Voor een volledig bewijs, zie het artikel over wederkerigheid (elektromagnetisme). Hier wordt een algemeen eenvoudig bewijs gegeven dat beperkt blijft tot de benadering van twee antennes die op een grote afstand van elkaar staan in vergelijking met de grootte van de antenne, in een homogeen medium. De eerste antenne is de testantenne waarvan de patronen moeten worden onderzocht; deze antenne is vrij om in alle richtingen te wijzen. De tweede antenne is een referentie-antenne, die star op de eerste antenne is gericht.
Elke antenne is afwisselend aangesloten op een zender met een bepaalde bronimpedantie, en een ontvanger met dezelfde ingangsimpedantie (de impedantie kan tussen de twee antennes verschillen).
Aanname is dat de twee antennes ver genoeg uit elkaar staan, zodat de eigenschappen van de zendantenne niet worden beïnvloed door de belasting die er door de ontvangstantenne op wordt uitgeoefend. Bijgevolg kan de hoeveelheid vermogen die van de zender naar de ontvanger wordt overgebracht, worden uitgedrukt als het produkt van twee onafhankelijke factoren; de ene afhankelijk van de richtingskarakteristieken van de zendantenne, en de andere afhankelijk van de richtingskarakteristieken van de ontvangstantenne.
Voor de zendantenne geldt, volgens de definitie van versterking, G {\displaystyle G}
, de stralingsvermogensdichtheid op een afstand r {\displaystyle r}
van de antenne (d.w.z. het vermogen dat door een oppervlakte-eenheid gaat) is W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {\displaystyle \mathrm {W} (\theta,\Phi )={\frac {\mathrm {G} (\theta,\Phi )}{4\pi r^{2}}P_{t}}
.
Hierbij zijn de hoeken θ {\theta}
en Φ {{displaystyle \Phi }}}
.
geven een afhankelijkheid aan van de richting vanaf de antenne, en P t {{t}}
staat voor het vermogen dat de zender in een aangepaste belasting zou leveren. De versterking G {Displaystyle G}
kan worden opgesplitst in drie factoren: de antenneversterking (de gerichte herverdeling van het vermogen), de stralingsefficiëntie (rekening houdend met de ohmse verliezen in de antenne), en tenslotte het verlies door de misaanpassing tussen antenne en zender. Strikt genomen zou men, om de misaanpassing mee te rekenen, de gerealiseerde versterking moeten noemen, maar dit is geen gebruikelijk gebruik.
Voor de ontvangstantenne is het aan de ontvanger geleverde vermogen
P r = A ( θ , Φ ) W {Displaystyle P_{r}= {A} (\theta ,\Phi )W,}
.
Hier W {\an8}
de vermogensdichtheid van de invallende straling, en A {{\displaystyle A}
de antenne-opening of het effectieve oppervlak van de antenne is (het oppervlak dat de antenne zou moeten innemen om het waargenomen opgevangen vermogen te onderscheppen). De richtingsargumenten zijn nu relatief ten opzichte van de ontvangende antenne, en ook hier is A {Displaystyle A}
wordt genomen om de ohmse verliezen en de verliezen door mismatch mee te rekenen.
Als we deze uitdrukkingen samenvoegen, wordt het vermogen dat van de zender naar de ontvanger wordt overgebracht
P r = A G 4 π r 2 P t {Displaystyle P_{r}=A{\frac {G}{4\pi r^{2}}P_{t}}
,
waarbij G {{{4}}}
en A {\anaam A}
zijn richtingsafhankelijke eigenschappen van respectievelijk de zendende en de ontvangende antenne. Voor de transmissie van de referentieantenne (2) naar de testantenne (1) geldt P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {\displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} (\theta , \Phi ){\frac {G_{2}}{4\pi r^{2}}}P_{2t}}
,
en voor transmissie in tegengestelde richting
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π r 2 P 1 t {Displaystyle P_{2r}=A_{2}{\frac {\mathrm {G_{1}} (\theta,\Phi )}{4\pi r^{2}}}P_{1t}}
.
Hierbij is de versterking G 2 {{2}}
en de effectieve oppervlakte A 2 {\displaystyle A_{2}}
van antenne 2 liggen vast, omdat de oriëntatie van deze antenne vast ligt ten opzichte van de eerste.
Nu voor een gegeven opstelling van de antennes vereist de reciprociteitstheorie dat de vermogensoverdracht in elke richting even effectief is, d.w.z.
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {\displaystyle {\frac {P_{1r}}{P_{2t}}={\frac {P_{2r}}{P_{1t}}}}
,
waardoor
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {\displaystyle {\frac {A_{1}} (\theta,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta,\Phi )}}={\frac {A_{2}}{G_{2}}}}
.
Maar het rechterlid van deze vergelijking ligt vast (omdat de oriëntatie van antenne 2 vastligt), en dus
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {A_{1}} (\theta ,\Phi )}{\mathrm {G_{1}} (\theta,\Phi )}}= {mathrm {constant}} }
,
d.w.z. dat de richtingsafhankelijkheid van de effectieve apertuur (voor ontvangst) en de versterking (voor zenden) identiek zijn (QED). Bovendien is de evenredigheidsconstante dezelfde, ongeacht de aard van de antenne, en moet dus voor alle antennes gelijk zijn. Analyse van een bepaalde antenne (zoals een Hertz-dipool) toont aan dat deze constante λ 2 4 π {\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}
, waarbij λ {\displaystyle \lambda }
de golflengte in de vrije ruimte is. Voor een willekeurige antenne zijn de versterking en de effectieve opening dus gerelateerd door A ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {\displaystyle \mathrm {A} (\theta ,\Phi )={\frac {\lambda ^{2}\mathrm {G} (\theta,\Phi )}{4\pi }}
.
Zelfs voor een ontvangantenne is het gebruikelijker de versterking te vermelden dan de effectieve apertuur. Het aan de ontvanger afgegeven vermogen wordt daarom gewoonlijk geschreven als
P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {Displaystyle P_{r}={\frac {\lambda ^{2}G_{r}G_{t}}{(4 π r)^{2}}}P_{t}}
(zie link budget). De effectieve apertuur is echter van belang voor de vergelijking met de werkelijke fysieke afmetingen van de antenne.
Praktische consequentiesEdit
- Bij het bepalen van het patroon van een ontvangstantenne met behulp van computersimulatie is het niet nodig om voor elke mogelijke invalshoek een berekening uit te voeren. In plaats daarvan wordt het stralingspatroon van de antenne bepaald door een enkele simulatie, en het ontvangstpatroon door wederkerigheid afgeleid.
- Wanneer het patroon van een antenne door meting wordt bepaald, kan de antenne ofwel ontvangend ofwel zendend zijn, afhankelijk van wat het handigst is.
- Voor een praktische antenne moet het niveau van de zijlob minimaal zijn, het is noodzakelijk om de maximale richtingsgevoeligheid te hebben.