De deelsommen van 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ zijn 1, 3, 7, 15, …; aangezien deze naar oneindig divergeren, doet de reeks dat ook.
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {\displaystyle 2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
Elke volkomen regelmatige sommatiemethode geeft dus een som van oneindig, dus ook de Cesàro som en de Abel som. Daarentegen is er ten minste één algemeen bruikbare methode die 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ optelt tot de eindige waarde -1. De bijbehorende machtsreeks
f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}
heeft een convergentiestraal rond 0 van slechts 1/2, dus convergeert het niet bij x = 1. Niettemin heeft de aldus gedefinieerde functie f een unieke analytische voortzetting naar het complexe vlak met het punt x = 1/2 geschrapt, en zij wordt gegeven door dezelfde regel f(x) = 1/1 – 2x. Daar f(1) = -1, zegt men dat de oorspronkelijke reeks 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sommeerbaar (E) is tot -1, en -1 is de (E) som van de reeks. (De notatie is te danken aan G. H. Hardy onder verwijzing naar Leonhard Euler’s benadering van divergente reeksen).
Een bijna identieke benadering (die van Euler zelf) is de machtsreeks te beschouwen waarvan de coëfficiënten alle 1 zijn, d.w.z.e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}}
en y = 2 in te vullen. Deze twee reeksen zijn verbonden door de substitutie y = 2x.
Het feit dat de (E)-sommatie een eindige waarde toekent aan 1 + 2 + 4 + 8 + … toont aan dat de algemene methode niet geheel regelmatig is. Anderzijds bezit zij enkele andere gewenste eigenschappen voor een sommatiemethode, waaronder stabiliteit en lineariteit. Deze laatste twee axioma’s dwingen de som in feite -1 te zijn, want zij maken de volgende manipulatie geldig:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {{displaystyle {{array}{rcl}s&=&{displaystyle 1+2+4+8+16+{array}}&=&{displaystyle 1+2(1+2+4+8+\dots )}&=&{displaystyle 1+2s{array}}
In nuttige zin is s = ∞ een wortel uit de vergelijking s = 1 + 2s. (Zo is ∞ een van de twee vaste punten van de Möbius transformatie z → 1 + 2z op de Riemannsfeer). Als van een sommatiemethode bekend is dat ze voor s een gewoon getal oplevert, dus niet ∞, dan is dat gemakkelijk te bepalen. In dat geval kan s van beide kanten van de vergelijking worden afgetrokken, wat 0 = 1 + s oplevert, dus s = -1.
De bovenstaande manipulatie kan worden gebruikt om -1 te produceren buiten de context van een voldoende krachtige sommatieprocedure. Voor de meest bekende en eenvoudige sommatieconcepten, waaronder de fundamentele convergente, is het absurd dat een reeks positieve termen een negatieve waarde zou kunnen hebben. Een soortgelijk verschijnsel doet zich voor bij de divergente meetkundige reeks 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯, waar een reeks gehele getallen de niet-integere som 1/2 blijkt te hebben. Deze voorbeelden illustreren het potentiële gevaar om gelijksoortige argumenten toe te passen op reeksen met terugkerende decimalen als 0,111… en vooral 0,999…. De argumenten zijn uiteindelijk gerechtvaardigd voor deze convergente reeksen, die impliceren dat 0.111… = 1/9 en 0.999… = 1, maar de onderliggende bewijzen vereisen zorgvuldig nadenken over de interpretatie van eindeloze sommen.
Het is ook mogelijk deze reeksen te zien als convergent in een getallenstelsel dat verschilt van de reële getallen, namelijk de 2-adische getallen. Als een reeks van 2-adische getallen convergeert deze reeks naar dezelfde som, -1, als hierboven is afgeleid door analytische voortzetting.