問題解決の技術 | Tomas Rosprim

ディオファントス方程式とは、整数（または自然数、整数の場合もある）の量子に関する方程式である。

ディオファントス方程式の解または解を見つけることは、モジュラー算術と整数論に密接に結びついている。

ディオファントス方程式は古代ギリシャ/アレクサンドリアの数学者ディオファントスにちなんで名付けられた。二つの比較的素直な整数とをとこの形で書くと、方程式は無限個の解を持つことになる。より一般的には、のとき必ず無限個の解が存在することになる。の場合は、方程式の解は存在しない。その理由を知るために、という方程式を考えてみる。はLHSの約数である（また、は常に整数でなければならないことに注意）。しかし、がの倍数になることはなく、したがって解は存在しない。

ここで、の場合を考えます。したがって、となる。とが相対素数であれば、すべての解はすべての整数に対しての形になるのは明らかである。もしそうでなければ、単にそれらの最大公約数で割ればよい。

ピタゴラスの三重奏

主な記事。ピタゴラスの3連

ピタゴラスの3連とは、ピタゴラスの定理を満たす3つの整数の集合のことである。 2444>

ピタゴラスの方法

が奇数ならはピタゴラス三重である。

プラトンの方法

ならばはピタゴラス三重である。

Babylonian Method

任意のに対して、はピタゴラスの3倍である。

4乗の和

方程式は次のように整数の解がない。この解をとする。もしなら、そのGCDはを満たす必要がある。そうすると、解はより小さい解となり、仮定と矛盾する。従って、この方程式には整数の解がない。

であれば、のケースワークで進めます。

すべての2乗、つまりすべての4乗はかであることに注意してください。この証明はかなり簡単で、自分で示すことができます。

ケース1：

これはを意味し、矛盾が発生します。

Case 2:

これはを意味し、を仮定したので矛盾する。

Case 3: ,

また二乗はまたはのどちらかになると分かっています。したがって、すべての4乗はかのどちらかである。

同様の方法で、以下を示す：

よって、となる。

これは矛盾している。はが奇数であることを意味し、はが偶数であることを意味するからだ。 QED

Pell Equations

主な記事です。ペル方程式

ペル方程式とは、自然数に対する形式のディオファントス方程式の一種である。が完全平方でないときのペル方程式の解はの連続分数展開に接続される。を継続分数の周期、を番目の収束とすると、ペル方程式の解はすべて正の整数に対しての形になります。

解法

座標平面

なお、どんな線形組み合わせも線形方程式に変換でき、それは単に直線の勾配-切片方程式にすぎません。ディオファントス方程式の解は、直線上にある格子点に対応する。例えば、方程式やを考えてみよう。解の1つは(0,1)である。これをグラフにすると、xとyがそれぞれとの同じ倍数だけ増減すると、線が格子点と交差することが簡単にわかる（言葉遣い？）したがって、方程式の解はパラメトリックにと書くことができる（を「出発点」と考えれば）。

モジュラー演算

モジュラー演算は、与えられたディオファントス方程式の解が存在しないことを証明するのに使えることがある。具体的には、ある整数に対して、問題の方程式が決して真にならないmod を示せば、その方程式が偽であることを示したことになる。

帰納法

いくつかの解が見つかったとき、帰納法を用いて解の族を見つけることができる場合がある。無限降下法などの技術は、特定の方程式の解が存在しないこと、または特定の族以外の解が存在しないことを示すこともできる。

一般解

ディオファントス方程式の一般解、すなわち任意のディオファントス方程式の解を見つけるアルゴリズムがあるかどうかを尋ねるのは自然なことである。これはヒルベルトの第10の問題として知られている。しかし、答えはノーである。

フェルマーの最終定理

主な記事フェルマーの最終定理

はという条件からフェルマーの最終定理と呼ばれている。 1600年代、フェルマーはディオファントス方程式の本を読み進める中で、余白に “この命題の実に驚くべき証明があるのだが、この余白は狭すぎて収まらない “という趣旨のコメントを書き残した。フェルマは実際に多くの予想を立て、多くの「定理」を提案したが、証明や走り書きのコメント以外はあまり書き残さない人であった。彼の死後、「フェルマーの最終定理」を除いて、すべての予想が再証明された（嘘か真か）。 350年以上にわたって証明されなかったこの定理は、200ページの証明に7年以上を費やし、さらに元の証明の誤りを修正した後、Andrew Wilesによってようやく証明された。一方の農家がもう一方の農家にお金を借りている場合、豚やヤギで借金を支払い、必要に応じてヤギや豚の形で「おつり」を受け取ります。 (例えば、ドルの借金を豚2匹で支払い、お釣りをヤギ1匹で受け取ることができる)。この方法で解決できる最小の正の借金の額はいくらか。