Een ring in wiskundige zin is een verzameling 
samen met twee binaire operatoren 
en 
(gewoonlijk geïnterpreteerd als respectievelijk optellen en vermenigvuldigen) die aan de volgende voorwaarden voldoen:
1. Additieve associativiteit: Voor alle 
, 
,
2. Additieve commutativiteit: Voor alle 
, 
,
3. Additieve identiteit: Er bestaat een element 
zodanig dat voor alle 
, 
,
4. Additieve inverse: Voor elke 
bestaat 
zodanig dat 
,
5. Links en rechts distributiviteit: Voor alle 
, 
en 
,
6. Multiplicatieve associativiteit: Voor alle 
, 
(een ring die aan deze eigenschap voldoet, wordt soms expliciet een associatieve ring genoemd).
Voorwaarde 1-5 zijn altijd vereist. Hoewel er niet-associatieve ringen bestaan, vereisen vrijwel alle teksten ook voorwaarde 6 (Itô 1986, pp. 1369-1372; p. 418; Zwillinger 1995, pp. 141-143; Harris en Stocker 1998; Knuth 1998; Korn en Korn 2000; Bronshtein en Semendyayev 2004).
Ringen kunnen ook aan verschillende optionele voorwaarden voldoen:
7. Multiplicatieve commutativiteit: Voor alle 
, 
(een ring die aan deze eigenschap voldoet, wordt een commutatieve ring genoemd),
8. Multiplicatieve identiteit: Er bestaat een element 
zodanig dat voor alle 
, 
(een ring die aan deze eigenschap voldoet, heet een eenheidsring, of soms een “ring met identiteit”),
9. Multiplicatieve inverse: Voor elke 
in 
bestaat er een element 
zodat voor alle 
, 
, waarbij 1 het identiteits-element is.
Een ring die aan alle bijkomende eigenschappen 6-9 voldoet, heet een veld, terwijl een ring die alleen aan de bijkomende eigenschappen 6, 8 en 9 voldoet, een delingsalgebra (of scheefveld) heet.
Enkele auteurs wijken af van de normale conventie en eisen (volgens hun definitie) dat een ring bijkomende eigenschappen omvat. Birkhoff en Mac Lane (1996) definiëren bijvoorbeeld dat een ring een multiplicatieve identiteit moet hebben (d.w.z. eigenschap 8).
Hiernaast volgen een aantal voorbeelden van ringen waaraan bepaalde voorwaarden ontbreken:
1. Zonder multiplicatieve associativiteit (soms ook niet-associatieve algebra’s genoemd): octonionen, OEIS A037292,
2. Zonder multiplicatieve commutativiteit: Reële matrices 
, quaternionen,
3. Zonder vermenigvuldigingsidentiteit: gehele getallen van gelijke waarde,
4. Zonder multiplicatieve inverse: gehele getallen.
Het woord ring is een afkorting van het Duitse woord “Zahlring” (getallenring). Het Franse woord voor een ring is anneau, en het moderne Duitse woord is Ring, beide betekenen (niet zo verwonderlijk) “ring”. Fraenkel (1914) gaf de eerste abstracte definitie van de ring, hoewel dit werk niet veel impact had. De term werd door Hilbert geïntroduceerd om ringen te beschrijven als
Door achtereenvolgens het nieuwe element 
te vermenigvuldigen, wordt het uiteindelijk een lus om iets te worden dat al gegenereerd is, zoiets als een ring, dat wil zeggen, 
is nieuw maar 
is een geheel getal. Alle algebraïsche getallen hebben deze eigenschap, bijv. 
voldoet aan 
.
Een ring moet minstens één element bevatten, maar hoeft geen vermenigvuldigende identiteit te bevatten of commutatief te zijn. Het aantal eindige ringen met 
elementen voor 
, 2, …, zijn 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 4, … (OEIS A027623 en A037234; Fletcher 1980). Als 
en 
priem zijn, zijn er twee ringen van grootte 
, vier ringen van grootte 
, 11 ringen van grootte 
(Singmaster 1964, Dresden), 22 ringen van grootte 
, 52 ringen van grootte 
voor 
, en 53 ringen van grootte 
voor 
(Ballieu 1947, Gilmer en Mott 1973; Dresden).
Een ring die commutatief is onder vermenigvuldiging, een eenheidselement heeft, en geen delers van nul heeft, heet een integraal domein. Een ring waarvan de niet-nul-elementen een commutatieve vermenigvuldigingsgroep vormen, heet een veld. De eenvoudigste ringen zijn de gehele getallen 
, de veeltermen 
en 
in één en twee variabelen, en de vierkante reële matrices 
.
Ringen die onderzocht en interessant bevonden zijn, worden gewoonlijk genoemd naar één of meer van hun onderzoekers. Deze praktijk leidt helaas tot namen die weinig inzicht geven in de relevante eigenschappen van de geassocieerde ringen.
Renteln en Dundes (2005) geven de volgende (slechte) wiskundige grap over ringen:
Q: Wat is een Abeliaanse groep onder additie, gesloten,associatief, distributief, en draagt een vloek? A: De Ring van de Nibelung.