Existují 3 základní operace, které se používají s řádky matice při řešení soustavy lineárních rovnic . Cílem je obvykle dosáhnout toho, aby levá část matice vypadala jako matice identity .
Tyto tři operace jsou následující:
- Přepínání řádků
- Násobení řádku číslem
- Sčítání řádků
Přepínání řádků
Řádky matice můžete přepínat a získat tak novou matici.
→
Ve výše uvedeném příkladu přesuneme řádek 1 do řádku 2 , řádek 2 do řádku 3 a řádek 3 do řádku 1 . (Důvodem tohoto postupu je získání jedničky v levém horním rohu.)
Násobení řádku číslem
Libovolný řádek můžete vynásobit číslem. (To znamená, že každou položku v řádku vynásobíme stejným číslem.)
→ R 3 : 1 3 R 3
V tomto příkladu jsme řádek 3 matice vynásobili číslem 1 3 . (Tím jsme získali 1, kterou potřebujeme v řádku 3 , sloupci 3 .)
Sčítání řádků
Můžete také sečíst dva řádky a nahradit řádek výsledkem.
Například v matici, která vznikla v minulém příkladu, můžeme sečíst řádky 2 a 3, položku po položce:
+ _
Poté nahradíme řádek 2 výsledkem.
→ R 2 : R 2 + R 3
Sčítání násobků řádků
Řekli jsme, že existují pouze tři operace, a jsou. Ale pomocí kombinace posledních dvou operací můžeme k ostatním řádkům přidávat celé násobky řádků, aby to šlo rychleji.
Vraťme se o krok zpět, takže máme matici:
Nyní místo pouhého sečtení řádku 2 + řádku 3 , sečteme řádek 2 + ( 2 × řádek 3 ) :
+ _
Pak nahradíme řádek 2 výsledkem.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
Tímto způsobem získáme 0 v řádku 2 , sloupci 3 .
Tento postup můžeme zopakovat, abychom získali 0 v řádku 2 , sloupci 1 . Zde vynásobíme Řádek 1 číslem – 2 , přičteme jej Řádku 2 , a výsledkem nahradíme Řádek 2 .
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Ukážeme si ještě několik kroků, abychom získali vlevo matici identity 3 × 3 (a tím vyřešili soustavu).
Dalším krokem je sečtení řádku 2 + ( 4 × řádek 3 ), abychom získali 0 v řádku 2 , sloupci 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Dále potřebujeme nulu v řádku 1 , sloupci 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
Poslední krok je jen aplikací druhé operace, vynásobení řádku číslem.
→ 1 3 R 3
Nyní máme řešení jako uspořádanou trojici ( 1 , 0 , – 2 ) .
Důležitá poznámka: Pokud rovnice reprezentované vaší původní maticí představují shodné nebo rovnoběžné přímky, nebudete moci pomocí těchto řádkových operací získat matici identity. V takovém případě řešení buď neexistuje, nebo má soustava nekonečně mnoho řešení.