Modelo matemático do circuito da ilhota
Para caracterizar o circuito subjacente ao controle da glicemia, derivamos um modelo matemático de 4 Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que levou em conta observações experimentais e hipóteses da literatura. Para simplificar, negligenciamos o efeito da Somatostatina, um hormônio secretado pelas células delta das ilhotas em resposta à secreção de insulina e que inibe a secreção tanto da insulina quanto do glucagon. O nosso modelo descreve a taxa de alterações da concentração das seguintes quantidades ao longo do tempo: glicose no sangue (), glucagon no sangue (), insulina no sangue () e insulina remota (), um fator intermediário que representa as concentrações de insulina no compartimento intersticial dos tecidos. é considerado para mediar o efeito retardado da repressão da insulina sobre a glicose no sangue28. Consideramos todas as combinações possíveis de interações negativas e positivas entre insulina e glucagon, produzindo nove submodelos diferentes (Fig. 1c).
As seguintes equações diferenciais ordinárias gerais descrevem a dinâmica de todos os circuitos endócrinos possíveis:
INPUT representa a absorção de glicose de uma refeição, DROP representa um aumento na absorção sistêmica de glicose no sangue, por exemplo, devido ao aumento do consumo muscular durante o exercício. (x)+ é 0 quando x ≤ 0 e x quando x > 0. No estado estacionário, na ausência de perturbação externa, INPUT = DROP = 0. Simulamos a resposta dinâmica dos circuitos endócrinos às perturbações externas alterando as variáveis INPUT e DROP (Fig. 1d,e). f(, ) representa a saída de glicose hepática (HGO) em função dos níveis de glicose no sangue de e 36,37. Consideramos a seguinte forma que consiste numa soma de dois termos Michelis Menten (MM):
GLG* e INS* representam os estados estáveis de glucagon e insulina a = 5 mM, e 0 ≤ ω ≤ 2 representa o peso relativo atribuído ao glucagon sobre a insulina ao afectar a resposta do fígado.
Para cada equação consideramos termos de degradação para glucagon, insulina e insulina remota (δg, δi, δRi respectivamente); δb representa a captação basal de glicose no sangue, predominantemente através do consumo cerebral e V representa a captação de glicose dependente de insulina27; α e μ representam as taxas de secreção basal de glucagon e insulina. Nós modelamos a secreção de insulina como uma função monotonicamente crescente dos níveis de glicose no sangue, K( – BG*)+, e a secreção de glucagon como uma função monotonicamente decrescente dos níveis de glicose no sangue Vr(BG* – )+ 38. As equações para insulina (3) e insulina remota (4) têm um “termo de transporte” comum (ε ( – )) representando difusão de insulina do sangue para o compartimento intersticial28.
Interações entre insulina e glucagon são expressas por duas funções genéricas Igg() e Gih(). Para simplificar, na análise seguinte, g() e h() serão lineares, mas os resultados permanecem válidos para funções não lineares(Informação Complementar). Nosso modelo também ignora os efeitos diretos da insulina no aumento do consumo de glicose hepática via glicogênese. Como nas não linearidades, os resultados abaixo permanecem válidos ao introduzir este processo adicional (Informação Suplementar). O modelo em Equações (1-5) tem 16 parâmetros livres, que reduzimos em seguida para 5 parâmetros (Ig, Gi, Vr, K, ω) usando estimativas diferentes da literatura (Tabela 1).
Critérios de desempenho
Consideramos três critérios diferentes de desempenho para os sistemas endócrinos estudados. O primeiro foi um erro positivo integral baixo, definido como:
onde representa o intervalo no qual a simulação é realizada.
Este critério representa a capacidade de um circuito evitar hiperglicemia após um passo de glicose (Fig. 1d). O segundo critério foi um valor alto para o nível mínimo de glicose em resposta ao aumento do consumo sistêmico de glicose, evitando assim grandes quedas hipoglicêmicas de glicose (Fig. 1e). O terceiro foi um baixo excesso quando a glicemia reverte de um estado hipoglicêmico (máximo após a queda, Fig. 1e).
Resposta às perturbações da glicose – análise local
Para entender a utilidade potencial do laço de feedback negativo paradoxal entre células alfa e beta, aplicamos em seguida uma estratégia que denominamos “análise local”. Estimulamos o sistema sem interação parácrina, T0 (Fig. 1c), com um passo positivo ou negativo de 30 minutos de INPUT e DROP (Fig. 2e,g). Escaneamos o espaço dos parâmetros tridimensionais de T0 (Vr, K, ω) e identificamos uma combinação que leva a um desempenho relativamente favorável em termos dos três critérios (os resultados a seguir são insensíveis aos parâmetros T0). Em seguida, modificamos sistematicamente as forças e direções das interações parácrinas Gi e Ig e avaliamos os efeitos nos critérios de desempenho do sistema (Fig. 2a-d).
Análise local revela características de todas as topologias de circuitos. São mostrados os estados estáveis de glicemia (a) erro positivo integral (b) nível mínimo após uma queda de glicose (c) e excesso máximo após a reversão de quedas de glicose (d). Para cada par de parâmetros (Ig, Gi), as respostas do sistema a 30 minutos de INPUT e DROP de glicose foram simuladas e pontuadas. O erro integral foi avaliado em um intervalo de tempo de 500 minutos. Os pontos brancos representam cada par de parâmetros representados em (e e e f); diferentes áreas são etiquetadas com a topologia correspondente. (e-f) Simulações de resposta da glicemia a um pulso positivo/negativo de 30 minutos: os estímulos externos são representados pela área sombreada cinza e a resposta dos sistemas T0, T1, T2, T3, T4 são representados respectivamente em azul, vermelho, verde, amarelo e púrpura. (g) Comparação entre topologias T0, T1, para o comportamento da glicemia (), glucagon (), insulina () e insulina remota (), após um aumento do consumo de glicose de 30 minutos (área sombreada cinza): na topologia T0 a insulina sobe com um atraso de 50 minutos. Em todas as análises, Vr = K = 10-5 e ω = 1.
Verificamos que as topologias de circuito T1, T2 e T5 foram melhores do que outras na minimização do erro positivo integral. Estes circuitos incluem a inibição da secreção glucagonal pela insulina, garantindo assim uma paragem eficiente da saída de glicose hepática aquando da alimentação. Assim, com um aumento dos níveis de glicose, os níveis de glucagon diminuiriam tanto diretamente pela glicose quanto indiretamente pelo aumento da secreção de insulina (Fig. 2b). As topologias T3, T4 e T7 se mostraram muito piores em termos de erro integral, pois incluíram a ativação indireta do glucágono pela insulina em paralelo à sua inibição direta pela glicose. Além disso, não conseguiram atingir o estado estável de 5 mM para uma ampla gama de parâmetros, como mostrado na Fig. 2a.
Ao considerarmos a resposta às gotas de glicose, verificamos que T1, T4 e T8 apresentaram um mínimo inferior, resultado da ativação paradoxal da secreção de insulina pelo glucagon (Fig. 2c). Notavelmente, no entanto, estas topologias deram origem a um excesso significativamente reduzido na reversão dos níveis de glicose para o seu estado estável, como evidenciado pelos níveis máximos mais baixos de glicose na reversão das gotas de glicose (Fig. 2d). Esta característica única de T1, T4 e T8 está relacionada com as escalas de tempo envolvidas. A equação (1) considera que os níveis de glicose no sangue são reduzidos sistemicamente através da ação da insulina à distância, porém, aumenta com um atraso em relação à insulina devido à sua difusão do sangue para os compartimentos intersticiais (Fig. 2g). Após a reversão dos níveis de glicose no sangue após uma queda hipoglicêmica de 30 minutos, se a secreção de insulina aumentar apenas quando os níveis excederem 5 mM, haverá um atraso de 50 minutos até que o nível necessário para reduzir os níveis (Fig. 2g). A ativação paradoxal da secreção de insulina pelo glucagon produz um aumento precoce, de modo que seus níveis sistêmicos são altos o suficiente uma vez que alcancem 5 mM para que os excessos adicionais sejam embotados (Fig. 2g).
Assim, T1, o circuito observado nas ilhotas, parece levar a um nível mínimo de glicose no sangue inferior ao de outras topologias, mas tem duas características atraentes em termos de homeostase de glicose – minimizar o erro positivo integral em resposta à entrada de glicose e embotar o excesso de glicose após a reversão da hipoglicemia. Demonstraremos a seguir que os subinsumos potencialmente perigosos associados a esta topologia podem ser minimizados pela modulação da função de entrada do fígado para insulina e glucagon.
Resposta às perturbações da glicose – análise global
Nossa análise local considerou o desempenho do sistema quando apenas a força biparacrina foi variada e todos os outros parâmetros permaneceram fixos. Para complementar esta análise, realizamos uma tela numérica imparcial39,40,41 por amostragem de parâmetros ao acaso a partir do espaço de parâmetros 5-dimensionais, composta de (Vr, K, ω, Ig, Gi) e pontuando as topologias resultantes (Fig. 3 e S2). Aqui novamente, constatamos que as topologias T1, T2 e T5 foram melhores para minimizar o erro positivo integral em resposta a uma entrada de glicose. Essa melhora no desempenho nasceu da inibição da secreção glucagonal tanto pela glicose quanto pela insulina (Fig. 3a). T1, T4 e T8, as topologias em que o glucagon ativa a insulina, levaram a menores níveis de glicose em resposta ao aumento do consumo de glicose (Fig. 3b), mas foram muito melhores em evitar excessos após a reversão para níveis normais (Fig. 3c). Resultados semelhantes são mostrados para o caso em que uma das interações parácrinas ou ambas são modeladas como não lineares (Suplemento Fig. S3) ou quando um termo para glicogênese é considerado em Eq. (1), Suplemento Fig. S4.
Análise global revela características de todas as topologias de circuitos. (a) Boxplots representam o erro positivo integral (a) nível mínimo após queda (b) e máximo sobreposição após queda (c) de todas as topologias de circuito. Para cada índice, a análise Kruskal-Wallis reporta pvalue < 0,001. (d) A subfoot do circuito T1 pode ser minimizada aumentando a sensibilidade do fígado ao glucagon. A área sombreada cinza representa o intervalo de ω para o qual o mínimo é maior que 3 mM. (e) A saída de glicose hepática em função do glucagon e insulina é mostrada dependendo do valor da sensibilidade do fígado ao glucagon (parâmetro ω). As simulações foram realizadas considerando a Equação (5) como função de entrada com os parâmetros relatados na Tabela 1. O gráfico no retângulo preto representa os dados obtidos a partir de37. GLG ∈ pM e INS ∈ pM. Os eixos GLG e INS são mostrados em escalas logarítmicas.
A função de entrada do fígado no glucagon e na insulina pode minimizar os excessos durante a hipoglicemia
A nossa análise indica que o estímulo paradoxal da secreção de insulina pelo glucagon minimiza os excessos nos níveis de glicemia após a reversão da hipoglicemia, mas tem uma vulnerabilidade notável – os níveis de glicose são acentuados (mínimo após as gotas, Figs 2 e 3). Como os eventos hipoglicêmicos de baixos níveis de glicose no sangue podem ameaçar a vida, examinamos se essa reversão poderia ser atenuada pela modulação dos efeitos combinados do glucagon e da insulina sobre a produção de glicose hepática. Verificamos que uma função de entrada f(, ) (Equação (5)) na qual o fígado é mais sensível ao glucagon comparado com a insulina (ω > 1) facilita um baixo overhoot, bem como um undershoot reduzido (Figs 3d e S5). Com tal função de entrada, a insulina é menos eficaz para desligar a saída de glicose hepática. Dados anteriores indicam que tal aumento da sensibilidade em que o glucagon “sobrepõe” o sinal de insulina é realmente observado37, Fig. 3e. Para avaliar o parâmetro ω que melhor descreve a função de entrada hepática previamente medida para insulina e glucagon, digitalizamos uma faixa de 0 ≤ ω ≤ 2 e calculamos o erro médio quadrático (MSE) entre as funções de entrada experimental e teórica, ambas maximizadas ao seu valor máximo. Obtivemos ωMSE = 1.3.
Resposta às refeições de proteína
Nossa análise anterior demonstrou que a inibição da secreção de glucagon pela insulina dá origem a uma diminuição do erro positivo integrado após uma refeição de glicose INPUT. Além disso, constatamos que a estimulação paradoxal da secreção de insulina pelo glucagon minimiza o excesso de níveis ao reverter de um passo hipoglicêmico, às custas de um mínimo menor após a queda que pode ser evitado pela função de entrada do fígado f(, ). Em seguida, consideramos possíveis vantagens adicionais da topologia paradoxal T1 sobre topologias alternativas mais intuitivas, como T2, em que insulina e glucagon reprimem mutuamente a secreção de seus hormônios cognatos. Para isso, analisamos a resposta do circuito às refeições proteicas.
Não semelhantes à glicose, os aminoácidos provocam uma potente secreção coordenada tanto de insulina como de glucagon. Esta coordenação deriva dos múltiplos papéis da insulina como hormônio anabolizante. A insulina é necessária não apenas para aumentar a absorção celular de glicose, mas também para aumentar a lipogênese em resposta ao consumo de lipídios e a produção de proteínas via translação em resposta ao consumo de aminoácidos42,43. De fato, a arginina é um secretógeno mais potente da insulina do que a glicose44. O aumento da secreção de insulina em resposta às refeições proteicas pode ter um impacto perigoso na homeostase de glicose no sangue, produzindo um aumento do consumo dependente de insulina e uma diminuição da HGO. Para neutralizar esta diminuição no nível de glicemia, o glucagon também é potentemente estimulado por aminoácidos (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 para assegurar um aumento do HGO face a essa captação de glicemia colateral (Fig. 4a).
Respostas a entradas de aminoácidos. (a) Os aminoácidos (AA) estimulam a secreção tanto da insulina como do glucagon. (b) Exemplo esquemático de comportamento coordenado de insulina (linha azul) e glucagon (linha tracejada verde) ao longo do tempo após uma etapa de estímulo amino-ácido (área sombreada de laranja). (c) Exemplo esquemático de comportamento descoordenado de insulina (linha azul) e glucagon (linha verde tracejada) ao longo do tempo após uma etapa de estímulo amino-ácido (área sombreada vermelha). (d) Esquemas de nulos para o circuito T4 com dupla interação positiva entre os dois hormônios, sem entrada AA (linhas contínuas) e com a entrada AA (linhas tracejadas): as interseções (pontos) representam estados estáveis (LL – HH). (e) Esquemas de nullclines para o circuito T2 com dupla interação negativa entre os dois hormônios, sem entrada AA (linhas contínuas) e com a entrada AA (linhas tracejadas); as interseções (pontos) representam estados estacionários (LH – HL). Após o estímulo AA, as linhas nulas mudam e ambos os estados estacionários diminuem (pontos vermelhos). (f) Esquemas de nullclines para um feedback negativo entre os hormônios (linhas contínuas); a intersecção (ponto) representa um único estado estacionário; após o estímulo AA, o deslocamento de nullclines (linhas tracejadas) e ambos os hormônios aumentam (HH).
Para avaliar o potencial dos diferentes circuitos de ilhotas para co-secreção tanto da insulina quanto do glucagon, examinamos os níveis de estado estacionário de insulina e glucagon em resposta a uma ingestão de aminoácidos (AA). Utilizamos as Equações (2 e 3), mas ao invés de uma estimulação glicêmica, adicionamos os termos constantes IAAg e IAAi descrevendo o estímulo de aminoácidos na secreção de insulina e glucagon (Fig. 4a):
where, e são as duas hormonas, α e μ são as taxas de produção basal dos dois hormônios, IAAg = IAAg(AA) e IAAi = IAAi(AA) são as taxas de produção geradas pela entrada de aminoácidos, δg e δi as taxas de degradação e Igg() e Gih() são duas funções gerais, representando as ações de um hormônio sobre o outro: no caso duplo positivo T4 tanto g() como h() estão aumentando, no caso duplo negativo T2, ambas estão diminuindo, enquanto nos casos mistos T1 e T3 uma está diminuindo e a outra está aumentando.
Para comparar o desempenho dos diferentes sistemas, consideramos as restrições no IAAg, IAAi que garantiriam que os estados estáveis de ambos os hormônios aumentassem sobre uma entrada (IAAg, IAAi > 0), ver Métodos.
Verificamos que os circuitos de feedback negativo T1 e T3 envolvendo insulina e glucagon requerem uma restrição apenas em um dos dois pulsos, enquanto o circuito duplo negativo T2 requer restrições em ambas as funções de entrada IAAg, IAAi.
Para simplificar, consideramos uma interação linear (h(GLG]) e uma não linear (g), os resultados abaixo só são válidos quando pelo menos uma interação é não linear). Em particular:
em caso de ativação, ou
em caso de inibição, com n > 2 e K > 0 e h() = Gi.
Figure 4d,e mostra as nullclines para o duplo positivo e o duplo negativo respectivamente: no caso do duplo positivo, a biestabilidade é caracterizada por dois pontos de equilíbrio, um em que ambos os estados estacionários são altos (HH), e um segundo, em que ambos os estados estacionários são baixos (LL, Fig. 4d); no circuito duplo negativo T2, a biestabilidade é caracterizada por dois pontos de equilíbrio, um em que um hormônio está em estado estacionário alto e outro em estado estacionário baixo (HL, LH), dando origem a um comportamento de comutação ou “inibição mútua” Fig. 4e52,53,54,55. No caso de um loop de feedback negativo composto por uma interação negativa e uma positiva (T1, T3), não há biestabilidade. Neste caso, as nulidades têm apenas uma intersecção, ou seja, um comportamento monoestável. Assim, um feedback negativo evita completamente comportamentos biestáveis e em particular estados opostos dos hormônios.
O modelo simplificado considerado acima também demonstra um exemplo de como uma ingestão de AA pode levar a uma maior secreção coordenada de insulina e glucagon para T1, T3 e T4, mas não T2 através do deslocamento particular nos pontos de intersecção das nulclinas.
Em resumo, o feedback paradoxal T1 evita a biestabilidade em resposta a AA, e é mais robusto em eliciar uma secreção coordenada de hormônios após uma perturbação de aminoácidos: a coordenação é possível com uma restrição na taxa de produção de um dos hormônios, enquanto, mais contrações são necessárias para ter coordenação com um duplo sistema de feedback negativo. Também avaliamos o impacto de uma refeição de aminoácidos, nos níveis de glicose no sangue, usando as Equações (1) e (4), além de (9 e 10). Verificamos que quando o fígado é mais sensível ao glucagon em relação à insulina (parâmetro ω > 1, Fig. 3e) as topologias T1, T2 e T5 são as melhores para minimizar o efeito de uma entrada de aminoácidos nos níveis de glicose no sangue em termos de desvio integral, como mostrado na Fig. Suplementar S6.