Er zijn 3 basisbewerkingen die gebruikt worden op de rijen van een matrix als je de matrix gebruikt om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen . Het doel is meestal om het linkerdeel van de matrix te laten lijken op de identiteitsmatrix .
De drie bewerkingen zijn:
- Rijen verwisselen
- Een rij vermenigvuldigen met een getal
- Rijen optellen
Rijen verwisselen
Je kunt de rijen van een matrix verwisselen om een nieuwe matrix te krijgen.
→
In het voorbeeld hierboven verplaatsen we Rij 1 naar Rij 2 , Rij 2 naar Rij 3 , en Rij 3 naar Rij 1 . (De reden om dit te doen is om een 1 in de linkerbovenhoek te krijgen.)
Een rij vermenigvuldigen met een getal
U kunt elke rij met een getal vermenigvuldigen. (Dit betekent dat elke rij met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd.)
→ R 3 : 1 3 R 3
In dit voorbeeld hebben we rij 3 van de matrix vermenigvuldigd met 1 3 . (Dit geeft ons de 1 die we nodig hebben in rij 3 , kolom 3 .)
Rijen optellen
Je kunt ook twee rijen bij elkaar optellen, en een rij vervangen door het resultaat.
Bijvoorbeeld, in de matrix uit het laatste voorbeeld kunnen we rij 2 en 3 bij elkaar optellen, rij voor rij:
+ _
Daarna vervangen we rij 2 door het resultaat.
→ R 2 : R 2 + R 3
Vermenigvuldigen van rijen optellen
We zeiden dat er maar drie bewerkingen waren, en dat is ook zo. Maar door de laatste twee bewerkingen in combinatie te gebruiken, kunnen we hele veelvouden van rijen toevoegen aan andere rijen, om het sneller te laten gaan.
Een stap terug, zodat we de matrix hebben:
Nu in plaats van alleen rij 2 + rij 3 op te tellen, rij 2 + ( 2 × rij 3 ) optellen :
+ _
Vervang dan rij 2 door het resultaat.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
Op deze manier krijgen we een 0 in Rij 2 , Kolom 3 .
We kunnen dit nog eens doen om een 0 te krijgen in Rij 2 , Kolom 1 . Hier vermenigvuldigen we Rij 1 met – 2 , tellen dit op bij Rij 2 , en vervangen Rij 2 door het resultaat.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
We zetten nog een paar stappen, om de 3 × 3 identiteitsmatrix links te krijgen (en zo het stelsel op te lossen).
De volgende stap is het optellen van Rij 2 + ( 4 × Rij 3 ) om een 0 te krijgen in Rij 2 , Kolom 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Vervolgens hebben we een nul nodig in Rij 1 , Kolom 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
De laatste stap is gewoon een toepassing van de tweede bewerking, het vermenigvuldigen van een rij met een getal.
→ 1 3 R 3
We hebben nu de oplossing als geordend drietal ( 1 , 0 , – 2 ) .
Belangrijke opmerking: Als de vergelijkingen in uw oorspronkelijke matrix identieke of parallelle lijnen voorstellen, kunt u de identiteitsmatrix niet verkrijgen met deze rijbewerkingen. In dat geval bestaat de oplossing niet of zijn er oneindig veel oplossingen voor het stelsel.