Model matematic al circuitului insulelor
Pentru a caracteriza circuitul care stă la baza controlului glicemiei, am derivat un model matematic format din 4 ecuații diferențiale ordinare (ODE) care a luat în considerare observațiile experimentale și ipotezele din literatura de specialitate. Pentru simplitate, am neglijat efectul somatostatinei, un hormon secretat de celulele delta ale insulelor ca răspuns la secreția de insulină și care inhibă atât secreția de insulină, cât și cea de glucagon. Modelul nostru descrie rata de modificare a concentrației următoarelor cantități în timp: Glicemia (), glucagonul din sânge (), insulina din sânge () și insulina la distanță (), un factor intermediar care reprezintă concentrațiile de insulină din compartimentul tisular interstițial. se consideră că mediază efectul întârziat al reprimării insulinei asupra glicemiei28. Am luat în considerare toate combinațiile posibile de interacțiuni negative și pozitive între insulină și glucagon, obținând nouă submodele diferite (Fig. 1c).
Următoarele ecuații diferențiale ordinare generale descriu dinamica tuturor circuitelor endocrine posibile:
INPUT reprezintă absorbția de glucoză de la o masă, DROP reprezintă o creștere a absorbției sistemice de glucoză din sânge, de exemplu din cauza creșterii consumului muscular în timpul exercițiilor fizice. (x)+ este 0 atunci când x ≤ 0 și x atunci când x > 0. La starea de echilibru, în absența perturbației externe, INPUT = DROP = 0. Am simulat răspunsul dinamic al circuitelor endocrine la perturbații externe prin modificarea variabilelor INPUT și DROP (Fig. 1d,e). f(, ) reprezintă producția hepatică de glucoză (HGO) în funcție de nivelurile de glucoză din sânge de și 36,37. Am luat în considerare următoarea formă care constă într-o sumă de doi termeni Michelis Menten (MM):
GLG* și INS* reprezintă stările de echilibru ale glucagonului și insulinei la = 5 mM, iar 0 ≤ ω ≤ 2 reprezintă ponderea relativă atribuită glucagonului față de insulină în afectarea răspunsului ficatului.
Pentru fiecare ecuație am luat în considerare termenii de degradare pentru glucagon, insulină și insulină la distanță (δg, δi, respectiv δRi); δb reprezintă absorbția bazală de glucoză din sânge, predominant prin consumul cerebral și V reprezintă absorbția de glucoză dependentă de insulină27; α și μ reprezintă ratele de secreție bazală a glucagonului și insulinei. Am modelat secreția de insulină ca o funcție crescătoare monotonică a nivelului de glucoză din sânge, K( – BG*)+, iar secreția de glucagon ca o funcție descrescătoare monotonică a nivelului de glucoză din sânge Vr(BG* – )+ 38. Ecuațiile pentru insulină (3) și insulină la distanță (4) au un „termen de transport” comun (ε ( – )) care reprezintă difuzia insulinei din sânge în compartimentul interstițial28.
Interacțiunile dintre insulină și glucagon sunt exprimate prin două funcții generice Igg() și Gih(). Pentru simplitate, în analiza următoare, g() și h() vor fi liniare, dar rezultatele rămân valabile pentru funcții neliniare(Informații suplimentare). Modelul nostru ignoră, de asemenea, efectele directe ale insulinei din sânge asupra creșterii consumului hepatic de glucoză prin intermediul glicogenezei. Ca și în cazul neliniarităților, rezultatele de mai jos rămân valabile la introducerea acestui proces suplimentar (Informații suplimentare). Modelul din ecuațiile (1-5) are 16 parametri liberi, pe care i-am redus apoi la 5 parametri (Ig, Gi, Vr, K, ω) folosind diferite estimări din literatură (tabelul 1).
Criterii de performanță
Am luat în considerare trei criterii de performanță diferite pentru sistemele endocrine studiate. Primul a fost o eroare pozitivă integrală scăzută, definită ca:
unde reprezintă intervalul în care se efectuează simularea.
Acest criteriu reprezintă capacitatea unui circuit de a evita hiperglicemia în urma unui pas de glucoză (Fig. 1d). Al doilea criteriu a fost o valoare ridicată pentru nivelul minim de glucoză ca răspuns la creșterea consumului sistemic de glucoză, evitând astfel scăderi mari de glucoză hipoglicemică (Fig. 1e). Al treilea a fost o depășire scăzută atunci când glicemia revine de la o stare hipoglicemică (Maxim după scădere, Fig. 1e).
Răspunsul la perturbații ale glucozei – analiză locală
Pentru a înțelege utilitatea potențială a buclei paradoxale de feedback negativ dintre celulele alfa și beta, am aplicat în continuare o strategie pe care o numim „analiză locală”. Am stimulat sistemul fără interacțiune paracrină, T0 (Fig. 1c), cu o treaptă pozitivă sau negativă de 30 de minute de INPUT și DROP (Fig. 2e,g). Am scanat spațiul tridimensional al parametrilor T0 (Vr, K, ω) și am identificat o combinație care conduce la o performanță relativ favorabilă din punct de vedere al celor trei criterii (rezultatele următoare sunt insensibile la parametrii T0). În continuare, am modificat sistematic intensitățile și direcțiile interacțiunilor paracrine Gi și Ig și am evaluat efectele asupra criteriilor de performanță ale sistemului (Fig. 2a-d).
Analiza locală relevă caracteristicile tuturor topologiilor de circuit. Sunt reprezentate stările de echilibru ale glicemiei (a) eroarea pozitivă integrală (b) nivelul minim după o scădere a glicemiei (c) și depășirea maximă după revenirea de la scăderea glicemiei (d). Pentru fiecare pereche de parametri (Ig, Gi) au fost simulate și notate răspunsurile sistemului la 30 de minute de INTRARE a glucozei și la 30 de minute de Scădere a glucozei. Eroarea integrală a fost evaluată pe un interval de timp de 500 de minute. Punctele albe reprezintă fiecare pereche de parametri reprezentată în (e și f); diferitele zone sunt etichetate cu topologia corespunzătoare. (e-f) Simulări ale răspunsului glicemiei la un impuls pozitiv/negativ de 30 de minute: stimulii externi sunt reprezentați prin zona gri umbrită, iar răspunsul sistemelor T0, T1, T2, T3, T4 este reprezentat în albastru, roșu, verde, galben și, respectiv, violet. (g) Comparație între topologiile T0, T1, pentru comportamentul glicemiei (), al glucagonului (), al insulinei () și al insulinei la distanță (), după un consum crescut de glucoză de 30 de minute (zona umbrită în gri): în topologia T0, insulina crește cu o întârziere de 50 de minute. În toate analizele, Vr = K = 10-5 și ω = 1.
Am constatat că topologiile de circuit T1, T2 și T5 au fost mai bune decât celelalte în ceea ce privește minimizarea erorii pozitive integrale. Aceste circuite includ inhibarea secreției de glucagon de către insulină, asigurând astfel oprirea eficientă a producției hepatice de glucoză la hrănire. Astfel, la o creștere a nivelului de glucoză, nivelul de glucagon ar scădea atât direct prin glucoză, cât și indirect prin creșterea secreției de insulină (Fig. 2b). Topologiile T3, T4 și T7 s-au descurcat mult mai prost în ceea ce privește eroarea integrală, deoarece au inclus activarea indirectă a glucagonului de către insulină în paralel cu inhibarea directă a acestuia de către glucoză. Mai mult, acestea nu au putut atinge starea staționară de 5 mM pentru o gamă largă de parametri, așa cum se arată în Fig. 2a.
Când luăm în considerare răspunsul la scăderea glucozei, am constatat că T1, T4 și T8 au prezentat un minim mai mic, un rezultat al activării paradoxale a secreției de insulină de către glucagon (Fig. 2c). Cu toate acestea, în mod notabil, aceste topologii au dat naștere la o depășire semnificativ redusă la revenirea nivelurilor de glucoză la starea de echilibru, după cum reiese din nivelurile maxime de glucoză mai scăzute la revenirea picăturilor de glucoză (Fig. 2d). Această caracteristică unică a T1, T4 și T8 este legată de scările de timp implicate. Ecuația (1) consideră că nivelurile de glucoză din sânge sunt reduse în mod sistemic prin acțiunea insulinei la distanță, . Cu toate acestea, crește cu o întârziere în comparație cu insulina, datorită difuziei sale din sânge în compartimentele interstițiale (Fig. 2g). În urma revenirii nivelului glicemiei după o scădere hipoglicemică de 30 de minute, dacă secreția de insulină ar crește numai atunci când nivelurile depășesc 5 mM, ar exista o întârziere de 50 de minute până când va fi crescut până la nivelul necesar pentru a reduce nivelurile (Fig. 2g). Activarea paradoxală a secreției de insulină de către glucagon produce o creștere timpurie a , astfel încât nivelurile sale sistemice sunt suficient de ridicate odată ce ajunge la 5 mM pentru a atenua depășirile suplimentare (Fig. 2g). capacitatea sistemului de a contracara o depășire în urma inversării scăderii nivelului de glucoză din sânge este valabilă pentru o gamă largă de valori ale întârzierii, Fig. suplimentară S1.
Astfel, T1, circuitul observat în insulițe, pare să conducă la un nivel minim de glucoză în sânge mai mic în comparație cu alte topologii, dar are două caracteristici atractive în ceea ce privește homeostazia glucozei – minimizarea erorii pozitive integrale ca răspuns la intrarea de glucoză și estomparea depășirii nivelului de glucoză în urma inversării hipoglicemiei. Vom demonstra mai jos că potențialul periculos undershoot asociat cu această topologie poate fi minimizat prin modularea funcției de intrare a ficatului la insulină și glucagon.
Răspunsul la perturbații ale glucozei – analiză globală
Analiza noastră locală a luat în considerare performanțele sistemului atunci când a fost variată doar puterea celor două paracrine și toți ceilalți parametri au rămas fixi. Pentru a completa această analiză, am efectuat un screening numeric imparțial39,40,41 prin eșantionarea parametrilor la întâmplare din spațiul parametrilor cu 5 dimensiuni, format din (Vr, K, ω, Ig, Gi) și prin notarea topologiilor rezultate (Figurile 3 și S2). Și în acest caz, am constatat că topologiile T1, T2 și T5 au fost mai bune la minimizarea erorii pozitive integrale ca răspuns la o intrare de glucoză. Această performanță îmbunătățită s-a născut din inhibarea secreției de glucagon atât de către glucoză, cât și de către insulină (Fig. 3a). T1, T4 și T8, topologiile în care glucagonul activează insulina, au condus la niveluri mai scăzute de glucoză ca răspuns la un consum crescut de glucoză (Fig. 3b), dar au fost mult mai bune în ceea ce privește evitarea depășirilor în urma revenirii la niveluri normale (Fig. 3c). Rezultate similare sunt prezentate pentru cazul în care una dintre interacțiunile paracrine sau ambele sunt modelate ca fiind neliniare (Fig. Suplimentară S3) sau atunci când se ia în considerare un termen pentru glicogeneză în Ecuația (1), Fig. Suplimentară S4.
Analiza globală relevă caracteristici ale tuturor topologiilor de circuit. (a) Boxploturile reprezintă eroarea pozitivă integrală (a) nivelul minim după cădere (b) și depășirea maximă după cădere (c) a tuturor topologiilor de circuite. Pentru fiecare indice, analiza Kruskal-Wallis raportează valoarea p < 0,001. (d) Subdeclanșarea circuitului T1 poate fi minimizată prin creșterea sensibilității ficatului la glucagon. Zona umbrită în gri reprezintă intervalul de ω pentru care minimul este mai mare de 3 mM. (e) Producția hepatică de glucoză în funcție de glucagon și insulină este prezentată în funcție de valoarea sensibilității ficatului la glucagon (parametrul ω). Simulările au fost efectuate considerând Ecuația (5) ca funcție de intrare cu parametrii raportate în Tabelul 1. Graficul din dreptunghiul negru reprezintă datele obținute din37. GLG ∈ pM și INS ∈ pM. Axele GLG și INS sunt reprezentate în scări logaritmice.
Funcția de intrare a ficatului în glucagon și insulină poate minimiza suprapunerile în timpul hipoglicemiei
Analiza noastră indică faptul că stimularea paradoxală a secreției de insulină de către glucagon minimizează suprapunerile glicemiei în urma revenirii hipoglicemiei, dar are o vulnerabilitate notabilă – scăderile glicemiei sunt accentuate (minimul scăzut după scăderi, Figurile 2 și 3). Deoarece evenimentele hipoglicemice de niveluri scăzute ale glicemiei pot pune în pericol viața, am examinat dacă acest compromis ar putea fi atenuat prin modularea efectelor combinate ale glucagonului și insulinei asupra producției hepatice de glucoză. Am constatat că o funcție de intrare f(, ) (ecuația (5)) în care ficatul este mai sensibil la glucagon în comparație cu insulina (ω > 1) facilitează o depășire scăzută, precum și o reducere a depășirii (Figurile 3d și S5). Cu o astfel de funcție de intrare, insulina este mai puțin eficientă în oprirea producției hepatice de glucoză. Datele anterioare indică faptul că o astfel de sensibilitate crescută în care glucagonul „prevalează” asupra semnalului de la insulină este într-adevăr observată37, Fig. 3e. Pentru a evalua parametrul ω care descrie cel mai bine funcția de intrare a ficatului măsurată anterior pentru insulină și glucagon, am scanat un interval de 0 ≤ ω ≤ 2 și am calculat eroarea pătratică medie (MSE) între funcțiile de intrare experimentală și teoretică, ambele maximizate la valoarea lor maximă. Am obținut ωMSE = 1,3.
Răspunsul la mesele cu proteine
Analiza noastră anterioară a demonstrat că inhibarea secreției de glucagon de către insulină dă naștere la o scădere a erorii pozitive integrate după o masă cu glucoză INPUT. Mai mult, am constatat că stimularea paradoxală a secreției de insulină de către glucagon reduce la minimum depășirile nivelurilor la revenirea de la o etapă hipoglicemică, în detrimentul unui minim mai mic după scăderea care poate fi prevenită de funcția de intrare a ficatului f(, ). În continuare, am luat în considerare avantaje suplimentare posibile ale topologiei paradoxale T1 față de topologii alternative mai intuitive, cum ar fi T2, în care insulina și glucagonul își reprimă reciproc secreția hormonilor lor cognați. În acest scop, am analizat răspunsul circuitului la mesele proteice.
Spre deosebire de glucoză, aminoacizii provoacă o secreție coordonată puternică atât a insulinei, cât și a glucagonului. Această coordonare provine din rolurile multiple ale insulinei ca hormon anabolic. Insulina este necesară nu numai pentru a crește absorbția celulară de glucoză, ci și pentru a crește lipogeneza ca răspuns la aportul de lipide și producția de proteine prin translație ca răspuns la consumul de aminoacizi42,43. Într-adevăr, arginina este un secretagog mai puternic al insulinei decât glucoza44. Secreția crescută de insulină ca răspuns la mesele cu proteine ar putea avea un impact periculos asupra homeostaziei glicemiei, producând o creștere dependentă de insulină a consumului și o scădere a HGO. Pentru a contracara această scădere a nivelului de glucoză din sânge, glucagonul este, de asemenea, puternic stimulat de aminoacizi (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 pentru a asigura creșterea HGO în fața unei astfel de absorbții colaterale de glucoză din sânge (Fig. 4a).
Răspunsurile circuitului la intrările de aminoacizi. (a) Aminoacizii (AA) stimulează atât secreția de insulină, cât și cea de glucagon. (b) Exemplu schematic de comportament coordonat al insulinei (linie albastră) și al glucagonului (linie verde punctată) în timp după un stimul de aminoacizi în trepte (zonă umbrită portocalie). (c) Exemplu schematic de comportament necoordonat al insulinei (linie albastră) și al glucagonului (linie verde punctată) în timp după un stimul de aminoacizi în trepte (zonă umbrită cu roșu). (d) Scheme ale liniilor de nulitate pentru circuitul T4 cu o dublă interacțiune pozitivă între cei doi hormoni, fără aportul AA (linii continue) și cu aportul AA (linii punctate): intersecțiile (puncte) reprezintă stări de echilibru (LL – HH). (e) Schemele liniilor de nul pentru circuitul T2 cu o dublă interacțiune negativă între cei doi hormoni, fără intrare AA (linii continue) și cu intrare AA (linii punctate); intersecțiile (puncte) reprezintă stări de echilibru (LH – HL). După stimulul AA, liniile de nulclină se deplasează și ambele stări staționare scad (puncte roșii). (f) Schițe nullclines pentru o reacție negativă între hormoni (linii continue); intersecția (punct) reprezintă o singură stare de echilibru; după stimulul AA, nullclines se deplasează (linii punctate) și ambii hormoni cresc (HH).
Pentru a evalua potențialul diferitelor circuite de insule pentru co-secreția atât a insulinei, cât și a glucagonului, am examinat nivelurile de stare de echilibru ale insulinei și glucagonului ca răspuns la un aport de aminoacizi (AA). Am utilizat ecuațiile (2 și 3), dar în loc de o stimulare cu glucoză, am adăugat termenii constanți IAAg și IAAi care descriu stimularea aminoacizilor asupra secreției de insulină și glucagon (Fig. 4a):
unde, și sunt cei doi hormoni, α și μ sunt ratele de producție bazale pentru cei doi hormoni, IAAg = IAAg(AA) și IAAi = IAAi(AA) sunt ratele de producție generate de aportul de aminoacizi, δg și δi ratele de degradare, iar Igg() și Gih() sunt două funcții generale, reprezentând acțiunile unui hormon asupra celuilalt: în cazul dublu pozitiv T4, atât g(), cât și h() sunt în creștere, în cazul dublu negativ T2, ambele sunt în scădere, în timp ce în cazurile mixte T1 și T3 una este în scădere și cealaltă în creștere.
Pentru a compara performanțele diferitelor sisteme, am luat în considerare constrângerile asupra IAAg, IAAi care ar asigura că stările de echilibru ale ambilor hormoni cresc la o intrare (IAAg, IAAi > 0), vezi Metode.
Am constatat că circuitele de reacție negativă T1 și T3 care implică insulina și glucagonul necesită o constrângere doar asupra unuia dintre cele două impulsuri, în timp ce circuitul dublu negativ T2 necesită constrângeri asupra ambelor funcții de intrare IAAg, IAAi.
Pentru simplitate, considerăm o interacțiune liniară (h(GLG]) și una neliniară (g), rezultatele de mai jos sunt valabile doar atunci când cel puțin o interacțiune este neliniară). În special:
în cazul activării, sau
în caz de inhibiție, cu n > 2 și K > 0 și h() = Gi.
Figura 4d,e prezintă nulclinile pentru cazul dublu pozitiv și, respectiv, dublu negativ: în cazul dublu pozitiv, bistabilitatea este caracterizată de două puncte de echilibru, unul în care ambele stări de echilibru sunt înalte (HH) și un al doilea, în care ambele stări de echilibru sunt joase (LL, Fig. 4d); în cazul circuitului dublu negativ T2, bistabilitatea este caracterizată de două echilibre în care un hormon se află la o stare de echilibru ridicată și celălalt la o stare de echilibru scăzută (HL, LH), dând naștere unui comutator sau unui comportament de „inhibiție reciprocă” Fig. 4e52,53,53,54,55. În cazul unei bucle de reacție negativă compusă dintr-o interacțiune negativă și una pozitivă (T1, T3), nu există bistabilitate. Dimpotrivă, în acest caz, liniile de nul au o singură intersecție, adică un comportament monostabil. Astfel, o reacție negativă evită complet comportamentele bistabile și, în special, stările opuse ale hormonilor.
Modelul simplificat considerat mai sus demonstrează, de asemenea, un exemplu al modului în care un aport de AA poate duce la o secreție coordonată mai mare atât de insulină, cât și de glucagon pentru T1, T3 și T4, dar nu și pentru T2, prin deplasarea particulară a punctelor de intersecție ale nullclinelor.
În rezumat, feedback-ul paradoxal T1 evită bistabilitatea ca răspuns la AA și este mai robust în provocarea unei secreții coordonate de hormoni după o perturbare a aminoacizilor: coordonarea este posibilă cu o restricție asupra ratei de producție a unuia dintre hormoni, în timp ce, sunt necesare mai multe constrângeri pentru a avea coordonare cu un sistem de feedback dublu negativ. Am evaluat, de asemenea, impactul unei mese cu aminoacizi, asupra nivelului de glucoză din sânge, utilizând ecuațiile (1) și (4) în plus față de (9 și 10). Am constatat că, atunci când ficatul este mai sensibil la glucagon în comparație cu insulina (parametrul ω > 1, Fig. 3e), topologiile T1, T2 și T5 sunt cele mai bune în ceea ce privește minimizarea efectului unui aport de aminoacizi asupra nivelurilor de glucoză din sânge, în termeni de abatere integrală, așa cum se arată în Fig. suplimentară S6.
.