Mathematisches Modell des Inselkreislaufs
Um den Kreislauf zu charakterisieren, der der Kontrolle des Blutzuckerspiegels zugrunde liegt, haben wir ein mathematisches Modell aus 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) abgeleitet, das experimentelle Beobachtungen und Hypothesen aus der Literatur berücksichtigt. Der Einfachheit halber vernachlässigten wir die Wirkung von Somatostatin, einem Hormon, das von den Deltazellen der Inselzellen als Reaktion auf die Insulinsekretion ausgeschüttet wird und die Sekretion von Insulin und Glukagon hemmt. Unser Modell beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich die Konzentration der folgenden Größen im Laufe der Zeit verändert: Blutglukose (), Blutglukagon (), Blutinsulin () und Ferninsulin (), ein intermediärer Faktor, der die Insulinkonzentration im interstitiellen Gewebekompartiment repräsentiert. wird angenommen, dass er die verzögerte Wirkung der Insulinunterdrückung auf die Blutglukose vermittelt28. Wir haben alle möglichen Kombinationen negativer und positiver Wechselwirkungen zwischen Insulin und Glucagon berücksichtigt, was zu neun verschiedenen Teilmodellen führte (Abb. 1c).
Die folgenden allgemeinen gewöhnlichen Differentialgleichungen beschreiben die Dynamik aller möglichen endokrinen Kreisläufe:
INPUT steht für die Glukoseaufnahme aus einer Mahlzeit, DROP steht für einen Anstieg der systemischen Glukoseaufnahme im Blut, z. B. aufgrund eines erhöhten Muskelverbrauchs beim Sport. (x)+ ist 0, wenn x ≤ 0 ist, und x, wenn x > 0 ist. Im Fließgleichgewicht, d.h. ohne äußere Störung, ist INPUT = DROP = 0. Wir simulierten die dynamische Reaktion der endokrinen Kreisläufe auf äußere Störungen, indem wir die Variablen INPUT und DROP änderten (Abb. 1d,e). f(, ) stellt den hepatischen Glukose-Output (HGO) als Funktion der Blutglukosespiegel von und 36,37 dar. Wir betrachteten die folgende Form, die aus einer Summe von zwei Michelis-Menten-Termen (MM) besteht:
GLG* und INS* stellen die stationären Zustände von Glucagon und Insulin bei = 5 mM dar, und 0 ≤ ω ≤ 2 steht für das relative Gewicht, das Glucagon gegenüber Insulin bei der Beeinflussung der Leberreaktion zukommt.
Für jede Gleichung haben wir Abbauterme für Glucagon, Insulin und Ferninsulin (δg, δi bzw. δRi) berücksichtigt; δb steht für die basale Glukoseaufnahme im Blut, vorwiegend durch den Verbrauch im Gehirn, und V für die insulinabhängige Glukoseaufnahme27; α und μ stehen für die basalen Sekretionsraten von Glucagon und Insulin. Wir modellierten die Insulinsekretion als monoton steigende Funktion des Blutzuckerspiegels, K( – BG*)+, und die Glucagonsekretion als monoton fallende Funktion des Blutzuckerspiegels Vr(BG* – )+ 38. Die Gleichungen für Insulin (3) und Ferninsulin (4) haben einen gemeinsamen „Transportterm“ (ε ( – )), der die Insulindiffusion vom Blut in das interstitielle Kompartiment darstellt28.
Die Wechselwirkungen zwischen Insulin und Glucagon werden durch zwei allgemeine Funktionen Igg() und Gih() ausgedrückt. Der Einfachheit halber werden in der folgenden Analyse g() und h() linear sein, aber die Ergebnisse gelten auch für nichtlineare Funktionen (Ergänzende Informationen). Unser Modell ignoriert auch die direkten Auswirkungen des Blutinsulins auf die Erhöhung des Glukoseverbrauchs der Leber über die Glykogenese. Wie bei den Nichtlinearitäten bleiben die nachstehenden Ergebnisse auch bei Einführung dieses zusätzlichen Prozesses gültig (Ergänzende Informationen). Das Modell in den Gleichungen (1-5) hat 16 freie Parameter, die wir anschließend auf 5 Parameter (Ig, Gi, Vr, K, ω) reduzierten, indem wir verschiedene Schätzungen aus der Literatur verwendeten (Tabelle 1).
Leistungskriterien
Wir haben drei verschiedene Leistungskriterien für die untersuchten endokrinen Systeme berücksichtigt. Das erste war ein niedriger integraler positiver Fehler, definiert als:
wobei das Intervall darstellt, in dem die Simulation durchgeführt wird.
Dieses Kriterium steht für die Fähigkeit eines Schaltkreises, eine Hyperglykämie nach einem Glukoseschritt zu vermeiden (Abb. 1d). Das zweite Kriterium war ein hoher Wert für den minimalen Glukosespiegel als Reaktion auf einen erhöhten systemischen Glukoseverbrauch, um große hypoglykämische Glukoseabfälle zu vermeiden (Abb. 1e). Das dritte Kriterium war eine geringe Überschreitung, wenn der Blutzucker aus einem hypoglykämischen Zustand zurückkehrt (Maximum nach dem Abfall, Abb. 1e).
Reaktion auf Glukosestörungen – lokale Analyse
Um den potenziellen Nutzen der paradoxen negativen Rückkopplungsschleife zwischen Alpha- und Betazellen zu verstehen, wandten wir als nächstes eine Strategie an, die wir als „lokale Analyse“ bezeichnen. Wir stimulierten das System ohne parakrine Interaktion, T0 (Abb. 1c), mit einem positiven oder negativen 30-Minuten-Schritt von INPUT und DROP (Abb. 2e,g). Wir durchsuchten den dreidimensionalen Parameterraum von T0 (Vr, K, ω) und identifizierten eine Kombination, die zu einer relativ günstigen Leistung in Bezug auf die drei Kriterien führt (die folgenden Ergebnisse sind unempfindlich gegenüber den T0-Parametern). Als nächstes veränderten wir systematisch die Stärken und Richtungen der parakrinen Interaktionen Gi und Ig und bewerteten die Auswirkungen auf die Leistungskriterien des Systems (Abb. 2a-d).
Die lokale Analyse zeigt Merkmale aller Schaltungstopologien. Dargestellt sind die stationären Blutzuckerwerte (a), der integrale positive Fehler (b), das Minimum nach einem Glukoseabfall (c) und die maximale Überschreitung nach einem Glukoseabfall (d). Für jedes Parameterpaar (Ig, Gi) wurden die Systemreaktionen auf einen 30-minütigen Glukose-EINGANG und einen 30-minütigen Glukose-Absatz simuliert und bewertet. Der integrale Fehler wurde in einem 500-minütigen Zeitintervall bewertet. Die weißen Punkte stehen für jedes in (e und f) dargestellte Parameterpaar; die verschiedenen Bereiche sind mit der entsprechenden Topologie gekennzeichnet. (e-f) Simulationen der Blutzuckerreaktion auf einen 30-minütigen positiven/negativen Impuls: Externe Stimuli werden durch den grau schattierten Bereich dargestellt, und die Reaktion der Systeme T0, T1, T2, T3, T4 wird jeweils in blau, rot, grün, gelb und lila dargestellt. (g) Vergleich zwischen den Topologien T0, T1 für das Verhalten von Blutglukose (), Glukagon (), Insulin () und Ferninsulin () nach einem erhöhten Glukoseverbrauch von 30 Minuten (grau schattierte Fläche): in der Topologie T0 steigt das Insulin mit einer Verzögerung von 50 Minuten an. Für alle Analysen gilt Vr = K = 10-5 und ω = 1.
Wir haben festgestellt, dass die Schaltkreistopologien T1, T2 und T5 bei der Minimierung des integralen positiven Fehlers besser sind als andere. Diese Schaltkreise beinhalten die Hemmung der Glukagonsekretion durch Insulin, wodurch eine effiziente Abschaltung der hepatischen Glukoseproduktion bei der Nahrungsaufnahme gewährleistet wird. Bei einem Anstieg des Glukosespiegels würde der Glukagonspiegel also sowohl direkt durch die Glukose als auch indirekt durch den Anstieg der Insulinsekretion sinken (Abb. 2b). Die Topologien T3, T4 und T7 schnitten in Bezug auf den integralen Fehler wesentlich schlechter ab, da sie neben der direkten Hemmung von Glukagon durch Glukose auch eine indirekte Aktivierung von Glukagon durch Insulin beinhalteten. Darüber hinaus konnten sie den 5 mM-Steady-State für eine breite Palette von Parametern nicht erreichen, wie in Abb. 2a dargestellt.
Bei der Betrachtung der Reaktion auf Glukosesenkungen stellten wir fest, dass T1, T4 und T8 ein niedrigeres Minimum aufweisen, was auf die paradoxe Aktivierung der Insulinsekretion durch Glukagon zurückzuführen ist (Abb. 2c). Bemerkenswert ist jedoch, dass diese Topologien bei der Rückkehr des Glukosespiegels in den Steady-State ein deutlich geringeres Überschwingen bewirken, was sich in den niedrigeren maximalen Glukosespiegeln bei der Rückkehr des Glukosetropfens zeigt (Abb. 2d). Dieses einzigartige Merkmal von T1, T4 und T8 hängt mit den beteiligten Zeitskalen zusammen. Gleichung (1) geht davon aus, dass der Blutzuckerspiegel systemisch durch die Wirkung von Insulin aus der Ferne gesenkt wird, das jedoch im Vergleich zu Insulin aufgrund seiner Diffusion aus dem Blut in die interstitiellen Kompartimente mit Verzögerung ansteigt (Abb. 2g). Wenn die Insulinsekretion nach einem 30-minütigen hypoglykämischen Abfall des Blutzuckerspiegels erst dann ansteigt, wenn der Blutzuckerspiegel 5 mM übersteigt, kommt es zu einer Verzögerung von 50 Minuten, bis der Blutzuckerspiegel auf das zur Senkung des Blutzuckerspiegels erforderliche Niveau angestiegen ist (Abb. 2g). Die paradoxe Aktivierung der Insulinsekretion durch Glucagon führt zu einem frühen Anstieg von , so dass die systemischen Spiegel nach Erreichen von 5 mM hoch genug sind, um weitere Überschwinger abzufangen (Abb. 2g). Die Fähigkeit des Systems, einem Überschwinger nach einer Umkehrung des Blutzuckerspiegelabfalls entgegenzuwirken, gilt für einen breiten Bereich von Verzögerungswerten, siehe ergänzende Abb. S1.
Die in den Inseln beobachtete Schaltung T1 scheint also im Vergleich zu anderen Topologien zu einem niedrigeren minimalen Blutzuckerspiegel zu führen, hat aber zwei attraktive Eigenschaften in Bezug auf die Glukosehomöostase – Minimierung des integralen positiven Fehlers als Reaktion auf den Glukose-Input und Abschwächung des Überschwingens des Glukosespiegels nach der Umkehrung der Hypoglykämie. Wir werden im Folgenden zeigen, dass die potenziell gefährlichen Unterschwinger, die mit dieser Topologie verbunden sind, durch die Modulation der Leber-Eingangsfunktion für Insulin und Glukagon minimiert werden können.
Reaktion auf Glukose-Störungen – globale Analyse
Unsere lokale Analyse betrachtete die Leistungen des Systems, wenn nur die Stärke der beiden Parakrinen variiert wurde und alle anderen Parameter unverändert blieben. Zur Ergänzung dieser Analyse führten wir ein unvoreingenommenes numerisches Screening39,40,41 durch, indem wir Parameter zufällig aus dem fünfdimensionalen Parameterraum (Vr, K, ω, Ig, Gi) auswählten und die resultierenden Topologien bewerteten (Abb. 3 und S2). Auch hier zeigte sich, dass die Topologien T1, T2 und T5 den integralen positiven Fehler als Reaktion auf einen Glukose-Input besser minimieren. Diese bessere Leistung ist auf die Hemmung der Glukagonsekretion sowohl durch Glukose als auch durch Insulin zurückzuführen (Abb. 3a). T1, T4 und T8, die Topologien, bei denen Glukagon Insulin aktiviert, führten zu niedrigeren Glukosespiegeln als Reaktion auf einen erhöhten Glukoseverbrauch (Abb. 3b), waren jedoch wesentlich besser in der Lage, Überschwinger nach der Rückkehr zu normalen Werten zu vermeiden (Abb. 3c). Ähnliche Ergebnisse werden für den Fall gezeigt, dass eine der parakrinen Interaktionen oder beide als nichtlinear modelliert werden (ergänzende Abb. S3) oder wenn ein Term für die Glykogenese in Gleichung (1) berücksichtigt wird (ergänzende Abb. S4).
Die globale Analyse zeigt Merkmale aller Schaltungstopologien. (a) Boxplots zeigen den integralen positiven Fehler (a), den minimalen Pegel nach dem Abfall (b) und das maximale Überschwingen nach dem Abfall (c) aller Schaltungstopologien. Für jeden Index zeigt die Kruskal-Wallis-Analyse einen p-Wert < 0,001. (d) Das Unterschwingen von Schaltkreis T1 kann durch Erhöhung der Leberempfindlichkeit gegenüber Glucagon minimiert werden. Der grau schattierte Bereich stellt den Bereich von ω dar, für den das Minimum höher als 3 mM ist. (e) Der hepatische Glukoseausstoß als Funktion von Glucagon und Insulin ist in Abhängigkeit vom Wert der Leberempfindlichkeit für Glucagon (Parameter ω) dargestellt. Die Simulationen wurden unter Berücksichtigung von Gleichung (5) als Eingangsfunktion mit den in Tabelle 1 angegebenen Parametern durchgeführt. Die Grafik im schwarzen Rechteck zeigt die Daten aus37. GLG ∈ pM und INS ∈ pM. Die GLG- und INS-Achsen sind in logarithmischen Skalen dargestellt.
Die Eingangsfunktion der Leber für Glucagon und Insulin kann Unterschwingungen während einer Hypoglykämie minimieren
Unsere Analyse zeigt, dass die paradoxe Stimulierung der Insulinsekretion durch Glucagon Überschwingungen des Blutzuckerspiegels nach einer Hypoglykämie minimiert, aber eine bemerkenswerte Schwachstelle aufweist – Glukosespiegelabfälle werden akzentuiert (niedriges Minimum nach Abfall, Abb. 2 und 3). Da hypoglykämische Ereignisse mit niedrigem Blutzuckerspiegel lebensbedrohlich sein können, untersuchten wir, ob dieser Zielkonflikt durch die Modulation der kombinierten Wirkung von Glukagon und Insulin auf den hepatischen Glukoseausstoß gemildert werden könnte. Wir fanden heraus, dass eine Eingangsfunktion f(, ) (Gleichung (5)), bei der die Leber empfindlicher auf Glucagon als auf Insulin reagiert (ω > 1), sowohl ein geringes Überschwingen als auch ein geringeres Unterschwingen ermöglicht (Abb. 3d und S5). Mit einer solchen Eingangsfunktion ist Insulin weniger wirksam beim Herunterfahren der hepatischen Glukoseproduktion. Frühere Daten deuten darauf hin, dass eine solche erhöhte Empfindlichkeit, bei der Glucagon das Signal von Insulin „übersteuert“, tatsächlich beobachtet wird37 (Abb. 3e). Um den ω-Parameter zu bestimmen, der die zuvor gemessene Leber-Eingangsfunktion für Insulin und Glucagon am besten beschreibt, haben wir einen Bereich von 0 ≤ ω ≤ 2 untersucht und den mittleren quadratischen Fehler (MSE) zwischen den experimentellen und theoretischen Eingangsfunktionen berechnet, die beide auf ihren Maximalwert maximiert wurden. Wir erhielten ωMSE = 1,3.
Reaktion auf Proteinmahlzeiten
Unsere frühere Analyse hat gezeigt, dass die Hemmung der Glucagonsekretion durch Insulin zu einer Verringerung des integrierten positiven Fehlers nach einer INPUT-Glucosemahlzeit führt. Darüber hinaus haben wir festgestellt, dass die paradoxe Stimulierung der Insulinsekretion durch Glucagon die Überschreitung der Werte bei der Rückkehr von einem hypoglykämischen Schritt minimiert, und zwar auf Kosten eines niedrigeren Minimums nach dem Abfall, der durch die Leberinputfunktion f(, ) verhindert werden kann. Als Nächstes untersuchten wir weitere mögliche Vorteile der paradoxen Topologie T1 gegenüber alternativen, intuitiveren Topologien wie T2, bei denen Insulin und Glukagon die Ausschüttung ihrer jeweiligen Hormone gegenseitig unterdrücken. Zu diesem Zweck haben wir die Reaktion des Kreislaufs auf Proteinmahlzeiten analysiert.
Im Gegensatz zu Glukose lösen Aminosäuren eine starke koordinierte Sekretion von Insulin und Glukagon aus. Diese Koordination ergibt sich aus den vielfältigen Aufgaben von Insulin als anaboles Hormon. Insulin wird nicht nur benötigt, um die zelluläre Aufnahme von Glukose zu erhöhen, sondern auch, um die Lipogenese als Reaktion auf die Lipidaufnahme und die Proteinproduktion durch Translation als Reaktion auf den Verzehr von Aminosäuren zu steigern42,43. Arginin ist in der Tat ein stärkerer Sekretionsfaktor für Insulin als Glukose44. Die erhöhte Insulinausschüttung als Reaktion auf Proteinmahlzeiten könnte gefährliche Auswirkungen auf die Blutzuckerhomöostase haben und zu einem insulinabhängigen Anstieg des Verbrauchs und einem Rückgang der HGO führen. Um dieser Senkung des Blutzuckerspiegels entgegenzuwirken, wird Glucagon auch durch Aminosäuren (AA)42,45,46,47,48,49,50,51 stark stimuliert, um angesichts einer solchen kollateralen Glukoseaufnahme im Blut eine erhöhte HGO zu gewährleisten (Abb. 4a).
Reaktionen des Kreislaufs auf Aminosäureeingaben. (a) Aminosäuren (AA) stimulieren die Sekretion von Insulin und Glucagon. (b) Schematisches Beispiel für das koordinierte Verhalten von Insulin (blaue Linie) und Glucagon (grün gestrichelte Linie) im Zeitverlauf nach einem Aminosäurestimulus (orange schattierter Bereich). (c) Schematisches Beispiel für das unkoordinierte Verhalten von Insulin (blaue Linie) und Glucagon (grün gestrichelte Linie) im zeitlichen Verlauf nach einem Aminosäurestufenreiz (rot schattierte Fläche). (d) Schematische Darstellung der Nulllinien für den T4-Kreislauf mit einer doppelten positiven Interaktion zwischen den beiden Hormonen, ohne AA-Eingabe (durchgezogene Linien) und mit AA-Eingabe (gestrichelte Linien): Die Schnittpunkte (Punkte) stellen stationäre Zustände (LL – HH) dar. (e) Schematische Darstellung der Nullkurven für den T2-Kreislauf mit einer doppelten negativen Wechselwirkung zwischen den beiden Hormonen ohne AA-Eingabe (durchgezogene Linien) und mit AA-Eingabe (gestrichelte Linien); die Schnittpunkte (Punkte) stellen stationäre Zustände (LH – HL) dar. Nach dem AA-Stimulus verschieben sich die Nulllinien und beide stationären Zustände nehmen ab (rote Punkte). (f) Schematische Nullklinen für eine negative Rückkopplung zwischen den Hormonen (durchgezogene Linien); der Schnittpunkt (Punkt) stellt einen einzigen stationären Zustand dar; nach dem AA-Stimulus verschieben sich die Nullklinen (gestrichelte Linien) und beide Hormone steigen an (HH).
Um das Potenzial verschiedener Inselkreisläufe für die gleichzeitige Sekretion von Insulin und Glukagon zu beurteilen, untersuchten wir die stationären Insulin- und Glukagonspiegel als Reaktion auf die Aufnahme von Aminosäuren (AA). Wir verwendeten die Gleichungen (2 und 3), fügten jedoch anstelle eines Glukosestimulus konstante Terme IAAg und IAAi hinzu, die den Aminosäurestimulus auf die Sekretion von Insulin und Glukagon beschreiben (Abb. 4a). 4a):
wobei, und sind die beiden Hormone, α und μ die Basalproduktionsraten für die beiden Hormone sind, IAAg = IAAg(AA) und IAAi = IAAi(AA) die durch den Aminosäure-Input erzeugten Produktionsraten, δg und δi die Abbauraten und Igg() und Gih() zwei allgemeine Funktionen sind, die die Wirkungen des einen Hormons auf das andere darstellen: Im doppelt positiven Fall T4 sind sowohl g() als auch h() ansteigend, im doppelt negativen Fall T2 sind sie beide abnehmend, während in den gemischten Fällen T1 und T3 eine abnehmend und die andere ansteigend ist.
Um die Leistung der verschiedenen Systeme zu vergleichen, haben wir die Nebenbedingungen für IAAg, IAAi betrachtet, die sicherstellen, dass die stationären Zustände beider Hormone bei einem Input (IAAg, IAAi > 0) ansteigen, siehe Methoden.
Wir fanden heraus, dass die negativen Rückkopplungskreise T1 und T3, die Insulin und Glucagon einbeziehen, nur eine Beschränkung auf einen der beiden Impulse erfordern, während der doppelte negative Kreislauf T2 Beschränkungen auf beide Eingangsfunktionen IAAg, IAAi erfordert.
Der Einfachheit halber betrachten wir eine lineare (h(GLG])) und eine nicht-lineare Wechselwirkung (g), die folgenden Ergebnisse sind nur gültig, wenn mindestens eine Wechselwirkung nicht-linear ist). Im Einzelnen:
im Falle der Aktivierung, oder
im Falle der Inhibition, mit n > 2 und K > 0 und h() = Gi.
Abbildung 4d,e zeigt die Nullkurven für den doppelt positiven bzw. den doppelt negativen Fall: Im doppelt positiven Fall ist die Bistabilität durch zwei Gleichgewichtspunkte gekennzeichnet, einen, in dem beide stationären Zustände hoch sind (HH), und einen zweiten, in dem beide stationären Zustände niedrig sind (LL, Abb. 4d); im doppelt negativen Kreislauf T2 ist die Bistabilität durch zwei Gleichgewichte gekennzeichnet, in denen sich ein Hormon in einem hohen und das andere in einem niedrigen stationären Zustand befindet (HL, LH), was zu einem Umschalt- oder „gegenseitigen Hemmungsverhalten“ führt (Abb. 4e52,53,54,55). Im Falle einer negativen Rückkopplungsschleife, die aus einer negativen und einer positiven Wechselwirkung besteht (T1, T3), gibt es keine Bistabilität. Vielmehr haben in diesem Fall die Nullkurven nur einen Schnittpunkt, d. h. ein monostabiles Verhalten. Eine negative Rückkopplung vermeidet also bistabiles Verhalten und insbesondere gegensätzliche Zustände der Hormone vollständig.
Das oben betrachtete vereinfachte Modell zeigt auch ein Beispiel dafür, wie eine Einnahme von AA zu einer koordinierten höheren Sekretion sowohl von Insulin als auch von Glukagon für T1, T3 und T4, aber nicht für T2 durch die besondere Verschiebung der Schnittpunkte der Null-Klinen führen kann.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die paradoxe Rückkopplung T1 die Bistabilität als Reaktion auf AA vermeidet und robuster ist, wenn es darum geht, eine koordinierte Sekretion von Hormonen nach einer Aminosäurenstörung auszulösen: Eine Koordination ist mit einer Beschränkung der Produktionsrate eines der Hormone möglich, während für eine Koordination mit einem doppelten negativen Rückkopplungssystem mehr Beschränkungen erforderlich sind. Wir untersuchten auch die Auswirkungen einer Aminosäuremahlzeit auf den Blutzuckerspiegel, indem wir zusätzlich zu (9 und 10) die Gleichungen (1) und (4) verwendeten. Wir fanden heraus, dass, wenn die Leber empfindlicher auf Glucagon im Vergleich zu Insulin reagiert (Parameter ω > 1, Abb. 3e), die Topologien T1, T2 und T5 am besten geeignet sind, die Auswirkungen einer Aminosäurezufuhr auf den Blutzuckerspiegel in Bezug auf die integrale Abweichung zu minimieren, wie in der ergänzenden Abb. S6 gezeigt wird.