Det finns tre grundläggande operationer som används på raderna i en matris när du använder matrisen för att lösa ett system av linjära ekvationer . Målet är vanligtvis att få den vänstra delen av matrisen att se ut som identitetsmatrisen .
De tre operationerna är:
- Byte av rader
- Multiplikation av en rad med ett tal
- Addition av rader
Byte av rader
Du kan byta rader i en matris för att få en ny matris.
→
I exemplet ovan flyttar vi rad 1 till rad 2 , rad 2 till rad 3 och rad 3 till rad 1 . (Anledningen till att vi gör detta är för att få en 1 i det övre vänstra hörnet.)
Multiplicera en rad med ett tal
Du kan multiplicera vilken rad som helst med ett tal. (Detta innebär att du multiplicerar varje post i raden med samma tal.)
→ R 3 : 1 3 R 3
I det här exemplet har vi multiplicerat rad 3 i matrisen med 1 3 . (Detta ger oss den 1 som vi behöver i rad 3 , kolumn 3 .)
Addera rader
Du kan också addera två rader tillsammans och ersätta en rad med resultatet.
Till exempel, i matrisen som resulterade i förra exemplet, kan vi addera raderna 2 och 3 tillsammans, post för post:
+ _
Därefter ersätter vi rad 2 med resultatet.
→ R 2 : R 2 + R 3
Addera multiplar av rader
Vi sa att det bara fanns tre operationer, och det finns det. Men genom att använda de två sista operationerna i kombination kan vi lägga till hela multiplar av rader till andra rader, så att det går snabbare.
Backa tillbaka ett steg, så att vi har matrisen:
Istället för att bara addera rad 2 + rad 3 , addera nu rad 2 + ( 2 × rad 3 ) :
+ _
Ersätt sedan rad 2 med resultatet.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
På detta sätt får vi en 0 i rad 2 , kolumn 3 .
Vi kan göra detta igen för att få ett 0 i rad 2 , kolumn 1 . Här multiplicerar vi rad 1 med – 2 , adderar det till rad 2 och ersätter rad 2 med resultatet.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Vi visar ytterligare några steg, för att få fram identitetsmatrisen 3 × 3 till vänster (och därmed lösa systemet).
Nästa steg är att addera rad 2 + ( 4 × rad 3 ) för att få ett 0 i rad 2 , kolumn 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Därefter behöver vi en nolla i rad 1 , kolumn 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Det sista steget är bara en tillämpning av den andra operationen, att multiplicera en rad med ett tal.
→ 1 3 R 3
Vi har nu lösningen som ordnad trippel ( 1 , 0 , – 2 ) .
Viktig anmärkning: Om de ekvationer som representeras av din ursprungliga matris representerar identiska eller parallella linjer kommer du inte att kunna få fram identitetsmatrisen med hjälp av dessa radoperationer. I detta fall finns lösningen antingen inte eller så finns det oändligt många lösningar till systemet.