Leibniz

7.8.1 Efterfrågans elasticitet

Efterfrågans priselasticitet mäter hur känslig den efterfrågade kvantiteten är för priset: den anger den procentuella förändringen av den efterfrågade kvantiteten när priset förändras med 1 %. I denna Leibniz definierar vi elasticiteten med hjälp av kalkyl och visar hur ett företags prisbeslut beror på elasticiteten hos den efterfrågan som företaget möter.

Det finns två sätt att skriva en efterfrågefunktion. Tidigare har vi beskrivit efterfrågan på vackra bilar med hjälp av den omvända efterfrågefunktionen:

där är det pris till vilket företaget kan sälja exakt bilar. För att definiera elasticiteten är det bekvämare att skriva efterfrågefunktionen i sin direkta form:

är den mängd vackra bilar som efterfrågas om priset är . (Funktionen är den omvända funktionen av ; matematiskt kan vi skriva .)

Derivatan av efterfrågefunktionen är . Detta är ett sätt att mäta hur mycket konsumenternas efterfrågan förändras som svar på en prisförändring. Men det är inte ett särskilt användbart mått, eftersom det beror på i vilka enheter och mäts. Vi skulle till exempel få ett annat svar om priset var i euro i stället för i dollar.

Istället definierade vi efterfrågans priselasticitet i texten som:

Detta är ett mer användbart mått på efterfrågans respons på priset. Du kan se av definitionen att det är oberoende av måttenheterna. Men det är nära besläktat med derivatan -för att se detta, anta att priset ändras från till , vilket leder till att den efterfrågade kvantiteten ändras från till . Den procentuella förändringen av priset är , och den procentuella förändringen av kvantiteten är . Genom att ersätta dessa i uttrycket för elasticiteten får vi:

Om vi tar gränsen för detta uttryck som ger oss kalkyldefinitionen av efterfrågans priselasticitet, som vi betecknar med som i texten:

Och eftersom , kan elasticiteten också skrivas som:

Bemärk att värdet på elasticiteten normalt är positivt, eftersom derivatan av efterfrågefunktionen enligt efterfrågelagen kommer att vara negativ.

När den definieras på detta sätt, med hjälp av kalkyl, är den bara ungefär densamma som vår ursprungliga definition av elasticiteten som den procentuella minskningen av den efterfrågade kvantiteten när priset stiger med 1 %. Men under det rimliga antagandet att 1 % är en liten mängd är det en nära approximation, och vi tolkar det ofta på det sättet.

Konsultera efterfrågefunktionen:

Här,

I det här speciella fallet är efterfrågeelasticiteten konstant – den är lika med i alla punkter på efterfrågekurvan.

I allmänhet är elasticiteterna inte konstanta. De varierar när vi rör oss längs efterfrågekurvan. Men exemplet ovan illustrerar ett specialfall. Om formen för efterfrågefunktionen är , där och är positiva konstanter, är efterfrågeelasticiteten . Detta är den enda klassen av efterfrågefunktioner för vilka elasticiteten är konstant.

Uttrycka elasticiteten i termer av kvantitet

Ett annat uttryck för efterfrågeelasticiteten kan erhållas genom att återgå till den omvända efterfrågefunktionen . Enligt regeln för invers funktion,

så

Ett andra exempel: Anta att Beautiful Cars står inför den inversa efterfrågefunktionen

som i figur 7.15 i texten. Med hjälp av uttrycket ovan är efterfrågeelasticiteten:

Alternativt kan vi uttrycka elasticiteten i termer av pris: , så

Varje av de två uttrycken för visar att den sjunker när vi rör oss åt höger längs efterfrågekurvan, vilket ökar och minskar . Detta gäller för varje linjär efterfrågefunktion, eftersom resultatet är att närmar sig närmar sig närmar sig och närmar sig närmar sig närmar sig sitt maximala värde, där . Om Beautiful Cars alltså bara säljer två bilar per dag till ett pris av 7 840 dollar är efterfrågeelasticiteten 49, medan om företaget säljer 95 bilar per dag genom att ta ut endast 400 dollar per bil, till tre decimaler.

Elasticitet och marginalintäkt

Vi såg i Leibniz 7.6.1 att om Beautiful Cars omvända efterfrågefunktion är , är dess intäktsfunktion

och att marginalintäkten (MR) definieras på följande sätt:

Omskriv detta uttryck med hjälp av formeln och med hjälp av det faktum att , ser vi att det finns ett samband mellan marginalintäkten och efterfrågeelasticiteten:

Detta innebär att marginalintäkten kommer att vara positiv om , negativ om .

Som vi noterade i texten sägs att efterfrågan är elastisk om , oelastisk om . Det andra exemplet visar att efterfrågan kan vara elastisk och oelastisk vid olika punkter på samma efterfrågekurva. Det vi just har visat är att marginalintäkten är positiv om, och endast om, företaget verkar på den del av efterfrågekurvan där efterfrågan är elastisk. I synnerhet kommer detta att vara fallet om företaget maximerar sin vinst och därför väljer sin produktion så att den är lika med marginalintäkten och marginalkostnaden, eftersom marginalkostnaden är positiv.

Marginalkostnaden

Hålls i minnet från Leibniz 7.6.1 att villkoret av första ordningen för vinstmaximering är , där är marginalkostnaden. Med hjälp av formeln för marginalintäkten som vi just har härlett kan vi skriva första ordningens villkor på följande sätt:

Med hjälp av omformulering,

Den vänstra sidan i denna ekvation är företagets vinstmarginal – det vill säga vinstmarginalen som en andel av priset. Ekvationen säger oss att vinstmarginalen (vid den vinstmaximerande punkten) kommer att vara större ju mindre efterfrågeelasticiteten är. Om t.ex. efterfrågans elasticitet är optimal, är det ett påslag på , medan en efterfrågeelasticitet på innebär att påslaget är , så företaget kommer att sätta sitt pris till fem gånger marginalkostnaden. Det omvända förhållandet mellan pålägget och efterfrågans priselasticitet illustreras av figurerna 7.16 och 7.17 i texten, som återges nedan som figur 1.