Leibniz

7.8.1 Pružnost poptávky

Cenová pružnost poptávky měří citlivost poptávaného množství na cenu: udává, o kolik procent se změní poptávané množství při změně ceny o 1 %. V tomto Leibnizu definujeme elasticitu pomocí kalkulu a ukážeme, jak cenová rozhodnutí firmy závisí na elasticitě poptávky, které čelí.

Existují dva způsoby zápisu poptávkové funkce. Dříve jsme popsali poptávku po Krásných autech pomocí inverzní poptávkové funkce:

kde je cena, za kterou může firma prodávat přesně auta. Pro definování elasticity je výhodnější zapsat poptávkovou funkci v přímém tvaru:

je poptávané množství Beautiful Cars, pokud je cena . (Funkce je inverzní funkcí ; matematicky můžeme zapsat .)

Derivace poptávkové funkce je . To je jeden ze způsobů, jak změřit, o kolik se změní poptávka spotřebitelů v reakci na změnu ceny. Není to však příliš užitečná míra, protože závisí na jednotkách, ve kterých se měří a . Například bychom dostali jinou odpověď, kdyby cena byla v eurech, a ne v dolarech.

Na místo toho jsme v textu definovali cenovou elasticitu poptávky takto:

To je užitečnější míra reakce poptávky na cenu. Z definice je vidět, že je nezávislá na jednotkách měření. Úzce však souvisí s derivací -abyste to viděli, předpokládejte, že cena se změní z na , což způsobí změnu poptávaného množství z na . Procentní změna ceny je , a procentní změna množství je . Dosadíme-li je do výrazu pro elasticitu, dostaneme:

Přičemž limita tohoto výrazu jako nám dává kalkulační definici cenové elasticity poptávky, kterou v textu označujeme jako:

A protože , elasticitu lze zapsat také jako:

Všimněte si, že hodnota elasticity je obvykle kladná, protože podle zákona poptávky bude derivace poptávkové funkce záporná.

Pokud je takto definována pomocí kalkulu, je jen přibližně stejná jako naše původní definice elasticity jako procentuálního poklesu poptávaného množství při zvýšení ceny o 1 %. Ale za rozumného předpokladu, že 1 % je malá částka, je to blízká aproximace a často ji tak interpretujeme.

Považte funkci poptávky:

Zde,

v tomto konkrétním případě je elasticita poptávky konstantní – je rovna ve všech bodech poptávkové křivky.

Všeobecně elasticity nejsou konstantní. Mění se s tím, jak se pohybujeme po křivce poptávky. Výše uvedený příklad však ilustruje zvláštní případ. Je-li tvar poptávkové funkce , kde a jsou kladné konstanty, je elasticita poptávky . To je jediná třída poptávkových funkcí, pro kterou je elasticita konstantní.

Vyjádření elasticity ve smyslu množství

Jiný výraz pro elasticitu poptávky lze získat, vrátíme-li se k inverzní poptávkové funkci . Podle pravidla inverzní funkce,

takže

Druhý příklad: Předpokládejme, že Krásná auta čelí inverzní funkci poptávky

jako na obrázku 7.15 v textu. Při použití výše uvedeného výrazu je elasticita poptávky:

Alternativně můžeme elasticitu vyjádřit v závislosti na ceně: Z každého z těchto dvou výrazů pro vyplývá, že klesá, jak se pohybujeme po křivce poptávky doprava, zvyšuje se a snižuje . Tak je tomu u každé lineární poptávkové funkce, neboť výsledkem je, že se blíží, jak se blíží a přibližuje ke své maximální hodnotě, kde . Pokud tedy společnost Beautiful Cars prodává pouze dva vozy denně při ceně 7840 USD, je elasticita poptávky 49; zatímco pokud společnost prodává 95 vozů denně při účtování pouze 400 USD za vůz, na tři desetinná místa

Elasticita a mezní příjem

Viděli jsme v kapitole 7.6. Leibniz.1, že je-li inverzní funkce poptávky Beautiful Cars , je její funkce příjmů

a že mezní příjem (MR) je definován takto:

Přepisem tohoto výrazu pomocí vzorce a s využitím skutečnosti, že , vidíme, že existuje vztah mezi mezním příjmem a elasticitou poptávky:

To znamená, že mezní příjem bude kladný, jestliže , záporný, jestliže .

Jak bylo uvedeno v textu, říká se, že poptávka je elastická, jestliže , neelastická, jestliže . Druhý příklad ukazuje, že poptávka může být elastická a neelastická v různých bodech téže poptávkové křivky. To, co jsme právě ukázali, znamená, že mezní příjem je kladný tehdy a jen tehdy, pokud se firma pohybuje na té části poptávkové křivky, kde je poptávka elastická. Konkrétně tomu tak bude, pokud firma maximalizuje svůj zisk, a proto volí svůj výstup tak, aby se vyrovnal meznímu příjmu a mezním nákladům, protože mezní náklady jsou kladné.

Přirážka

Připomeňme si z Leibnizovy kapitoly 7.6.1, že podmínka prvního řádu pro maximalizaci zisku je , kde je mezní náklad. Pomocí vzorce pro mezní příjem, který jsme právě odvodili, můžeme podmínku prvního řádu zapsat takto:

Převedeno zpět,

Levá strana této rovnice je marže firmy – tj. zisková marže jako podíl ceny. Rovnice nám říká, že marže (v bodě maximalizace zisku) bude tím větší, čím menší je elasticita poptávky. Například pokud je elasticita poptávky v optimu, je marže , zatímco elasticita poptávky , znamená, že marže je , takže firma stanoví cenu ve výši pětinásobku mezních nákladů. Inverzní vztah mezi přirážkou a cenovou elasticitou poptávky ilustrují obrázky 7.16 a 7.17 v textu, které jsou níže reprodukovány jako obrázek 1.

Elasticita obecně

Elasticita je obecný matematický pojem, i když pokud víme, používají ho pouze ekonomové. Předpokládejme, že máme diferencovatelnou funkci , kde a nabývá pouze kladných hodnot. Elasticitu vzhledem k lze definovat takto:

Je to limita poměru

jak se jmenovatel blíží nule. Alternativou, kterou jsme použili v případě cenové elasticity poptávky, je definovat elasticitu jako absolutní hodnotu této meze.

Přečtěte si více: Oddíly 6.4 a 7.4 knihy Malcolma Pembertona a Nicholase Raua. 2015. Matematika pro ekonomy: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.