para aumentar la lipogénesis en respuesta a la ingesta de lípidos y la producción de proteínas a través de la traducción en respuesta al consumo de aminoácidos42,43. De hecho, la arginina es un secretagogo de insulina más potente que la glucosa44. El aumento de la secreción de insulina en respuesta a las comidas proteicas podría tener un impacto peligroso en la homeostasis de la glucosa en sangre, produciendo un aumento del consumo dependiente de la insulina y una disminución del HGO. Para contrarrestar esta disminución del nivel de glucosa en sangre, el glucagón también es potentemente estimulado por los aminoácidos (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 para asegurar un aumento de la HGO frente a dicha captación colateral de glucosa en sangre (Fig. 4a).
Respuestas del circuito a las entradas de aminoácidos. (a) Los aminoácidos (AA) estimulan la secreción de insulina y glucagón. (b) Ejemplo esquemático del comportamiento coordinado de la insulina (línea azul) y el glucagón (línea discontinua verde) a lo largo del tiempo tras un estímulo de aminoácidos escalonado (área sombreada naranja). (c) Ejemplo esquemático del comportamiento no coordinado de la insulina (línea azul) y el glucagón (línea verde discontinua) a lo largo del tiempo tras un estímulo escalonado de aminoácidos (área sombreada en rojo). (d) Esquemas de las líneas nulas para el circuito T4 con una doble interacción positiva entre las dos hormonas, sin entrada de AA (líneas continuas) y con la entrada de AA (líneas discontinuas): las intersecciones (puntos) representan estados estables (LL – HH). (e) Esquema de las líneas nulas para el circuito T2 con una doble interacción negativa entre las dos hormonas sin entrada de AA (líneas continuas) y con la entrada de AA (líneas discontinuas); las intersecciones (puntos) representan estados estables (LH – HL). Tras el estímulo de AA, las líneas nulas se desplazan y ambos estados estables disminuyen (puntos rojos). (f) Esquemas de las líneas nulas para una retroalimentación negativa entre las hormonas (líneas continuas); la intersección (punto) representa un único estado estacionario; tras el estímulo de AA, las líneas nulas se desplazan (líneas discontinuas) y ambas hormonas aumentan (HH).
Para evaluar el potencial de los diferentes circuitos de los islotes para la co-secreción de insulina y glucagón, examinamos los niveles de estado estacionario de insulina y glucagón en respuesta a una ingesta de aminoácidos (AA). Utilizamos las ecuaciones (2 y 3) pero en lugar de un estímulo de glucosa, añadimos términos constantes IAAg e IAAi que describen el estímulo de aminoácidos sobre la secreción de insulina y glucagón (Fig. 4a):
donde y son las dos hormonas, α y μ son las tasas de producción basal de las dos hormonas, IAAg = IAAg(AA) e IAAi = IAAi(AA) son las tasas de producción generadas por el aporte de aminoácidos, δg y δi las tasas de degradación e Igg() y Gih() son dos funciones generales, que representan las acciones de una hormona sobre la otra: en el caso doblemente positivo T4 tanto g() como h() son crecientes, en el caso doblemente negativo T2, ambas son decrecientes, mientras que en los casos mixtos T1 y T3 una es decreciente y la otra creciente.
Para comparar el rendimiento de los diferentes sistemas, consideramos las restricciones sobre IAAg, IAAi que asegurarían que los estados estables de ambas hormonas aumentan sobre una entrada (IAAg, IAAi > 0), ver Métodos.
Encontramos que los circuitos de retroalimentación negativa T1 y T3 que involucran a la insulina y al glucagón requieren una restricción sólo en uno de los dos pulsos, mientras que el circuito negativo doble T2 requiere restricciones en ambas funciones de entrada IAAg, IAAi.
Para simplificar, consideramos una interacción lineal (h(GLG]) y una no lineal (g), los resultados a continuación sólo son válidos cuando al menos una interacción es no lineal). En particular:
en caso de activación, o
en caso de inhibición, con n > 2 y K > 0 y h() = Gi.
La figura 4d,e muestra las líneas nulas para los casos doblemente positivos y doblemente negativos respectivamente: en el caso doblemente positivo, la biestabilidad se caracteriza por dos puntos de equilibrio, uno en el que ambos estados estables son altos (HH), y un segundo, en el que ambos estados estables son bajos (LL, Fig. 4d); en el circuito doblemente negativo T2, la biestabilidad se caracteriza por dos equilibrios en los que una hormona está en un estado estacionario alto y la otra en un estado estacionario bajo (HL, LH), dando lugar a un interruptor o a un comportamiento de «inhibición mutua» Fig. 4e52,53,54,55. En el caso de un bucle de retroalimentación negativa compuesto por una interacción negativa y otra positiva (T1, T3) no hay biestabilidad. Más bien, en este caso, las líneas nulas tienen una sola intersección, es decir, un comportamiento monoestable. Por lo tanto, una retroalimentación negativa evita completamente los comportamientos biestables y, en particular, los estados opuestos de las hormonas.
El modelo simplificado considerado anteriormente también demuestra un ejemplo de cómo una ingesta de AA puede conducir a una mayor secreción coordinada tanto de insulina como de glucagón para T1, T3 y T4, pero no para T2, a través del desplazamiento particular de los puntos de intersección de las líneas nulas.
En resumen, la retroalimentación paradójica T1 evita la biestabilidad en respuesta al AA, y es más robusta a la hora de provocar una secreción coordinada de hormonas después de una perturbación de aminoácidos: la coordinación es posible con una restricción en la tasa de producción de una de las hormonas, mientras que, se necesitan más restricciones para tener coordinación con un sistema de retroalimentación negativa doble. También evaluamos el impacto de una comida con aminoácidos, en los niveles de glucosa en sangre, utilizando las ecuaciones (1) y (4) además de (9 y 10). Encontramos que cuando el hígado es más sensible al glucagón en comparación con la insulina (parámetro ω > 1, Fig. 3e) las topologías T1, T2 y T5 son las mejores para minimizar el efecto de una entrada de aminoácidos en los niveles de glucosa en sangre en términos de desviación integral, como se muestra en la Fig. Suplementaria S6.