Kontinuitätsgleichung für achsensymmetrische Strömung
(a)
Betrachten wir ein achsensymmetrisches Strömungsfeld, ausgedrückt durch das zylindrische Koordinatensystem (r, φ, z), in dem alle Strömungsvariablen unabhängig vom Azimutwinkel φ sind – zum Beispiel die axiale Strömung über einen Rotationskörper. Wenn die Geschwindigkeitskomponenten (u, w) jeweils den Koordinatenrichtungen (r, z) entsprechen, zeige, dass die Kontinuitätsgleichung gegeben ist durch
(b)
Zeige, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch durch eine Strömungsfunktion ψ der Form erfüllt werden kann, dass
2.2
Kontinuitätsgleichung für zweidimensionale Strömung in Polarkoordinaten
(a)
Betrachten Sie ein zweidimensionales Strömungsfeld, ausgedrückt im zylindrischen Koordinatensystem (r, φ, z), in dem alle Strömungsvariablen unabhängig vom azimutalen Winkel φ sind – beispielsweise die Strömung über einen Kreiszylinder. Wenn die Geschwindigkeitskomponenten (u, v) jeweils den Koordinatenrichtungen (r, φ) entsprechen, zeige, dass die Kontinuitätsgleichung gegeben ist durch
(b)
Zeige, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch durch eine Strömungsfunktion ψ der Form erfüllt werden kann, dass
2.3
Transportgleichung für Verunreinigungen in einem zweidimensionalen Strömungsfeld
In vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für den Transport einer Verunreinigung durch die Fluidströmung. Bei der Verunreinigung kann es sich um eine verschmutzende Chemikalie oder um Partikel handeln. Zur Herleitung der Gleichung muss man wissen, dass die Masse der Verunreinigung erhalten bleibt, vorausgesetzt, dass die Verunreinigung nicht im Strömungsfeld erzeugt wird. Die Verunreinigung kann durch zwei verschiedene physikalische Mechanismen transportiert werden: Konvektion und molekulare Diffusion. C sei die Konzentration der Verunreinigung (d. h., Masse pro Volumeneinheit der Flüssigkeit); dann ist die Transportrate der Verunreinigung pro Flächeneinheit gegeben durch
wobei i und j die Einheitsvektoren in x- bzw. y-Richtung sind und D der Diffusionskoeffizient ist (Einheiten m2/s, gleich der kinematischen Viskosität).
Beachten Sie, dass die Diffusion den Schadstoff entlang des Konzentrationsgradienten transportiert (d. h., der Transport erfolgt von einer höheren zu einer niedrigeren Konzentration); daher das Minuszeichen. Sie ist analog zur Wärmeleitung.
(a)
Betrachten Sie ein infinitesimales rechteckiges Kontrollvolumen. Nehmen Sie an, dass darin keine Verunreinigung entsteht und dass die Verunreinigung ausreichend verdünnt ist, um den Flüssigkeitsstrom unverändert zu lassen. Stellen Sie eine Massenbilanz für das Kontrollvolumen auf, zeigen Sie, dass die Transportgleichung für eine Verunreinigung in einem zweidimensionalen Strömungsfeld gegeben ist durch
(b)
Warum ist es notwendig, eine verdünnte Suspension der Verunreinigung anzunehmen? Wie sähe die Transportgleichung aus, wenn diese Annahme nicht getroffen würde? Wie könnte die Gleichung schließlich modifiziert werden, um zu berücksichtigen, dass die Verunreinigung durch eine chemische Reaktion mit einer Rate von m˙c pro Volumeneinheit erzeugt wird.
2.4
Euler-Gleichungen für achsensymmetrische Strömung
(a)
Zeigen Sie für das Strömungsfeld und das Koordinatensystem von Aufgabe 2.1, zeigen Sie, dass die Euler-Gleichungen (inviskide Impulsgleichungen) die Form
2 haben.5
Navier-Stokes-Gleichungen für eine zweidimensionale achsensymmetrische Strömung
(a)
Zeigen Sie, dass die Dehnungsraten und die Wirbelstärke für eine achsensymmetrische viskose Strömung, wie sie in Übung 2.1 beschrieben ist, gegeben sind durch
Hinweis: Beachten Sie, dass die azimutale Dehnungsrate nicht Null ist. Sie lässt sich am einfachsten bestimmen, wenn man erkennt, dass ε˙rr+ε˙φφ+ε˙zz=0 mit der Kontinuitätsgleichung äquivalent sein muss. (b)
Zeigen Sie, dass die Navier-Stokes-Gleichungen für achsensymmetrische Strömungen gegeben sind durch
2.6
Euler-Gleichungen für eine zweidimensionale Strömung in Polarkoordinaten
(a)
Für die in Aufgabe 2 beschriebene zweidimensionale Strömung.2 beschriebenen zweidimensionalen Strömung zeigen Sie, dass die Euler-Gleichungen (inviskide Impulsgleichungen) die Form
Hinweise: (i) Die Impulskomponenten, die senkrecht zu den Seitenflächen des elementaren Kontrollvolumens ein- und austreten, haben kleine Komponenten in radialer Richtung, die berücksichtigt werden müssen; ebenso haben (ii) die auf diese Flächen wirkenden Druckkräfte kleine radiale Komponenten. 2.7
Zeigen Sie, dass die Dehnungsraten und die Wirbelstärke für die Strömung und das Koordinatensystem der Übung 2.6 gegeben sind durch
Hinweis: (i) Der Verzerrungswinkel (β) der Seitenfläche muss relativ zur Verbindungslinie zwischen dem Ursprung O und dem Mittelpunkt des infinitesimalen Kontrollvolumens definiert werden. 2.8
Die Strömung in dem engen Spalt (der Breite h) zwischen zwei konzentrischen Zylindern der Länge L, wobei der innere mit dem Radius R mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, kann durch die Couette-Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen angenähert werden. Zeigen Sie, dass das Drehmoment T und die Leistung P, die erforderlich sind, um die Welle mit einer Drehzahl von ω rad/s zu drehen, gegeben sind durch
2.9
Achsensymmetrische Strömung im Staupunkt
Führen Sie eine ähnliche Analyse wie in Abschnitt 2.10.3 unter Verwendung der achsensymmetrischen Form der Navier-Stokes-Gleichungen, die in Übung 2.5 für die achsensymmetrische Strömung im Staupunkt gegeben wurden, und zeigen Sie, dass das Äquivalent zu Gleichung (2.118) ist