BIBLIOGRAPHY
In een optimalisatieprobleem is er een (reële) functie die moet worden gemaximaliseerd of geminimaliseerd. Deze functie wordt vaak de doelfunctie genoemd, een term die schijnt te zijn ontstaan op het gebied van planning en programmering, met name lineaire programmering, door het werk van de wiskundige George Dantzig (1914-2005). Vóór 1947, toen Dantzig het lineaire programmeringsprobleem en de simplexmethode voor de oplossing ervan uitvond, hielden militaire logistieke plannen, “programma’s” genoemd, grootschalige besluitvorming in op basis van basisregels. Dantzig creëerde wiskundige modellen om de voorwaarden vast te leggen waaraan moest worden voldaan en een criterium om de ene haalbare oplossing te verkiezen boven de andere. Daarmee leverde hij een belangrijke bijdrage aan een vitaal werkterrein. Dantzig luidde een nieuw tijdperk van besluitvorming in en introduceerde de term doelfunctie als een numerieke wiskundige uitdrukking voor het doel dat met het programma moest worden bereikt.
Dus meet een doelfunctie de “goedheid” van een haalbare vector, dat wil zeggen een vector waarvan de coördinaten voldoen aan alle opgelegde randvoorwaarden, indien die er zijn. Ter illustratie, in een lineair programmeringsprobleem,
is de doelfunctie de lineaire vorm p 1x 1 + p 2x 2 + … + pnxn, die bijvoorbeeld de totale opbrengst kan meten van de verkoop in de hoeveelheden x1, x2, …, xn tegen eenheidsprijzen p 1, p 2, … pn. De ongelijkheden in deze illustratie vertegenwoordigen nevenvoorwaarden (of beperkingen) voor de variabelen x 1, x 2, …, xn.
Dit wil niet zeggen dat alle doelfuncties (of alle beperkingen) van dit type zijn. Zij kunnen lineair of niet-lineair zijn, afhankelijk van hoe goedheid in de toegepaste context wordt gedefinieerd. De functie die wordt geminimaliseerd in een parameterschatting door het “kleinste-kwadraten”-criterium is een voorbeeld van een niet-lineaire (eigenlijk kwadratische) doelfunctie. Bij dit soort problemen kunnen de “variabelen” in kwestie “vrij” (ongedwongen) of “gedwarsboomd” zijn. In het niet-lineaire geval wordt convexiteit (of het ontbreken daarvan) een belangrijk punt vanuit het oogpunt van de optimaliseringstheorie.
Het onderliggende concept van een doelfunctie – onder een andere naam of helemaal zonder naam – bestond al eeuwen voordat Dantzig deze specifieke terminologie introduceerde. Men hoeft slechts te denken aan de methode van vermenigvuldigingsfactoren die door Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) werd ontwikkeld voor optimalisatieproblemen met gelijkheidsbeperkingen. Er zijn veel synonieme termen in gebruik. Tot de meer abstracte behoren maximand voor maximalisatieproblemen en minimand voor minimalisatieproblemen. Deze termen kunnen worden gebruikt voor de respectieve optimalisatieproblemen, ongeacht de toepassing. In toegepaste gebieden, zoals de econometrie, vindt men de term criteriumfunctie. Andere termen die duidelijk verband houden met de economie zijn sociale welvaartsfunctie, economische welvaartsfunctie, verliesfunctie en winstfunctie. Andere voorbeelden die uit andere gebieden komen zijn distance function en flow value; het punt is dat de term die wordt gebruikt in plaats van objective function kan verwijzen naar wat hij meet.
ZIE OOK Koopmans, Tjalling; Maximization; Preferences; Preferences, Interdependent; Principal-Agent Models; Programming, Linear and Nonlinear; Rationality; Representative Agent; Social Welfare Functions; Utility Function
BIBLIOGRAPHY
Bergson, Abram. 1938. A Reformulation of Certain Aspects of Welfare Economics. Quarterly Journal of Economics 52: 310-334.
Dantzig, George B. 1963. Linear Programming and Extensions. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Dorfman, Robert, Paul A. Samuelson, and Robert M. Solow. 1958. Linear Programming and Economic Analysis. New York: McGraw-Hill.
Koopmans, Tjalling C. 1951. Inleiding. In Activiteitenanalyse van produktie en allocatie, ed. Tjalling C. Koopmans, 1-12. New York: Wiley.
Lagrange, Joseph-Louis. 1797. Théorie des fonctions analytiques. Parijs: Imprimerie de la République.
Lange, Oskar. 1942. De grondslagen van de welzijnseconomie. Econometrica 10: 215-228.
Wood, Marshall K., and George B. Dantzig. 1951. De programmering van onderling afhankelijke activiteiten: Algemene Discussie. In Activity Analysis of Production and Allocation, ed. Tjalling C. Koopmans, 15-18. New York: Wiley.
Richard W. Cottle