Leibniz

7.8.1 De elasticiteit van de vraag

De prijselasticiteit van de vraag meet de gevoeligheid van de gevraagde hoeveelheid voor de prijs: zij vertelt ons de procentuele verandering in de gevraagde hoeveelheid wanneer de prijs met 1% verandert. In deze Leibniz definiëren we de elasticiteit met behulp van calculus, en laten we zien hoe de prijsbeslissingen van een bedrijf afhangen van de elasticiteit van de vraag waarmee het te maken krijgt.

Er zijn twee manieren om een vraagfunctie te schrijven. Eerder hebben we de vraag naar mooie auto’s beschreven met behulp van de inverse vraagfunctie:

waarbij de prijs de prijs is waartegen de onderneming precies auto’s kan verkopen. Om de elasticiteit te definiëren is het handiger de vraagfunctie in haar directe vorm te schrijven:

is de gevraagde hoeveelheid mooie auto’s als de prijs . (De functie is de inverse functie van ; mathematisch kunnen we schrijven .)

De afgeleide van de vraagfunctie is . Dit is een manier om te meten hoeveel de vraag van de consument verandert als reactie op een verandering in de prijs. Maar het is geen erg bruikbare maatstaf, omdat hij afhangt van de eenheden waarin en worden gemeten. We zouden bijvoorbeeld een ander antwoord krijgen als de prijs in euro’s was, in plaats van in dollars.

In plaats daarvan hebben we de prijselasticiteit van de vraag in de tekst gedefinieerd als:

Dit is een bruikbaarder maatstaf voor de responsiviteit van de vraag op de prijs. Uit de definitie blijkt dat zij onafhankelijk is van de meeteenheden. Maar het is nauw verbonden met de afgeleide – om dit te zien, veronderstel dat de prijs verandert van tot , waardoor de gevraagde hoeveelheid verandert van tot . De procentuele verandering in prijs is , en de procentuele verandering in hoeveelheid is . Wanneer we deze invullen in de uitdrukking voor de elasticiteit, krijgen we:

Nemen we de limiet van deze uitdrukking als, dan krijgen we de calculusdefinitie van de prijselasticiteit van de vraag, die we in de tekst aanduiden met als:

En aangezien , kan de elasticiteit ook worden geschreven als:

Merk op dat de waarde van de elasticiteit normaal positief is, aangezien volgens de wet van de vraag, de afgeleide van de vraagfunctie negatief zal zijn.

Zo gedefinieerd, met gebruikmaking van calculus, is slechts bij benadering hetzelfde als onze oorspronkelijke definitie van de elasticiteit als de procentuele daling van de gevraagde hoeveelheid wanneer de prijs met 1% stijgt. Maar op grond van de redelijke veronderstelling dat 1% een kleine hoeveelheid is, is het een goede benadering, en we interpreteren het vaak zo.

Beschouw de vraagfunctie:

Hier,

In dit specifieke geval is de elasticiteit van de vraag constant – zij is gelijk aan op alle punten van de vraagcurve.

In het algemeen zijn elasticiteiten niet constant. Zij variëren naarmate men zich langs de vraagcurve beweegt. Maar het bovenstaande voorbeeld illustreert een speciaal geval. Als de vorm van de vraagfunctie is , waarbij en positieve constanten zijn, is de elasticiteit van de vraag . Dit is de enige klasse van vraagfuncties waarvoor de elasticiteit constant is.

Expressie van de elasticiteit in termen van hoeveelheid

Een andere uitdrukking voor de elasticiteit van de vraag kan worden verkregen door terug te keren naar de inverse vraagfunctie. Door de regel van de inverse functie,

zo

Een tweede voorbeeld: stel dat Beautiful Cars te maken heeft met de inverse vraagfunctie

zoals in figuur 7.15 van de tekst. Met behulp van bovenstaande uitdrukking is de elasticiteit van de vraag:

Als alternatief kunnen we de elasticiteit uitdrukken in termen van prijs: , dus

Uit elk van de twee uitdrukkingen voor blijkt dat deze afneemt naarmate we naar rechts langs de vraagcurve bewegen, waardoor deze toeneemt en afneemt. Dit is zo voor elke lineaire vraagfunctie, zoals het resultaat dat als nadert en nadert als nadert zijn maximumwaarde, waarbij . Dus als Beautiful Cars slechts twee auto’s per dag verkoopt tegen een prijs van $ 7.840, is de elasticiteit van de vraag 49; terwijl als het bedrijf 95 auto’s per dag verkoopt door slechts $ 400 per auto te vragen, tot drie cijfers achter de komma.

Elasticiteit en marginale opbrengst

We zagen in Leibniz 7.6.1 dat als de inverse vraagfunctie van Beautiful Cars is , haar inkomstenfunctie is

en dat de marginale opbrengst (MR) als volgt wordt gedefinieerd:

Herschrijven we deze uitdrukking met behulp van de formule en met gebruikmaking van het feit dat , dan zien we dat er een verband bestaat tussen de marginale opbrengst en de elasticiteit van de vraag:

Dit impliceert dat de marginale opbrengst positief zal zijn als , negatief als .

Zoals in de tekst werd opgemerkt, is de vraag elastisch als , inelastisch als . Het tweede voorbeeld toont aan dat de vraag elastisch en inelastisch kan zijn op verschillende punten van dezelfde vraagcurve. Wat we zojuist hebben laten zien is dat de marginale opbrengst positief is als, en alleen als, de onderneming actief is op dat deel van de vraagcurve waar de vraag elastisch is. Dit is met name het geval als de onderneming haar winst maximaliseert en dus haar productie zo kiest dat de marginale opbrengst en de marginale kosten gelijk zijn, aangezien de marginale kosten positief zijn.

De winstmarge

Herinner uit Leibniz 7.6.1 dat de eerste-ordevoorwaarde voor winstmaximalisatie is , waarbij de marginale kosten zijn. Met behulp van de formule voor de marginale opbrengst die we zojuist hebben afgeleid, kunnen we de eerste-ordevoorwaarde als volgt schrijven:

Retouren,

Het linkerlid van deze vergelijking is de winstmarge van de onderneming, dat wil zeggen de winstmarge in verhouding tot de prijs. De vergelijking vertelt ons dat de winstmarge (op het winstmaximalisatiepunt) groter zal zijn naarmate de elasticiteit van de vraag kleiner is. Bijvoorbeeld, indien de elasticiteit van de vraag optimaal is, is er een winstmarge van , terwijl een elasticiteit van de vraag van , betekent dat de winstmarge , is zodat de onderneming haar prijs zal vaststellen op vijf maal de marginale kosten. Het omgekeerde verband tussen de winstmarge en de prijselasticiteit van de vraag wordt geïllustreerd door de figuren 7.16 en 7.17 van de tekst, hieronder weergegeven als figuur 1.