Úplný důkaz naleznete v článku reciprocita (elektromagnetismus). Zde uvádíme běžný jednoduchý důkaz omezený na aproximaci dvou antén oddělených velkou vzdáleností ve srovnání s velikostí antény, a to v homogenním prostředí. První anténa je testovací anténa, jejíž obrazce mají být zkoumány; tato anténa může směřovat libovolným směrem. Druhá anténa je referenční anténa, která pevně míří na první anténu.
Každá anténa je střídavě připojena k vysílači s určitou impedancí zdroje a k přijímači se stejnou vstupní impedancí (impedance se může u obou antén lišit).
Předpokládá se, že obě antény jsou od sebe dostatečně daleko, aby vlastnosti vysílací antény nebyly ovlivněny zatížením, které na ni klade přijímací anténa. V důsledku toho lze množství výkonu přeneseného z vysílače do přijímače vyjádřit jako součin dvou nezávislých činitelů; jeden závisí na směrových vlastnostech vysílací antény a druhý na směrových vlastnostech přijímací antény.
Pro vysílací anténu platí podle definice zisku G {\displaystyle G}.
, je hustota vyzařovaného výkonu ve vzdálenosti r {\displaystyle r}.
od antény (tj. výkon procházející jednotkou plochy) je W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{t}}
.
Zde jsou úhly θ {\displayyle \theta }
a Φ {\displaystyle \Phi }.
označují závislost na směru od antény a P t {\displaystyle P_{t}}.
značí výkon, který by vysílač dodával do přizpůsobené zátěže. Zisk G {\displaystyle G}
lze rozdělit na tři faktory: zisk antény (směrové přerozdělení výkonu), účinnost vyzařování (zohlednění ohmických ztrát v anténě) a nakonec ztráty způsobené nesouladem mezi anténou a vysílačem. Přísně vzato, pro zahrnutí nesouladu by se měl nazývat realizovaný zisk, ale to se běžně nepoužívá.
Pro přijímací anténu platí, že výkon dodávaný do přijímače je
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Tady W {\displaystyle W}
je hustota výkonu dopadajícího záření a A {\displaystyle A}
je apertura antény nebo efektivní plocha antény (plocha, kterou by anténa musela zabírat, aby zachytila pozorovaný zachycený výkon). Směrové argumenty jsou nyní relativní vůči přijímací anténě a opět A {\displaystyle A}
se berou v úvahu ohmické ztráty a ztráty nesouladem.
Složíme-li tyto výrazy dohromady, dostaneme výkon přenesený z vysílače do přijímače
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}P_{t}}.
,
kde G {\displaystyle G}
a A {\displaystyle A}
jsou směrově závislé vlastnosti vysílací, respektive přijímací antény. Pro přenos z referenčníantény (2) na zkušební anténu (1) platí, že P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}}. (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}P_{2t}}
,
a pro přenos v opačném směru
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{1t}}
.
Zde je zisk G 2 {\displaystyle G_{2}}.
a efektivní plocha A 2 {\displaystyle A_{2}}.
antény 2 jsou pevné, protože orientace této antény je vzhledem k první pevná.
Nyní pro dané rozmístění antén věta o reciprocitě vyžaduje, aby přenos výkonu byl stejně účinný v každém směru, tj.
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
odtud
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Pravá strana této rovnice je však pevná (protože orientace antény 2 je pevná), a tak
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}. (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}=\mathrm {constant} }
,
tj. směrová závislost (přijímací) efektivní apertury a (vysílacího) zisku jsou totožné (QED). Navíc konstanta úměrnosti je stejná bez ohledu na povahu antény, a proto musí být stejná pro všechny antény. Analýza konkrétní antény (například Hertzova dipólu) ukazuje, že tato konstanta je λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}.
, kde λ {\displaystyle \lambda }
je vlnová délka volného prostoru. Proto pro jakoukoli anténu platí pro zisk a efektivní aperturu vztah A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}}
.
I u přijímací antény je obvyklejší uvádět zisk než efektivní aperturu. Výkon dodávaný do přijímače se proto obvykle zapisuje jako
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}}}P_{t}}.
(viz rozpočet odkazu). Efektivní apertura je však zajímavá pro srovnání se skutečnou fyzickou velikostí antény.
Praktické důsledkyPravda
- Při určování obrazce přijímací antény pomocí počítačové simulace není nutné provádět výpočet pro každý možný úhel dopadu. Místo toho se vyzařovací diagram antény určí jedinou simulací a přijímací diagram se odvodí reciprocitou.
- Při určování diagramu antény měřením může být anténa buď přijímací, nebo vysílací, podle toho, co je výhodnější.
- U praktické antény by měla být úroveň postranních laloků minimální, je nutné, aby měla maximální směrovost.