En diophantinsk ekvation är en ekvation som relaterar heltalskvantiteter (eller ibland naturliga tal eller hela tal).
Att hitta lösningen eller lösningarna till en diophantinsk ekvation är nära knutet till modulär aritmetik och talteori. Ofta, när en diofantinsk ekvation har oändligt många lösningar, används parametrisk form för att uttrycka förhållandet mellan ekvationens variabler.
Diofantinska ekvationer är uppkallade efter den antika grekisk/lexandriska matematikern Diophantus.
Linjärkombination
En diofantinsk ekvation i formen kallas en linjär kombination. Om två relativt primära heltal
och
skrivs i denna form med
kommer ekvationen att ha ett oändligt antal lösningar. Mer allmänt kommer det alltid att finnas ett oändligt antal lösningar när
. Om
finns det inga lösningar till ekvationen. För att se varför, betrakta ekvationen
.
är en divisor av LHS (lägg också märke till att
alltid måste vara ett heltal). Men
kommer aldrig att vara en multipel av
, och därför finns inga lösningar.
Tänk nu på fallet där . Således
. Om
och
är relativt primtal är alla lösningar uppenbarligen i formen
för alla heltal
. Om de inte är det, delar vi dem helt enkelt med deras största gemensamma divisor.
Pythagoriska triplar
Huvudartikel: Pythagoreisk trippel
En pythagoreisk trippel är en uppsättning av tre heltal som uppfyller Pythagoras sats, . Det finns tre huvudsakliga metoder för att hitta pythagoreiska triplar:
Pythagoras’ metod
Om är ett udda tal är
en pythagoreisk trippel.
Platons metod
Om är
en pythagoreisk trippel.
Babylonisk metod
För varje har vi
är en pythagorisk trippel.
Summa av fjärde potenser
En ekvation av formen har inga helhetslösningar, enligt följande: Vi antar att ekvationen har helhetslösningar och betraktar den lösning som minimerar
. Låt denna lösning vara
. Om
så måste deras GCD
vara lika med
. Lösningen
skulle då vara en lösning som är mindre än
, vilket motsäger vårt antagande. Den här ekvationen har alltså inga helhetslösningar.
Om fortsätter vi sedan med kasuslösning, i
.
Bemärk att varje kvadrat, och därmed varje fjärde potens, är antingen eller
. Beviset för detta är ganska enkelt, och du kan visa det själv.
Fall 1:
Detta skulle innebära , en motsägelse.
Fall 2:
Detta skulle innebära , en motsägelse eftersom vi antog
.
Fall 3: , och
Vi vet också att kvadrater är antingen eller
. Således är alla fjärde potenser antingen
eller
.
Med liknande tillvägagångssätt visar vi att:
, alltså
.
Detta är en motsägelse, eftersom innebär att
är udda och
innebär att
är jämn. QED
Pell-ekvationer
Huvudartikel: Pell-ekvation
En Pell-ekvation är en typ av diophantinsk ekvation i formen för det naturliga talet
. Lösningarna till Pell-ekvationen när
inte är en perfekt kvadrat är kopplade till den fortsatta fraktionsexpansionen av
. Om
är perioden för det fortsatta bråket och
är den
:e konvergenten är alla lösningar till Pell-ekvationen i formen
för positivt heltal
.
Lösningsmetoder
Koordinatplanet
Bemärk att alla linjära kombinationer kan omvandlas till linjära ekvationen , som bara är lutning-interceptsekvationen för en linje. Lösningarna till den diophantinska ekvationen motsvarar de gitterpunkter som ligger på linjen. Tänk till exempel på ekvationen
eller
. En lösning är (0,1). Om du graferar linjen är det lätt att se att linjen skär en gitterpunkt när x och y ökar eller minskar med samma multipel av
respektive
(ordalydelse?). Därför kan lösningarna till ekvationen skrivas parametriskt
(om vi tänker på
som en ”startpunkt”).
Modulär aritmetik
Undertiden kan modulär aritmetik användas för att bevisa att det inte finns några lösningar till en given diophantinsk ekvation. Närmare bestämt, om vi visar att ekvationen i fråga aldrig är sann mod , för något heltal
, så har vi visat att ekvationen är falsk. Denna teknik kan dock inte användas för att visa att det finns lösningar till en diofantinsk ekvation.
Induktion
Ibland, när några få lösningar har hittats, kan induktion användas för att hitta en familj av lösningar. Tekniker som infinite Descent kan också visa att det inte finns några lösningar till en viss ekvation, eller att det inte finns några lösningar utanför en viss familj.
Allmänna lösningar
Det är naturligt att fråga sig om det finns en allmän lösning för diofantinska ekvationer, dvs. en algoritm som hittar lösningarna för alla givna diofantinska ekvationer. Detta är känt som Hilberts tionde problem. Svaret är dock nej.
Fermats sista sats
Huvudartikel: Fermats sista sats
är känd som Fermats sista sats för villkoret
. På 1600-talet skrev Fermat, när han arbetade igenom en bok om diophantinska ekvationer, en kommentar i marginalerna med innebörden ”Jag har ett verkligt underbart bevis för denna sats som denna marginal är för smal för att innehålla”. Fermat gjorde faktiskt många gissningar och föreslog många ”satser”, men var inte den som skrev ner bevisen eller mycket annat än klotterkommentarer. Efter hans död bevisades alla hans gissningar på nytt (antingen falska eller sanna) utom Fermats sista sats. Efter att ha misslyckats med att bevisa satsen i över 350 år bevisades den slutligen av Andrew Wiles efter att han ägnat över 7 år åt att arbeta med det 200 sidor långa beviset och ytterligare ett år åt att rätta till ett fel i det ursprungliga beviset.
Problem
Introduktion
- Två bönder är överens om att grisar är värda
dollar och att getter är värda
dollar. När den ena bonden är skyldig den andra pengar betalar han skulden i grisar eller getter, med ”växel” som erhålls i form av getter eller grisar vid behov. (Till exempel kan en skuld på
dollar betalas med två grisar, med en get som växel.) Vilket är beloppet på den minsta positiva skulden som kan lösas på detta sätt?
(Källa)
Intermediate
- Låt
vara ett polynom med heltalskoefficienter som uppfyller
och
Givet att
har två distinkta heltalslösningar
och
hitta produkten
. (Källa)
Olympiad
- Bestäm det maximala värdet av
, där
och
är heltal som uppfyller
och
. (Källa)
- Lös ekvationen
.
i heltal.