De partiella summorna av 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ är 1, 3, 7, 15, …; eftersom dessa divergerar mot oändligheten, gör serien det också.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Därmed ger alla helt reguljära summeringsmetoder en summa i oändlighet, inklusive Cesàro-summan och Abelsumman. Å andra sidan finns det åtminstone en allmänt användbar metod som summerar 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ till det ändliga värdet -1. Den tillhörande potensserien
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}}
har en konvergensradie runt 0 på endast 1/2, så den konvergerar inte vid x = 1. Icke desto mindre har den så definierade funktionen f en unik analytisk fortsättning till det komplexa planet med punkten x = 1/2 borttagen, och den ges genom samma regel f(x) = 1/1 – 2x. Eftersom f(1) = -1 sägs den ursprungliga serien 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ vara summerbar (E) till -1, och -1 är seriens (E) summa. (Notationen beror på G. H. Hardy med hänvisning till Leonhard Eulers tillvägagångssätt för divergerande serier).
Ett nästan identiskt tillvägagångssätt (det som Euler själv använde sig av) är att betrakta de potensserier vars koefficienter alla är 1, dvs.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}}}
och sätta in y = 2. Dessa två serier är relaterade genom substitutionen y = 2x.
Det faktum att (E) summering tilldelar ett ändligt värde till 1 + 2 + 4 + 8 + … visar att den allmänna metoden inte är helt regelbunden. Å andra sidan har den några andra önskvärda egenskaper för en summeringsmetod, bland annat stabilitet och linjäritet. Dessa två sistnämnda axiom tvingar faktiskt summan att vara -1, eftersom de gör följande manipulation giltig:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}}
I en användbar mening är s = ∞ en rot till ekvationen s = 1 + 2s. (Till exempel är ∞ en av de två fasta punkterna för Möbius-transformationen z → 1 + 2z på Riemann-sfären). Om man vet att någon summeringsmetod ger ett vanligt tal för s, dvs. inte ∞, är det lätt att bestämma det. I detta fall kan s subtraheras från båda sidor av ekvationen, vilket ger 0 = 1 + s, så s = -1.
Den ovanstående manipulationen kan användas för att få fram -1 utanför ramen för en tillräckligt kraftfull summeringsmetod. För de mest välkända och okomplicerade summakoncepten, inklusive det grundläggande konvergerande, är det absurt att en serie av positiva termer skulle kunna ha ett negativt värde. Ett liknande fenomen uppträder med den divergerande geometriska serien 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, där en serie av heltal tycks ha den icke-integrala summan 1/2. Dessa exempel illustrerar den potentiella faran med att tillämpa liknande argument på de serier som impliceras av sådana återkommande decimaler som 0,111… och framför allt 0,999…. Argumenten är i slutändan berättigade för dessa konvergerande serier, som innebär att 0,111… = 1/9 och 0,999… = 1, men de underliggande bevisen kräver noggrant tänkande om tolkningen av oändliga summor.
Det är också möjligt att betrakta dessa serier som konvergerande i ett annat talsystem än de reella talen, nämligen de 2-adiska talen. Som en serie av 2-adiska tal konvergerar denna serie till samma summa, -1, som härleddes ovan genom analytisk fortsättning.