För ett fullständigt bevis, se artikeln om reciprocitet (elektromagnetism). Här presenterar vi ett vanligt enkelt bevis som är begränsat till approximationen av två antenner som är separerade med ett stort avstånd jämfört med antennens storlek, i ett homogent medium. Den första antennen är den testantenn vars mönster ska undersökas; denna antenn är fri att peka i vilken riktning som helst. Den andra antennen är en referensantenn, som pekar styvt mot den första antennen.
Varje antenn är växelvis ansluten till en sändare med en viss källimpedans och en mottagare med samma ingångsimpedans (impedansen kan skilja sig åt mellan de två antennerna).
Det antas att de två antennerna är tillräckligt långt ifrån varandra för att sändarantennens egenskaper inte ska påverkas av den belastning som den utsätts för av mottagarantennen. Följaktligen kan den mängd effekt som överförs från sändaren till mottagaren uttryckas som en produkt av två oberoende faktorer; den ena beror på sändarantennens riktningsegenskaper och den andra beror på mottagarantennens riktningsegenskaper.
För sändarantennen gäller enligt definitionen av förstärkning, G {\displaystyle G}
, strålningseffekttätheten på ett avstånd r {\displaystyle r}
från antennen (dvs. den effekt som passerar genom en ytenhet) är W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta ,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{t}}}
.
Här är vinklarna θ {\displaystyle \theta }
och Φ {\displaystyle \Phi }
anger ett beroende av riktningen från antennen, och P t {\displaystyle P_{t}}
står för den effekt som sändaren skulle leverera till en anpassad belastning. Förstärkningen G {\displaystyle G}
kan delas upp i tre faktorer; antennförstärkningen (den riktade omfördelningen av effekten), strålningseffektiviteten (hänsyn till ohmska förluster i antennen) och slutligen förlusten på grund av felmatchning mellan antennen och sändaren. För att inkludera missanpassningen bör den strikt sett kallas den realiserade förstärkningen, men detta är inte vanligt förekommande.
För mottagarantennen är den effekt som levereras till mottagaren
P r = A ( θ , Φ ) W {\displaystyle P_{r}=\mathrm {A} (\theta ,\Phi )W\,}
.
Här W {\displaystyle W}
är den infallande strålningens effekttäthet och A {\displaystyle A}
är antennöppningen eller antennens effektiva area (den area som antennen skulle behöva uppta för att fånga upp den observerade fångade effekten). Riktningsargumenten är nu relativa till mottagarantennen, och återigen är A {\displaystyle A}
tas med för att inkludera ohmska förluster och förluster vid felmatchning.
Om man sätter ihop dessa uttryck är den överförda effekten från sändare till mottagare
P r = A G 4 π r 2 P t {\displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}}}P_{t}}}
,
där G {\displaystyle G}
och A {\displaystyle A}
är riktningsberoende egenskaper hos den sändande respektive mottagande antennen. För överföring från referensantennen (2) till testantennen (1) är P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}}P_{2t}}
,
och för överföring i motsatt riktning
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {\displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4\pi r^{2}}}}P_{1t}}}
.
Här är förstärkningen G 2 {\displaystyle G_{2}}
och den effektiva ytan A 2 {\displaystyle A_{2}}
för antenn 2 är fasta, eftersom antennens orientering är fast i förhållande till den första.
För en given placering av antennerna kräver reciprocitetssatsen att effektöverföringen är lika effektiv i varje riktning, dvs.
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
därför
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Men den högra sidan av denna ekvation är fast (eftersom antenn 2:s orientering är fast), och därför
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {\mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}}=\mathrm {konstant} }
,
dvs. att riktningsberoendet av den effektiva öppningen (för mottagning) och förstärkningen (för sändning) är identiska (QED). Dessutom är proportionalitetskonstanten densamma oberoende av antennens beskaffenhet och måste därför vara densamma för alla antenner. En analys av en särskild antenn (t.ex. en Hertzian-dipol) visar att denna konstant är λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}}{4\pi }}}}
, där λ {\displaystyle \lambda }
är det fria rummets våglängd. För varje antenn är därför förstärkningen och den effektiva öppningen relaterade till A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta ,\Phi )}{4\pi }}}}
.
Även för en mottagarantenn är det vanligare att ange förstärkningen än att ange den effektiva öppningen. Den effekt som levereras till mottagaren skrivs därför vanligare som
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {\displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4\pi r)^{2}}} P_{t}}
(se länk budget). Den effektiva aperturen är dock av intresse för jämförelse med antennens faktiska fysiska storlek.
Praktiska konsekvenserRedigera
- När man bestämmer mönstret för en mottagarantenn med hjälp av datorsimulering är det inte nödvändigt att utföra en beräkning för varje möjlig infallsvinkel. I stället bestäms antennens strålningsmönster genom en enda simulering och mottagningsmönstret härleds genom reciprocitet.
- När antennens mönster bestäms genom mätning kan antennen vara antingen mottagande eller sändande, beroende på vad som är lämpligast.
- För en praktisk antenn bör side lobe-nivån vara minimal, det är nödvändigt att ha maximal riktverkan.