Kruh

Kruh v matematickém smyslu je množina spolu se dvěma binárními operátory a (běžně interpretovanými jako sčítání, resp. násobení) splňující následující podmínky:

1. Aditivní asociativita: Pro všechny , ,

2. Aditivní komutativita: Pro všechny , ,

3. Aditivní identita: Existuje prvek takový, že pro všechny , ,

4. Aditivní inverze: Pro každý existuje takový, že ,

5. Levá a pravá distributivita: Pro všechny , a platí

6. Multiplikativní asociativita: Pro všechny , (kruh splňující tuto vlastnost se někdy explicitně označuje jako asociativní kruh).

Podmínky 1-5 jsou vždy nutné. Ačkoli existují i neasociativní kruhy, prakticky všechny texty vyžadují také podmínku 6 (Itô 1986, s. 1369-1372; s. 418; Zwillinger 1995, s. 141-143; Harris a Stocker 1998; Knuth 1998; Korn a Korn 2000; Bronshtein a Semendjajev 2004).

Kruhy mohou také splňovat různé nepovinné podmínky:

7. Multiplikativní komutativnost: Pro všechny , (kruh splňující tuto vlastnost se označuje jako komutativní kruh),

8. Multiplikativní identita: Existuje prvek takový, že pro všechny , (kruh splňující tuto vlastnost se označuje jako jednotkový kruh nebo někdy „kruh s identitou“),

9. Multiplikativní inverze: Pro každý v existuje prvek takový, že pro všechny , , kde 1 je prvek identity.

Kruh splňující všechny doplňkové vlastnosti 6-9 se nazývá pole, zatímco kruh splňující pouze doplňkové vlastnosti 6, 8 a 9 se nazývá dělící algebra (nebo šikmé pole).

Někteří autoři se odchylují od běžné konvence a vyžadují (podle své definice), aby kruh obsahoval další vlastnosti. Například Birkhoff a Mac Lane (1996) definují prstenec tak, aby měl multiplikativní identitu (tj. vlastnost 8).

Je zde řada příkladů prstenců, které postrádají konkrétní podmínky:

1. Bez multiplikativní asociativity (někdy se také nazývají neasociativní algebry): oktonióny, OEIS A037292,

2. Bez multiplikativní komutativity: Bez multiplikativní identity:

3:

4. Bez multiplikativní inverze: celá čísla.

Slovo prstenec je zkratkou německého slova „Zahlring“ (číselný kruh). Francouzský výraz pro kroužek je anneau a moderní německý výraz je Ring, přičemž oba znamenají (ne tak překvapivě) „kroužek“. První abstraktní definici prstenu podal Fraenkel (1914), i když tato práce neměla velký dopad. Termín zavedl Hilbert k popisu kruhů typu

Postupným násobením nového prvku se nakonec zacyklí a stane se něčím již vygenerovaným, něčím jako prstenec, tedy je nový, ale je celé číslo. Tuto vlastnost mají všechna algebraická čísla, například splňuje .

Kruh musí obsahovat alespoň jeden prvek, ale nemusí obsahovat multiplikativní identitu ani být komutativní. Počet konečných kruhů prvků pro , 2, …, je 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, …. (OEIS A027623 a A037234; Fletcher 1980). Jsou-li a prvočísla, existují dva kruhy velikosti , čtyři kruhy velikosti , 11 kruhů velikosti (Singmaster 1964, Drážďany), 22 kruhů velikosti , 52 kruhů velikosti pro a 53 kruhů velikosti pro (Ballieu 1947, Gilmer a Mott 1973; Drážďany).

Kruh, který je komutativní při násobení, má jednotkový prvek a nemá dělitele nuly, se nazývá integrální obor. Prstenec, jehož nenulové prvky tvoří komutativní multiplikační grupu, se nazývá pole. Nejjednoduššími kruhy jsou celá čísla , polynomy a v jedné a dvou proměnných a čtvercové reálné matice .

Kruhy, které byly zkoumány a shledány zajímavými, jsou obvykle pojmenovány podle jednoho nebo více jejich badatelů. Tato praxe bohužel vede k názvům, které poskytují jen velmi málo informací o příslušných vlastnostech přidružených kruhů.

Renteln a Dundes (2005) uvádějí následující (špatný) matematický vtip o kruzích:

Q: Jaká je abelovská grupa při sčítání, uzavřená,asociativní, distributivní a nese kletbu? Odpověď: Prstenec Nibelungů.