Modèle mathématique du circuit des îlots
Pour caractériser le circuit qui sous-tend le contrôle de la glycémie, nous avons dérivé un modèle mathématique de 4 équations différentielles ordinaires (EDO) qui tient compte des observations expérimentales et des hypothèses de la littérature. Pour des raisons de simplicité, nous avons négligé l’effet de la Somatostatine, une hormone sécrétée par les cellules delta des îlots de Langerhans en réponse à la sécrétion d’insuline et qui inhibe à la fois la sécrétion d’insuline et de glucagon. Notre modèle décrit le taux de variation de la concentration des quantités suivantes au cours du temps : Glycémie (), glucagon sanguin (), insuline sanguine () et insuline à distance (), un facteur intermédiaire représentant les concentrations d’insuline dans le compartiment tissulaire interstitiel. est considéré comme le médiateur de l’effet retardé de la répression de l’insuline sur la glycémie28. Nous avons considéré toutes les combinaisons possibles d’interactions négatives et positives entre l’insuline et le glucagon, ce qui a donné neuf sous-modèles différents (Fig. 1c).
Les équations différentielles ordinaires générales suivantes décrivent la dynamique de tous les circuits endocriniens possibles:
INPUT représente l’absorption de glucose à partir d’un repas, DROP représente une augmentation de l’absorption systémique de glucose dans le sang, par exemple en raison d’une consommation musculaire accrue pendant l’exercice. (x)+ vaut 0 lorsque x ≤ 0 et x lorsque x > 0. A l’état d’équilibre, en l’absence de perturbation externe, INPUT = DROP = 0. Nous avons simulé la réponse dynamique des circuits endocriniens à des perturbations externes en changeant les variables INPUT et DROP (Fig. 1d,e). f(, ) représente le débit de glucose hépatique (HGO) en fonction de la glycémie de et 36,37. Nous avons considéré la forme suivante constituée d’une somme de deux termes de Michelis Menten (MM) :
GLG* et INS* représentent les états d’équilibre du glucagon et de l’insuline à = 5 mM, et 0 ≤ ω ≤ 2 représente le poids relatif attribué au glucagon par rapport à l’insuline pour affecter la réponse du foie.
Pour chaque équation, nous avons considéré des termes de dégradation pour le glucagon, l’insuline et l’insuline à distance (δg, δi, δRi respectivement) ; δb représente l’absorption basale de glucose sanguin, principalement par la consommation cérébrale et V représente l’absorption de glucose insulinodépendante27 ; α et μ représentent les taux de sécrétion basale de glucagon et d’insuline. Nous avons modélisé la sécrétion d’insuline comme une fonction monotone croissante de la glycémie, K( – BG*)+, et la sécrétion de glucagon comme une fonction monotone décroissante de la glycémie Vr(BG* – )+ 38. Les équations de l’insuline (3) et de l’insuline à distance (4) ont un « terme de transport » commun (ε ( – )) représentant la diffusion de l’insuline du sang vers le compartiment interstitiel28.
Les interactions entre l’insuline et le glucagon sont exprimées par deux fonctions génériques Igg() et Gih(). Pour des raisons de simplicité, dans l’analyse suivante, g() et h() seront linéaires, mais les résultats restent valables pour des fonctions non linéaires(Supplementary Information). Notre modèle ignore également les effets directs de l’insuline sanguine sur l’augmentation de la consommation hépatique de glucose via la glycogenèse. Comme pour les fonctions non linéaires, les résultats ci-dessous restent valables lorsqu’on introduit ce processus supplémentaire (Informations supplémentaires). Le modèle des équations (1-5) a 16 paramètres libres, que nous avons ensuite réduits à 5 paramètres (Ig, Gi, Vr, K, ω) en utilisant différentes estimations de la littérature (Tableau 1).
Critères de performance
Nous avons considéré trois critères de performance différents pour les systèmes endocriniens étudiés. Le premier était une erreur positive intégrale faible, définie comme:
où représente l’intervalle dans lequel la simulation est effectuée.
Ce critère représente la capacité d’un circuit à éviter l’hyperglycémie après un palier de glucose (figure 1d). Le deuxième critère était une valeur élevée pour le niveau minimum de glucose en réponse à une augmentation de la consommation systémique de glucose, évitant ainsi de grandes chutes hypoglycémiques de glucose (Fig. 1e). Le troisième était un faible dépassement lorsque la glycémie revient d’un état hypoglycémique (Maximum après la chute, Fig. 1e).
Réponse aux perturbations du glucose – analyse locale
Pour comprendre l’utilité potentielle de la boucle de rétroaction négative paradoxale entre les cellules alpha et bêta, nous avons ensuite appliqué une stratégie que nous appelons « analyse locale ». Nous avons stimulé le système sans interaction paracrine, T0 (Fig. 1c), avec un pas positif ou négatif de 30 minutes d’INPUT et DROP (Fig. 2e,g). Nous avons balayé l’espace tridimensionnel des paramètres de T0 (Vr, K, ω) et identifié une combinaison qui conduit à une performance relativement favorable au regard des trois critères (les résultats suivants sont insensibles aux paramètres de T0). Ensuite, nous avons systématiquement modifié les forces et les directions des interactions paracrines Gi et Ig et évalué les effets sur les critères de performance du système (Fig. 2a-d).
L’analyse locale révèle les caractéristiques de toutes les topologies de circuit. Sont représentés les états stables de la glycémie (a) erreur positive intégrale (b) niveau minimum après une chute de glucose (c) et dépassement maximum après réversion des chutes de glucose (d). Pour chaque paire de paramètres (Ig, Gi), les réponses du système à 30 minutes d’entrée de glucose et à 30 minutes de chute de glucose ont été simulées et notées. L’erreur intégrale a été évaluée sur un intervalle de temps de 500 minutes. Les points blancs représentent chaque paire de paramètres représentée dans (e et f) ; les différentes zones sont étiquetées avec la topologie correspondante. (e-f) Simulations de la réponse de la glycémie à une impulsion positive/négative de 30 minutes : les stimuli externes sont représentés par la zone grisée et la réponse des systèmes T0, T1, T2, T3, T4 sont représentés respectivement en bleu, rouge, vert, jaune et violet. (g) Comparaison entre les topologies T0, T1, pour le comportement de la glycémie (), du glucagon (), de l’insuline () et de l’insuline à distance (), après une consommation accrue de glucose pendant 30 minutes (zone grisée) : dans la topologie T0, l’insuline augmente avec un retard de 50 minutes. Dans toutes les analyses, Vr = K = 10-5 et ω = 1.
Nous avons constaté que les topologies de circuit T1, T2 et T5 étaient meilleures que les autres pour minimiser l’erreur positive intégrale. Ces circuits comprennent l’inhibition de la sécrétion de glucagon par l’insuline, assurant ainsi un arrêt efficace de la production hépatique de glucose lors de l’alimentation. Ainsi, lors d’une augmentation des niveaux de glucose, les niveaux de glucagon diminueraient à la fois directement par le glucose et indirectement par l’augmentation de la sécrétion d’insuline (Fig. 2b). Les topologies T3, T4 et T7 ont donné de bien moins bons résultats en termes d’erreur intégrale car elles incluaient une activation indirecte du glucagon par l’insuline parallèlement à son inhibition directe par le glucose. De plus, elles n’ont pas pu atteindre l’état d’équilibre à 5 mM pour une large gamme de paramètres, comme le montre la Fig. 2a.
Lorsque l’on considère la réponse aux chutes de glucose, nous avons constaté que T1, T4 et T8 affichaient un minimum plus faible, résultat de l’activation paradoxale de la sécrétion d’insuline par le glucagon (Fig. 2c). Cependant, il est à noter que ces topologies ont donné lieu à un dépassement considérablement réduit lors de la réversion des niveaux de glucose à l’état d’équilibre, comme le montrent les niveaux de glucose maximaux plus faibles lors de la réversion des gouttes de glucose (Fig. 2d). Cette caractéristique unique de T1, T4 et T8 est liée aux échelles de temps impliquées. L’équation (1) considère que les niveaux de glucose sanguin sont réduits de manière systémique par l’action de l’insuline à distance, . Cependant, la glycémie augmente avec un retard par rapport à l’insuline en raison de sa diffusion du sang vers les compartiments interstitiels (Fig. 2g). Lors de la réversion de la glycémie après une chute hypoglycémique de 30 minutes, si la sécrétion d’insuline n’augmentait que lorsque les niveaux dépassent 5 mM, il y aurait un délai de 50 minutes avant que la sécrétion n’atteigne le niveau nécessaire pour réduire les niveaux (Fig. 2g). L’activation paradoxale de la sécrétion d’insuline par le glucagon produit une augmentation précoce de , de sorte que ses niveaux systémiques sont suffisamment élevés une fois qu’il atteint 5 mM pour neutraliser les dépassements supplémentaires (Fig. 2g).La capacité du système à contrecarrer un dépassement après la réversion des baisses de la glycémie est valable pour une large gamme de valeurs de retard, figure supplémentaire S1.
Donc, T1, le circuit observé dans les îlots, semble conduire à une glycémie minimale plus faible par rapport aux autres topologies mais présente deux caractéristiques intéressantes en termes d’homéostasie du glucose – minimiser l’erreur positive intégrale en réponse à l’entrée de glucose et émousser le dépassement des niveaux de glucose après réversion de l’hypoglycémie. Nous démontrerons ci-dessous que les undershoots potentiellement dangereux associés à cette topologie peuvent être minimisés en modulant la fonction d’entrée du foie à l’insuline et au glucagon.
Réponse aux perturbations du glucose – analyse globale
Notre analyse locale a considéré les performances du système lorsque seule la force des deux paracrines était modifiée et que tous les autres paramètres restaient fixes. Pour compléter cette analyse, nous avons effectué un tri numérique non biaisé39,40,41 en échantillonnant des paramètres au hasard dans l’espace de paramètres à 5 dimensions, constitué de (Vr, K, ω, Ig, Gi) et en notant les topologies résultantes (Figs 3 et S2). Ici encore, nous avons constaté que les topologies T1, T2 et T5 étaient meilleures pour minimiser l’erreur positive intégrale en réponse à une entrée de glucose. Cette meilleure performance est due à l’inhibition de la sécrétion de glucagon par le glucose et l’insuline (Fig. 3a). T1, T4 et T8, les topologies dans lesquelles le glucagon active l’insuline, ont conduit à des niveaux de glucose plus faibles en réponse à une consommation accrue de glucose (Fig. 3b), mais ont été bien meilleures pour éviter les dépassements après retour à des niveaux normaux (Fig. 3c). Des résultats similaires sont montrés pour le cas où l’une des interactions paracrines ou les deux sont modélisées comme non linéaires (figure supplémentaire S3) ou lorsqu’un terme pour la glycogenèse est considéré dans l’équation (1), figure supplémentaire S4.
L’analyse globale révèle des caractéristiques de toutes les topologies de circuit. (a) Les boxplots représentent l’erreur positive intégrale (a) le niveau minimum après chute (b) et le dépassement maximum après chute (c) de toutes les topologies de circuit. Pour chaque indice, l’analyse de Kruskal-Wallis indique une valeur p < 0,001. (d) Le dépassement du circuit T1 peut être minimisé en augmentant la sensibilité du foie au glucagon. La zone grisée représente la gamme de ω pour laquelle le minimum est supérieur à 3 mM. (e) La production hépatique de glucose en fonction du glucagon et de l’insuline est représentée en fonction de la valeur de la sensibilité du foie au glucagon (paramètre ω). Les simulations ont été effectuées en considérant l’équation (5) comme fonction d’entrée avec les paramètres indiqués dans le tableau 1. Le tracé dans le rectangle noir représente les données obtenues à partir de37. GLG ∈ pM et INS ∈ pM. Les axes GLG et INS sont représentés en échelle logarithmique.
La fonction d’entrée du foie dans le glucagon et l’insuline peut minimiser les undershoots pendant l’hypoglycémie
Notre analyse indique que la stimulation paradoxale de la sécrétion d’insuline par le glucagon minimise les overshoots des niveaux de glucose sanguin après la réversion de l’hypoglycémie, mais présente une vulnérabilité notable – les chutes de niveaux de glucose sont accentuées (minimum bas après les chutes, Figs 2 et 3). Puisque les événements hypoglycémiques de faibles niveaux de glucose sanguin peuvent mettre la vie en danger, nous avons examiné si ce compromis pouvait être atténué en modulant les effets combinés du glucagon et de l’insuline sur la production hépatique de glucose. Nous avons découvert qu’une fonction d’entrée f(, ) (équation (5)) dans laquelle le foie est plus sensible au glucagon qu’à l’insuline (ω > 1) facilite un faible dépassement ainsi qu’une réduction du dépassement (Figs 3d et S5). Avec une telle fonction d’entrée, l’insuline est moins efficace pour arrêter la production hépatique de glucose. Des données antérieures indiquent qu’une telle sensibilité accrue, dans laquelle le glucagon » écrase » le signal de l’insuline, est effectivement observée37, Fig. 3e. Pour évaluer le paramètre ω qui décrit le mieux la fonction d’entrée hépatique à l’insuline et au glucagon mesurée précédemment, nous avons balayé une plage de 0 ≤ ω ≤ 2 et calculé l’erreur quadratique moyenne (EQM) entre les fonctions d’entrée expérimentale et théorique, toutes deux maximisées à leur valeur maximale. Nous avons obtenu ωMSE = 1,3.
Réponse aux repas protéinés
Notre analyse précédente a démontré que l’inhibition de la sécrétion de glucagon par l’insuline donne lieu à une diminution de l’erreur positive intégrée suite à un repas de glucose INPUT. De plus, nous avons constaté que la stimulation paradoxale de la sécrétion d’insuline par le glucagon minimise les dépassements de niveaux lors du retour d’une étape hypoglycémique, au prix d’un minimum plus faible après la chute qui peut être empêché par la fonction d’entrée du foie f(, ). Nous avons ensuite examiné d’autres avantages possibles de la topologie paradoxale T1 par rapport à d’autres topologies plus intuitives comme T2, dans laquelle l’insuline et le glucagon répriment mutuellement la sécrétion de leurs hormones respectives. A cette fin, nous avons analysé la réponse du circuit aux repas protéinés.
Contrairement au glucose, les acides aminés suscitent une puissante sécrétion coordonnée d’insuline et de glucagon. Cette coordination découle des multiples rôles de l’insuline en tant qu’hormone anabolique. L’insuline est nécessaire non seulement pour augmenter l’absorption cellulaire de glucose mais aussi pour augmenter la lipogenèse en réponse à l’apport de lipides et la production de protéines par traduction en réponse à la consommation d’acides aminés42,43. En effet, l’arginine est un sécrétagogue d’insuline plus puissant que le glucose44. L’augmentation de la sécrétion d’insuline en réponse aux repas protéinés pourrait avoir un impact dangereux sur l’homéostasie du glucose sanguin, entraînant une augmentation insulinodépendante de la consommation et une diminution de l’HGO. Pour contrecarrer cette baisse de la glycémie, le glucagon est aussi puissamment stimulé par les acides aminés (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 pour assurer une augmentation de l’HGO face à une telle absorption collatérale de glucose sanguin (Fig. 4a).
Réactions du circuit aux entrées d’acides aminés. (a) Les acides aminés (AA) stimulent la sécrétion d’insuline et de glucagon. (b) Exemple schématique du comportement coordonné de l’insuline (ligne bleue) et du glucagon (ligne pointillée verte) au fil du temps après un stimulus d’acide aminé échelonné (zone ombrée orange). (c) Exemple schématique du comportement non coordonné de l’insuline (ligne bleue) et du glucagon (ligne pointillée verte) dans le temps après un stimulus d’acide aminé (zone ombrée en rouge). (d) Schémas des nullclines pour le circuit T4 avec une double interaction positive entre les deux hormones, sans entrée d’AA (lignes continues) et avec l’entrée d’AA (lignes pointillées) : les intersections (points) représentent les états stables (LL – HH). (e) Schémas des nullclines pour le circuit T2 avec une double interaction négative entre les deux hormones, sans entrée AA (lignes continues) et avec l’entrée AA (lignes pointillées) ; les intersections (points) représentent les états stables (LH – HL). Après le stimulus AA, les nullclines se déplacent et les deux états stables diminuent (points rouges). (f) Schémas nullclines pour une rétroaction négative entre les hormones (lignes continues) ; l’intersection (point) représente un seul état d’équilibre ; après le stimulus AA, les nullclines se déplacent (lignes pointillées) et les deux hormones augmentent (HH).
Pour évaluer le potentiel de différents circuits d’îlots pour la cosécrétion à la fois d’insuline et de glucagon, nous avons examiné les niveaux d’état d’équilibre de l’insuline et du glucagon en réponse à une prise d’acides aminés (AA). Nous avons utilisé les équations (2 et 3) mais au lieu d’une stimulation par le glucose, nous avons ajouté des termes constants IAAg et IAAi décrivant le stimulus des acides aminés sur la sécrétion d’insuline et de glucagon (Fig. 4a) :
où, et sont les deux hormones, α et μ sont les taux de production basaux des deux hormones, IAAg = IAAg(AA) et IAAi = IAAi(AA) sont les taux de production générés par l’apport d’acides aminés, δg et δi les taux de dégradation et Igg() et Gih() sont deux fonctions générales, représentant les actions d’une hormone sur l’autre : dans le cas doublement positif T4, tant g() que h() sont croissants, dans le cas doublement négatif T2, ils sont tous deux décroissants, tandis que dans les cas mixtes T1 et T3, l’un est décroissant et l’autre croissant.
Afin de comparer les performances des différents systèmes, nous avons considéré les contraintes sur IAAg, IAAi qui garantiraient que les états stationnaires des deux hormones augmentent lors d’une entrée (IAAg, IAAi > 0), voir Méthodes.
Nous avons constaté que les circuits de rétroaction négative T1 et T3 impliquant l’insuline et le glucagon nécessitent une contrainte uniquement sur l’une des deux impulsions, tandis que le circuit doublement négatif T2 nécessite des contraintes sur les deux fonctions d’entrée IAAg, IAAi.
Pour simplifier, nous considérons une interaction linéaire (h(GLG]) et une interaction non linéaire (g), les résultats ci-dessous ne sont valables que si au moins une interaction est non linéaire). En particulier :
en cas d’activation, ou
en cas d’inhibition, avec n > 2 et K > 0 et h() = Gi.
La figure 4d,e montre les nullclines pour les cas doublement positifs et doublement négatifs respectivement : dans le cas doublement positif, la bistabilité est caractérisée par deux points d’équilibre, l’un dans lequel les deux états stationnaires sont élevés (HH), et un second, dans lequel les deux états stationnaires sont bas (LL, Fig. 4d) ; dans le double circuit négatif T2, la bistabilité est caractérisée par deux équilibres dans lesquels une hormone est à un état d’équilibre élevé et l’autre à un état d’équilibre bas (HL, LH), donnant lieu à un comportement de commutation ou d' »inhibition mutuelle » Fig. 4e52,53,54,55. Dans le cas d’une boucle de rétroaction négative composée d’une interaction négative et d’une interaction positive (T1, T3), il n’y a pas de bistabilité. Au contraire, dans ce cas, les lignes nulles n’ont qu’une seule intersection, c’est-à-dire un comportement monostable. Ainsi, une rétroaction négative évite complètement les comportements bistables et en particulier les états opposés des hormones.
Le modèle simplifié considéré ci-dessus démontre également un exemple de la façon dont une prise d’AA peut conduire à une sécrétion plus élevée coordonnée à la fois de l’insuline et du glucagon pour T1, T3 et T4 mais pas T2 par le déplacement particulier des points d’intersection des nullclines.
En résumé, la rétroaction paradoxale T1 évite la bistabilité en réponse à l’AA, et est plus robuste dans l’élicitation d’une sécrétion coordonnée d’hormones après une perturbation des acides aminés : la coordination est possible avec une restriction sur le taux de production d’une des hormones, alors que, plus de contraintes sont nécessaires pour avoir une coordination avec un système de double rétroaction négative. Nous avons également évalué l’impact d’un repas à base d’acides aminés, sur les niveaux de glucose dans le sang, en utilisant les équations (1) et (4) en plus de (9 et 10). Nous avons constaté que lorsque le foie est plus sensible au glucagon par rapport à l’insuline (paramètre ω > 1, Fig. 3e), les topologies T1, T2 et T5 sont les meilleures pour minimiser l’effet d’un apport d’acides aminés sur la glycémie en termes de déviation intégrale, comme le montre la Fig. S6 supplémentaire.