En ring i matematisk mening är en mängd 
tillsammans med två binära operatorer 
och 
(vanligen tolkade som addition respektive multiplikation) som uppfyller följande villkor:
1. Additiv associativitet: För alla 
, 
,
2. Additiv kommutativitet: För alla 
, 
,
3. Additiv identitet: Det finns ett element 
så att för alla 
, 
,
4. Additiv invers: För varje 
finns 
så att 
,
5. Vänster och höger distributivitet: För alla 
, 
och 
,
6. Multiplikativ associativitet: För alla 
, 
(en ring som uppfyller denna egenskap kallas ibland uttryckligen en associativ ring).
Villkoren 1-5 är alltid nödvändiga. Även om det finns icke-associativa ringar kräver praktiskt taget alla texter också villkor 6 (Itô 1986, s. 1369-1372; s. 418; Zwillinger 1995, s. 141-143; Harris och Stocker 1998; Knuth 1998; Korn och Korn 2000; Bronshtein och Semendyayev 2004).
Ringar kan också uppfylla olika frivilliga villkor:
7. Multiplikativ kommutativitet: För alla 
, 
(en ring som uppfyller denna egenskap kallas en kommutativ ring),
8. Multiplikativ identitet: Det finns ett element 
så att för alla 
, 
(en ring som uppfyller denna egenskap kallas en enhetsring, eller ibland en ”ring med identitet”),
9. Multiplikativ invers: För varje 
i 
finns det ett element 
så att för alla 
, 
, där 1 är identitetselementet.
En ring som uppfyller alla ytterligare egenskaper 6-9 kallas för ett fält, medan en ring som endast uppfyller de ytterligare egenskaperna 6, 8 och 9 kallas för en divisionsalgebra (eller skevfält).
Vissa författare avviker från den normala konventionen och kräver (enligt sin definition) att en ring ska innehålla ytterligare egenskaper. Birkhoff och Mac Lane (1996) definierar till exempel att en ring måste ha en multiplikativ identitet (dvs. egenskap 8).
Det finns ett antal exempel på ringar som saknar särskilda villkor:
1. Utan multiplikativ associativitet (ibland även kallade icke-associativa algebraer): oktonioner, OEIS A037292,
2. Utan multiplikativ kommutativitet: Realvärderade 
matriser, kvaternioner,
3. Utan multiplikativ identitet: Jämna heltal,
4. Utan multiplikativ invers: heltal.
Ordet ring är en förkortning av det tyska ordet ”Zahlring” (talring). Det franska ordet för en ring är anneau och det moderna tyska ordet är Ring, båda betyder (inte så överraskande) ”ring”. Fraenkel (1914) gav den första abstrakta definitionen av ring, även om detta arbete inte fick något större genomslag. Termen introducerades av Hilbert för att beskriva ringar som
Genom att successivt multiplicera det nya elementet 
loopar det så småningom runt för att bli något som redan är genererat, något som liknar en ring, det vill säga 
är nytt men 
är ett heltal. Alla algebraiska tal har denna egenskap, t.ex. uppfyller 
.
En ring måste innehålla minst ett element, men behöver inte innehålla en multiplikativ identitet eller vara kommutativ. Antalet ändliga ringar med 
element för 
, 2, …, är 1, 2, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 4, …. (OEIS A027623 och A037234; Fletcher 1980). Om 
och 
är primtal finns det två ringar av storlek 
, fyra ringar av storlek 
, 11 ringar av storlek 
(Singmaster 1964, Dresden), 22 ringar av storlek 
, 52 ringar av storlek 
för 
och 53 ringar av storlek 
för 
(Ballieu 1947, Gilmer och Mott 1973; Dresden).
En ring som är kommutativ under multiplikation, har ett enhetselement och inte har några divisorer av noll kallas en integraldomän. En ring vars element som inte är nollor bildar en kommutativ multiplikationsgrupp kallas ett fält. De enklaste ringarna är heltalen 
, polynomier 
och 
i en och två variabler och kvadratiska 
reella matriser.
Ringar som har undersökts och befunnits vara av intresse namnges vanligen efter en eller flera av deras undersökare. Denna praxis leder tyvärr till namn som ger mycket liten inblick i de relevanta egenskaperna hos de associerade ringarna.
Renteln och Dundes (2005) ger följande (dåliga) matematiska skämt om ringar:
Q: What’s an Abelian group under addition, closed,associative, distributive, and bears a curse? Svar: Nibelungens ring.