Matematyczny model obwodu wysepek
Aby scharakteryzować obwód leżący u podstaw kontroli stężenia glukozy we krwi, wyprowadziliśmy model matematyczny składający się z 4 równań różniczkowych zwyczajnych (ODE), który uwzględniał obserwacje eksperymentalne i hipotezy z literatury. Dla uproszczenia pominęliśmy wpływ somatostatyny, hormonu wydzielanego przez komórki delta wysepek w odpowiedzi na wydzielanie insuliny, który hamuje wydzielanie zarówno insuliny, jak i glukagonu. Nasz model opisuje szybkość zmian stężenia następujących wielkości w czasie: glukozy we krwi (), glukagonu we krwi (), insuliny we krwi () i insuliny odległej (), czynnika pośredniego reprezentującego stężenie insuliny w przedziale tkanki śródmiąższowej. uważa się, że pośredniczy w opóźnionym efekcie represji insuliny na stężenie glukozy we krwi28. Rozważaliśmy wszystkie możliwe kombinacje negatywnych i pozytywnych interakcji między insuliną i glukagonem, uzyskując dziewięć różnych submodeli (ryc. 1c).
Następujące ogólne równania różniczkowe zwyczajne opisują dynamikę wszystkich możliwych obwodów endokrynnych:
INPUT reprezentuje pobór glukozy z posiłku, DROP reprezentuje wzrost systemowego poboru glukozy z krwi, na przykład z powodu zwiększonego zużycia mięśni podczas ćwiczeń. (x)+ wynosi 0, gdy x ≤ 0 i x, gdy x > 0. W stanie ustalonym, przy braku zewnętrznych perturbacji, INPUT = DROP = 0. Symulowaliśmy dynamiczną odpowiedź obwodów endokrynnych na zewnętrzne perturbacje, zmieniając zmienne INPUT i DROP (ryc. 1d,e). f(, ) przedstawia wątrobowy wychwyt glukozy (HGO) jako funkcję poziomów glukozy we krwi i 36,37. Rozważaliśmy następującą postać składającą się z sumy dwóch terminów Michelisa Mentena (MM):
GLG* i INS* reprezentują stany stacjonarne glukagonu i insuliny przy = 5 mM, a 0 ≤ ω ≤ 2 przedstawia względną wagę przypisywaną glukagonowi w stosunku do insuliny we wpływie na odpowiedź wątroby.
Dla każdego równania uwzględniliśmy warunki degradacji dla glukagonu, insuliny i odległej insuliny (odpowiednio δg, δi, δRi); δb reprezentuje podstawowy pobór glukozy z krwi, głównie poprzez zużycie przez mózg, a V reprezentuje pobór glukozy zależny od insuliny27; α i μ reprezentują podstawowe wskaźniki wydzielania glukagonu i insuliny. Wydzielanie insuliny modelowaliśmy jako monotonicznie rosnącą funkcję poziomu glukozy we krwi, K( – BG*)+, a wydzielanie glukagonu jako monotonicznie malejącą funkcję poziomu glukozy we krwi Vr(BG* – )+ 38. Równania dla insuliny (3) i insuliny zdalnej (4) mają wspólny „człon transportowy” (ε ( – )) reprezentujący dyfuzję insuliny z krwi do przedziału śródmiąższowego28.
Interakcje między insuliną i glukagonem są wyrażone przez dwie ogólne funkcje Igg() i Gih(). Dla uproszczenia, w poniższej analizie, g() i h() będą liniowe, ale wyniki pozostają ważne dla funkcji nieliniowych (Supplementary Information). Nasz model pomija również bezpośredni wpływ insuliny we krwi na zwiększenie zużycia glukozy w wątrobie poprzez glikogenezę. Podobnie jak w przypadku nieliniowości, poniższe wyniki pozostają ważne po wprowadzeniu tego dodatkowego procesu (Supplementary Information). Model w równaniach (1-5) ma 16 wolnych parametrów, które następnie zredukowaliśmy do 5 parametrów (Ig, Gi, Vr, K, ω), stosując różne oszacowania z literatury (Tabela 1).
Kryteria wykonania
Rozważaliśmy trzy różne kryteria wykonania dla badanych układów endokrynnych. Pierwszym z nich był niski błąd dodatni całki, zdefiniowany jako:
gdzie reprezentuje przedział czasu, w którym przeprowadzana jest symulacja.
Kryterium to reprezentuje zdolność układu do unikania hiperglikemii po kroku glukozowym (ryc. 1d). Drugim kryterium była wysoka wartość minimalnego poziomu glukozy w odpowiedzi na zwiększone ogólnoustrojowe zużycie glukozy, co pozwala uniknąć dużych hipoglikemicznych spadków glukozy (ryc. 1e). Trzecim było niskie przekroczenie, gdy glukoza we krwi powraca ze stanu hipoglikemii (Maximum after drop, Ryc. 1e).
Response to glucose perturbations – local analysis
Aby zrozumieć potencjalną użyteczność paradoksalnej pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego między komórkami alfa i beta, zastosowaliśmy następnie strategię, którą określamy mianem „analizy lokalnej”. Stymulowaliśmy system bez interakcji parakrynnej, T0 (Rys. 1c), dodatnim lub ujemnym 30-minutowym krokiem INPUT i DROP (Rys. 2e,g). Przeskanowaliśmy trójwymiarową przestrzeń parametrów T0 (Vr, K, ω) i zidentyfikowaliśmy kombinację, która prowadzi do względnie korzystnej wydajności pod względem trzech kryteriów (poniższe wyniki są niewrażliwe na parametry T0). Następnie systematycznie modyfikowaliśmy siłę i kierunki oddziaływań parakrynnych Gi i Ig i ocenialiśmy wpływ na kryteria wydajności układu (Rys. 2a-d).
Analiza lokalna ujawnia cechy wszystkich topologii układu. Pokazane są stany stacjonarne stężenia glukozy we krwi (a) błąd całkowy dodatni (b) minimalny poziom po spadku glukozy (c) i maksymalne przekroczenie po odwróceniu się od spadku glukozy (d). Dla każdej pary parametrów (Ig, Gi) symulowano i oceniano odpowiedzi systemu na 30-minutowe wejście glukozy (INPUT) i 30-minutowy spadek glukozy (DROP). Błąd całkowania oceniono dla 500-minutowego przedziału czasowego. Białe kropki reprezentują każdą parę parametrów przedstawionych w (e i f); różne obszary są oznaczone odpowiednią topologią. (e-f) Symulacje odpowiedzi stężenia glukozy we krwi na 30-minutowy impuls dodatni/ujemny: bodźce zewnętrzne są reprezentowane przez szary zacieniony obszar, a odpowiedzi układów T0, T1, T2, T3, T4 są reprezentowane odpowiednio w kolorach niebieskim, czerwonym, zielonym, żółtym i fioletowym. (g) Porównanie topologii T0, T1 dla zachowania się glukozy we krwi (), glukagonu (), insuliny () i zdalnej insuliny (), po zwiększonym spożyciu glukozy przez 30 minut (szary zacieniony obszar): w topologii T0 insulina narasta z opóźnieniem 50 minut. We wszystkich analizach, Vr = K = 10-5 i ω = 1.
Stwierdziliśmy, że topologie obwodów T1, T2 i T5 były lepsze od innych w minimalizowaniu błędu całki dodatniej. Obwody te obejmują hamowanie wydzielania glukagonu przez insulinę, zapewniając w ten sposób skuteczne wyłączenie wątrobowej produkcji glukozy po karmieniu. W ten sposób, przy wzroście poziomu glukozy, poziom glukagonu zmniejszałby się zarówno bezpośrednio przez glukozę, jak i pośrednio przez wzrost wydzielania insuliny (ryc. 2b). Topologie T3, T4 i T7 wypadły znacznie gorzej pod względem błędu całkowania, ponieważ uwzględniały pośrednią aktywację glukagonu przez insulinę równolegle do jego bezpośredniego hamowania przez glukozę. Co więcej, nie mogły one osiągnąć stanu ustalonego 5 mM dla szerokiego zakresu parametrów, jak pokazano na ryc. 2a.
Rozpatrując odpowiedź na spadek glukozy, stwierdziliśmy, że T1, T4 i T8 wykazywały niższe minimum, co było wynikiem paradoksalnej aktywacji wydzielania insuliny przez glukagon (ryc. 2c). Jednak, co istotne, te topologie spowodowały znacznie mniejszy overshoot po odwróceniu poziomów glukozy do stanu ustalonego, co jest widoczne w niższych maksymalnych poziomach glukozy po odwróceniu spadków glukozy (ryc. 2d). Ta unikalna cecha T1, T4 i T8 jest związana z zaangażowanymi skalami czasowymi. W równaniu (1) przyjęto, że stężenie glukozy we krwi jest obniżane systemowo przez działanie odległej insuliny, która jednak wzrasta z opóźnieniem w stosunku do insuliny ze względu na jej dyfuzję z krwi do kompartmentu śródmiąższowego (ryc. 2g). Po odwróceniu stężenia glukozy we krwi po 30-minutowym spadku hipoglikemii, gdyby wydzielanie insuliny zwiększało się tylko wtedy, gdy jej stężenie przekroczy 5 mM, wystąpiłoby 50-minutowe opóźnienie, aż do osiągnięcia wymaganego poziomu niezbędnego do obniżenia stężenia glukozy (ryc. 2g). Paradoksalna aktywacja wydzielania insuliny przez glukagon powoduje wczesny wzrost , tak że jej systemowe poziomy są wystarczająco wysokie po osiągnięciu 5 mM, aby stępić dodatkowe przekroczenia (ryc. 2g).Zdolność systemu do przeciwdziałania przekroczeniu po odwróceniu spadków poziomu glukozy we krwi jest ważna dla szerokiego zakresu wartości opóźnienia, Supplementary Fig. S1.
Tak więc, T1, układ obserwowany w wysepkach, wydaje się prowadzić do niższego minimalnego poziomu glukozy we krwi w porównaniu z innymi topologiami, ale ma dwie atrakcyjne cechy pod względem homeostazy glukozy – minimalizując integralny błąd dodatni w odpowiedzi na wejście glukozy i stępiając overshoot poziomu glukozy po odwróceniu hipoglikemii. Poniżej zademonstrujemy, że potencjalnie niebezpieczne niedoczynności związane z tą topologią mogą być zminimalizowane przez modulację funkcji wejścia wątroby do insuliny i glukagonu.
Response to glucose perturbations – global analysis
W naszej lokalnej analizie rozważaliśmy działanie systemu, gdy tylko siła dwóch parakryn była zmienna, a wszystkie inne parametry pozostawały stałe. Aby uzupełnić tę analizę, przeprowadziliśmy bezstronne badanie numeryczne39,40,41 polegające na losowym doborze parametrów z 5-wymiarowej przestrzeni parametrów, składającej się z (Vr, K, ω, Ig, Gi) i ocenianiu powstałych topologii (Rys. 3 i S2). Tutaj ponownie stwierdziliśmy, że topologie T1, T2 i T5 były lepsze w minimalizowaniu integralnego błędu dodatniego w odpowiedzi na wejście glukozy. Ta lepsza wydajność wynikała z hamowania wydzielania glukagonu zarówno przez glukozę, jak i insulinę (ryc. 3a). T1, T4 i T8, topologie, w których glukagon aktywuje insulinę, prowadziły do niższych poziomów glukozy w odpowiedzi na zwiększone spożycie glukozy (ryc. 3b), ale były znacznie lepsze w unikaniu overshoots po powrocie do normalnych poziomów (ryc. 3c). Podobne wyniki pokazano dla przypadku, w którym jedna z interakcji parakrynnych lub obie są modelowane jako nieliniowe (Supplementary Fig. S3) lub gdy termin dla glikogenezy jest brany pod uwagę w Eq. (1), Supplementary Fig. S4.
Analiza globalna ujawnia cechy wszystkich topologii obwodu. (a) Boxploty przedstawiają integralny błąd dodatni (a) minimalny poziom po spadku (b) i maksymalne przekroczenie po spadku (c) wszystkich topologii obwodów. Dla każdego wskaźnika, analiza Kruskala-Wallisa wykazuje pvalue < 0.001. (d) Undershoot obwodu T1 może być zminimalizowany przez zwiększenie wrażliwości wątroby na glukagon. Szary zacieniony obszar reprezentuje zakres ω, dla którego minimum jest wyższe niż 3 mM. (e) Wątrobowy wyrzut glukozy jako funkcja glukagonu i insuliny jest pokazany w zależności od wartości wrażliwości wątroby na glukagon (parametr ω). Symulacje przeprowadzono uwzględniając równanie (5) jako funkcję wejściową z parametrami podanymi w tabeli 1. Wykres w czarnym prostokącie przedstawia dane uzyskane z37. GLG ∈ pM i INS ∈ pM. Oś GLG i INS przedstawiono w skalach logarytmicznych.
Funkcja wejściowa wątroby do glukagonu i insuliny może minimalizować niedoczynność podczas hipoglikemii
Nasza analiza wskazuje, że paradoksalna stymulacja wydzielania insuliny przez glukagon minimalizuje niedoczynność stężenia glukozy we krwi po odwróceniu hipoglikemii, ale ma godną uwagi słabość – spadki stężenia glukozy są zaakcentowane (niskie minimum po spadkach, ryc. 2 i 3). Ponieważ hipoglikemie związane z niskim poziomem glukozy we krwi mogą stanowić zagrożenie dla życia, sprawdziliśmy, czy ten kompromis można złagodzić poprzez modulację łącznego wpływu glukagonu i insuliny na wątrobowy wyrzut glukozy. Stwierdziliśmy, że funkcja wejściowa f(, ) (równanie (5)), w której wątroba jest bardziej wrażliwa na glukagon w porównaniu z insuliną (ω > 1), ułatwia niski overshoot, jak również zmniejszone undershoot (ryc. 3d i S5). Przy takiej funkcji wejściowej insulina jest mniej skuteczna w zamykaniu wątrobowego wyjścia glukozy. Wcześniejsze dane wskazują, że taka zwiększona wrażliwość, w której glukagon „nadpisuje” sygnał z insuliny, jest rzeczywiście obserwowana37, ryc. 3e. Aby ocenić parametr ω, który najlepiej opisuje wcześniej zmierzoną funkcję wejściową wątroby do insuliny i glukagonu, przeskanowaliśmy zakres 0 ≤ ω ≤ 2 i obliczyliśmy średni błąd kwadratowy (MSE) między eksperymentalnymi i teoretycznymi funkcjami wejściowymi, oba zmaksymalizowane do ich maksymalnej wartości. Otrzymaliśmy ωMSE = 1,3.
Reakcja na posiłki białkowe
Nasza poprzednia analiza wykazała, że hamowanie wydzielania glukagonu przez insulinę powoduje zmniejszenie zintegrowanego błędu dodatniego po posiłku INPUT glukozy. Ponadto stwierdziliśmy, że paradoksalna stymulacja wydzielania insuliny przez glukagon minimalizuje przekroczenie poziomu podczas powrotu z etapu hipoglikemii, kosztem niższego minimum po spadku, któremu może zapobiec funkcja wejścia wątroby f(, ). Następnie rozważaliśmy dodatkowe możliwe zalety paradoksalnej topologii T1 w porównaniu z alternatywnymi, bardziej intuicyjnymi topologiami, takimi jak T2, w których insulina i glukagon wzajemnie hamują wydzielanie swoich hormonów. W tym celu przeanalizowaliśmy odpowiedź obwodu na posiłki białkowe.
W przeciwieństwie do glukozy, aminokwasy wywołują silną skoordynowaną sekrecję zarówno insuliny, jak i glukagonu. Koordynacja ta wynika z wielu ról insuliny jako hormonu anabolicznego. Insulina jest wymagana nie tylko do zwiększenia komórkowego wychwytu glukozy, ale także do zwiększenia lipogenezy w odpowiedzi na spożycie lipidów i produkcji białka poprzez translację w odpowiedzi na spożycie aminokwasów42,43. Rzeczywiście, arginina jest silniejszym sekretagogiem insuliny niż glukoza44. Zwiększone wydzielanie insuliny w odpowiedzi na posiłki białkowe może mieć niebezpieczny wpływ na homeostazę glukozy we krwi, powodując zależny od insuliny wzrost spożycia i spadek HGO. Aby przeciwdziałać temu spadkowi stężenia glukozy we krwi, glukagon jest również silnie stymulowany przez aminokwasy (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 w celu zapewnienia zwiększonego HGO w obliczu takiego bocznego wychwytu glukozy we krwi (Ryc. 4a).
Reakcje obwodu na wejście aminokwasów. (a) Aminokwasy (AA) stymulują wydzielanie zarówno insuliny, jak i glukagonu. (b) Schematyczny przykład skoordynowanego zachowania insuliny (niebieska linia) i glukagonu (zielona przerywana linia) w czasie po skokowej stymulacji aminokwasami (pomarańczowy zacieniony obszar). (c) Schematyczny przykład nieskoordynowanego zachowania insuliny (niebieska linia) i glukagonu (zielona przerywana linia) w czasie po skokowym bodźcu aminokwasowym (czerwony zacieniony obszar). (d) Schematy linii zerowych dla układu T4 z podwójną pozytywną interakcją pomiędzy dwoma hormonami, bez wejścia AA (linie ciągłe) i z wejściem AA (linie przerywane): przecięcia (kropki) reprezentują stany ustalone (LL – HH). (e) Schematy linii zerowych dla układu T2 z podwójną negatywną interakcją pomiędzy dwoma hormonami, bez wejścia AA (linie ciągłe) i z wejściem AA (linie przerywane); przecięcia (kropki) reprezentują stany ustalone (LH – HL). Po stymulacji AA, nullkliny przesuwają się i oba stany stacjonarne zmniejszają się (czerwone kropki). (f) Schematyczne nullkliny dla ujemnego sprzężenia zwrotnego między hormonami (linie ciągłe); przecięcie (kropka) reprezentuje pojedynczy stan ustalony; po bodźcu AA, nullkliny przesuwają się (linie przerywane) i oba hormony wzrastają (HH).
Aby ocenić potencjał różnych obwodów wysepek do współwydzielania zarówno insuliny jak i glukagonu, zbadaliśmy poziomy stanu ustalonego insuliny i glukagonu w odpowiedzi na spożycie aminokwasów (AA). Zastosowaliśmy równania (2 i 3), ale zamiast stymulacji glukozą dodaliśmy stałe warunki IAAg i IAAi opisujące bodziec aminokwasowy na wydzielanie insuliny i glukagonu (ryc. 4a). 4a):
gdzie, i są dwoma hormonami, α i μ to podstawowe wskaźniki produkcji dla dwóch hormonów, IAAg = IAAg(AA) i IAAi = IAAi(AA) to wskaźniki produkcji generowane przez wejście aminokwasów, δg i δi to wskaźniki degradacji, a Igg() i Gih() to dwie ogólne funkcje, reprezentujące działanie jednego hormonu na drugi: w podwójnie dodatnim przypadku T4 zarówno g(), jak i h() są rosnące, w podwójnie ujemnym przypadku T2 oba są malejące, natomiast w mieszanych przypadkach T1 i T3 jeden jest malejący, a drugi rosnący.
W celu porównania wydajności różnych systemów, rozważaliśmy ograniczenia na IAAg, IAAi, które zapewniłyby, że stany ustalone obu hormonów rosną na wejściu (IAAg, IAAi > 0), patrz Metody.
Stwierdziliśmy, że obwody ujemnego sprzężenia zwrotnego T1 i T3 z udziałem insuliny i glukagonu wymagają ograniczenia tylko na jeden z dwóch impulsów, podczas gdy obwód podwójnie ujemny T2 wymaga ograniczeń na obie funkcje wejściowe IAAg, IAAi.
Dla uproszczenia rozważamy jedno oddziaływanie liniowe (h(GLG]) i jedno nieliniowe (g), poniższe wyniki są ważne tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno oddziaływanie jest nieliniowe). W szczególności:
w przypadku aktywacji, lub
w przypadku hamowania, z n > 2 i K > 0 oraz h() = Gi.
Rysunek 4d,e przedstawia linie zerowe odpowiednio dla przypadków podwójnie dodatnich i podwójnie ujemnych: w przypadku podwójnie dodatnim bistabilność charakteryzuje się dwoma punktami równowagi, jednym, w którym oba stany stacjonarne są wysokie (HH), i drugim, w którym oba stany stacjonarne są niskie (LL, Rys. 4d); w podwójnym ujemnym obwodzie T2, bistabilność charakteryzuje się dwoma punktami równowagi, w których jeden hormon jest w wysokim stanie ustalonym, a drugi w niskim stanie ustalonym (HL, LH), dając początek przełącznikowi lub zachowaniu „wzajemnego hamowania” Rys. 4e52,53,54,55. W przypadku pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego składającej się z jednego ujemnego i jednego dodatniego oddziaływania (T1, T3) nie występuje bistabilność. Raczej, w tym przypadku, linie zerowe mają tylko jedno przecięcie, tj. zachowanie monostabilne. Tak więc, ujemne sprzężenie zwrotne całkowicie unika bistabilne zachowania i w szczególności przeciwnych stanów hormonów.
Uproszczony model rozważany powyżej pokazuje również przykład, jak spożycie AA może prowadzić do skoordynowanego wyższego wydzielania zarówno insuliny i glukagonu dla T1, T3 i T4, ale nie T2 poprzez szczególne przesunięcie w punktach przecięcia nullclines.
Podsumowując, paradoksalne sprzężenie zwrotne T1 unika bistabilność w odpowiedzi na AA, i jest bardziej wytrzymały w wywoływaniu skoordynowanego wydzielania hormonów po perturbacji aminokwasów: koordynacja jest możliwe z ograniczeniem na szybkość produkcji jednego z hormonów, podczas gdy, więcej ograniczeń są potrzebne, aby mieć koordynację z podwójnym ujemnego systemu sprzężenia zwrotnego. Oceniliśmy również wpływ posiłku aminokwasowego, na poziom glukozy we krwi, stosując równania (1) i (4) w uzupełnieniu do (9 i 10). Stwierdziliśmy, że gdy wątroba jest bardziej wrażliwa na glukagon w porównaniu do insuliny (parametr ω > 1, Rys. 3e) topologie T1, T2 i T5 są najlepsze w minimalizowaniu wpływu posiłku aminokwasowego na poziom glukozy we krwi pod względem odchylenia całkowego, jak pokazano na Supplementary Fig. S6.