Page

En diophantinsk ekvation är en ekvation som relaterar heltalskvantiteter (eller ibland naturliga tal eller hela tal).

Att hitta lösningen eller lösningarna till en diophantinsk ekvation är nära knutet till modulär aritmetik och talteori. Ofta, när en diofantinsk ekvation har oändligt många lösningar, används parametrisk form för att uttrycka förhållandet mellan ekvationens variabler.

Diofantinska ekvationer är uppkallade efter den antika grekisk/lexandriska matematikern Diophantus.

Linjärkombination

En diofantinsk ekvation i formen kallas en linjär kombination. Om två relativt primära heltal och skrivs i denna form med kommer ekvationen att ha ett oändligt antal lösningar. Mer allmänt kommer det alltid att finnas ett oändligt antal lösningar när . Om finns det inga lösningar till ekvationen. För att se varför, betrakta ekvationen . är en divisor av LHS (lägg också märke till att alltid måste vara ett heltal). Men kommer aldrig att vara en multipel av , och därför finns inga lösningar.

Tänk nu på fallet där . Således . Om och är relativt primtal är alla lösningar uppenbarligen i formen för alla heltal . Om de inte är det, delar vi dem helt enkelt med deras största gemensamma divisor.

Pythagoriska triplar

Huvudartikel: Pythagoreisk trippel

En pythagoreisk trippel är en uppsättning av tre heltal som uppfyller Pythagoras sats, . Det finns tre huvudsakliga metoder för att hitta pythagoreiska triplar:

Pythagoras’ metod

Om är ett udda tal är en pythagoreisk trippel.

Platons metod

Om är en pythagoreisk trippel.

Babylonisk metod

För varje har vi är en pythagorisk trippel.

Summa av fjärde potenser

En ekvation av formen har inga helhetslösningar, enligt följande: Vi antar att ekvationen har helhetslösningar och betraktar den lösning som minimerar . Låt denna lösning vara . Om så måste deras GCD vara lika med . Lösningen skulle då vara en lösning som är mindre än , vilket motsäger vårt antagande. Den här ekvationen har alltså inga helhetslösningar.

Om fortsätter vi sedan med kasuslösning, i .

Bemärk att varje kvadrat, och därmed varje fjärde potens, är antingen eller . Beviset för detta är ganska enkelt, och du kan visa det själv.

Fall 1:

Detta skulle innebära , en motsägelse.

Fall 2:

Detta skulle innebära , en motsägelse eftersom vi antog .

Fall 3: , och

Vi vet också att kvadrater är antingen eller . Således är alla fjärde potenser antingen eller .

Med liknande tillvägagångssätt visar vi att:

, alltså .

Detta är en motsägelse, eftersom innebär att är udda och innebär att är jämn. QED

Pell-ekvationer

Huvudartikel: Pell-ekvation

En Pell-ekvation är en typ av diophantinsk ekvation i formen för det naturliga talet . Lösningarna till Pell-ekvationen när inte är en perfekt kvadrat är kopplade till den fortsatta fraktionsexpansionen av . Om är perioden för det fortsatta bråket och är den :e konvergenten är alla lösningar till Pell-ekvationen i formen för positivt heltal .

Lösningsmetoder

Koordinatplanet

Bemärk att alla linjära kombinationer kan omvandlas till linjära ekvationen , som bara är lutning-interceptsekvationen för en linje. Lösningarna till den diophantinska ekvationen motsvarar de gitterpunkter som ligger på linjen. Tänk till exempel på ekvationen eller . En lösning är (0,1). Om du graferar linjen är det lätt att se att linjen skär en gitterpunkt när x och y ökar eller minskar med samma multipel av respektive (ordalydelse?). Därför kan lösningarna till ekvationen skrivas parametriskt (om vi tänker på som en ”startpunkt”).

Modulär aritmetik

Undertiden kan modulär aritmetik användas för att bevisa att det inte finns några lösningar till en given diophantinsk ekvation. Närmare bestämt, om vi visar att ekvationen i fråga aldrig är sann mod , för något heltal , så har vi visat att ekvationen är falsk. Denna teknik kan dock inte användas för att visa att det finns lösningar till en diofantinsk ekvation.

Induktion

Ibland, när några få lösningar har hittats, kan induktion användas för att hitta en familj av lösningar. Tekniker som infinite Descent kan också visa att det inte finns några lösningar till en viss ekvation, eller att det inte finns några lösningar utanför en viss familj.

Allmänna lösningar

Det är naturligt att fråga sig om det finns en allmän lösning för diofantinska ekvationer, dvs. en algoritm som hittar lösningarna för alla givna diofantinska ekvationer. Detta är känt som Hilberts tionde problem. Svaret är dock nej.

Fermats sista sats

Huvudartikel: Fermats sista sats

är känd som Fermats sista sats för villkoret . På 1600-talet skrev Fermat, när han arbetade igenom en bok om diophantinska ekvationer, en kommentar i marginalerna med innebörden ”Jag har ett verkligt underbart bevis för denna sats som denna marginal är för smal för att innehålla”. Fermat gjorde faktiskt många gissningar och föreslog många ”satser”, men var inte den som skrev ner bevisen eller mycket annat än klotterkommentarer. Efter hans död bevisades alla hans gissningar på nytt (antingen falska eller sanna) utom Fermats sista sats. Efter att ha misslyckats med att bevisa satsen i över 350 år bevisades den slutligen av Andrew Wiles efter att han ägnat över 7 år åt att arbeta med det 200 sidor långa beviset och ytterligare ett år åt att rätta till ett fel i det ursprungliga beviset.

Problem

Introduktion

• Två bönder är överens om att grisar är värda dollar och att getter är värda dollar. När den ena bonden är skyldig den andra pengar betalar han skulden i grisar eller getter, med ”växel” som erhålls i form av getter eller grisar vid behov. (Till exempel kan en skuld på dollar betalas med två grisar, med en get som växel.) Vilket är beloppet på den minsta positiva skulden som kan lösas på detta sätt?

(Källa)

Intermediate

• Låt vara ett polynom med heltalskoefficienter som uppfyller och Givet att har två distinkta heltalslösningar och hitta produkten . (Källa)

Olympiad

• Bestäm det maximala värdet av , där och är heltal som uppfyller och . (Källa)
• Lös ekvationen .

i heltal.