BIBLIOGRAFI
I ett optimeringsproblem finns det en (realvärderad) funktion som ska maximeras eller minimeras. Denna funktion kallas ofta målfunktion, en term som tycks ha uppstått inom planering och programmering, särskilt linjär programmering, genom matematikern George Dantzigs (1914-2005) arbete. Före 1947, då Dantzig uppfann det linjära programmeringsproblemet och simplexmetoden för dess lösning, innebar militära logistiska planer, som kallades ”program”, ett storskaligt beslutsfattande baserat på grundregler. Dantzig skapade matematiska modeller för att fånga upp de villkor som måste uppfyllas och ett kriterium för att välja en genomförbar lösning framför en annan. Detta var ett viktigt bidrag till ett viktigt verksamhetsområde. Dantzig inledde en ny era inom beslutsfattandet och förde fram begreppet målfunktion som ett numeriskt matematiskt uttryck för det mål som skulle uppnås genom programmet.
En målfunktion mäter alltså ”godheten” hos en genomförbar vektor, det vill säga en vektor vars koordinater uppfyller alla de påtvingade sidovillkoren, om det finns några. I ett linjärt programmeringsproblem
är målfunktionen den linjära formen p 1x 1 + p 2x 2 + … + pnxn, som t.ex. kan mäta den totala intäkten från försäljningen av mängderna x1, x2, …, xn till enhetspriserna p 1, p 2, … pn. Olikheterna i denna illustration representerar sidovillkor (eller begränsningar) för variablerna x 1, x 2, …, xn.
Detta betyder inte att alla målfunktioner (eller alla begränsningar) är av denna typ. De kan vara linjära eller icke-linjära, beroende på hur godhet definieras i det tillämpade sammanhanget. Den funktion som minimeras i en parameteruppskattning med hjälp av kriteriet ”minsta kvadrat” är ett exempel på en icke-linjär (egentligen kvadratisk) målfunktion. I problem av detta slag kan de aktuella ”variablerna” vara ”fria” (utan begränsningar) eller begränsade. I det icke-linjära fallet blir konvexiteten (eller bristen på den) en viktig fråga ur optimeringsteoretisk synvinkel.
Det underliggande begreppet målfunktion – under ett annat namn eller utan något namn alls – har funnits i århundraden innan Dantzig införde denna särskilda terminologi. Man behöver bara erinra sig multiplikatormetoden som utarbetades av Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) för jämlikhetsbegränsade optimeringsproblem. Många synonyma termer används. Bland de mer abstrakta är maximand för maximeringsproblem och minimand för minimeringsproblem. Dessa termer kan användas i respektive optimeringsproblem oavsett tillämpning. Inom tillämpade områden som ekonometri finner man termen kriteriefunktion. Ytterligare andra med en uppenbar koppling till ekonomi är social välfärdsfunktion, ekonomisk välfärdsfunktion, förlustfunktion och vinstfunktion. Ytterligare exempel som kommer från andra områden är distansfunktion och flödesvärde; poängen är att den term som används i stället för målfunktion kan hänvisa till vad den mäter.
Se även Koopmans, Tjalling; Maximering; Preferenser; Preferenser, interdependerande; Principal-Agent-modeller; Programmering, linjär och icke-linjär; Rationalitet; Representativ agent; Sociala välfärdsfunktioner; Nyttofunktion
BIBLIOGRAFIK
Bergson, Abram. 1938. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. Quarterly Journal of Economics 52: 310-334.
Dantzig, George B. 1963. Linear Programming and Extensions. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson och Robert M. Solow. 1958. Linear Programming and Economic Analysis. New York: McGraw-Hill.
Koopmans, Tjalling C. 1951. Introduktion. I Activity Analysis of Production and Allocation, red. Tjalling C. Koopmans, 1-12. New York: Wiley.
Lagrange, Joseph-Louis. 1797. Théorie des fonctions analytiques. Paris: Imprimerie de la République.
Lange, Oskar. 1942. Välfärdsekonomins grunder. Econometrica 10: 215-228.
Wood, Marshall K. och George B. Dantzig. 1951. Programmering av ömsesidigt beroende verksamheter: General Discussion. I Activity Analysis of Production and Allocation, red. Tjalling C. Koopmans, 15-18. New York: Wiley.
Richard W. Cottle