7.8.1 The elasticity of demand
需要の価格弾力性は、価格に対する需要量の感度を測定し、価格が1%変化したときに需要量が何%変化するかを教えてくれるものである。 このライプニッツでは、微積分を用いて弾力性を定義し、企業の価格決定がどのように需要の弾力性に依存するかを示す。
需要関数の書き方には2通りある。 前回は美しい車の需要を逆需要関数を用いて説明した。
ここで、会社は正確に車を販売することができる価格である。 弾力性を定義するには、需要関数を直接的に書く方が便利である：
は価格が.の場合に求められるビューティフルカーの数量である。 (数学的には.と書くことができる）
需要関数の微分は.である。 これは、価格の変化に対して消費者需要がどの程度変化するかを測定する一つの方法である。 しかし、andをどのような単位で測定するかに依存するため、あまり有用な指標ではない。 たとえば、価格がドルではなくユーロであれば、異なる答えが得られるでしょう。
その代わりに、本文で需要の価格弾力性を次のように定義しました。 定義から、測定単位に依存しないことがおわかりいただけると思います。 しかし、これは導関数と密接な関係があります。これを見るために、価格がからに変化し、需要量がからに変化したとします。 価格の変化率は、であり、数量の変化率は、です。 これを弾力性の式に代入すると、
この式の極限をasとすると、需要の価格弾力性の微積分の定義が得られ、本文ではasと表記する：
また、需要法則によれば、需要関数の微分は負になるので、弾力性の値は通常正であることにも注意。
このように微積分を用いて定義すると、価格が1%上昇したときの需要量の減少率という弾力性の最初の定義とほぼ同じになる。 しかし、1% が少量であるという合理的な仮定に基づけば、これは近似であり、私たちはしばしばそのように解釈します。
需要関数を考えてみましょう。
この特定のケースでは、需要の弾力性は一定で、需要曲線のすべてのポイントで等しくなります。 それらは需要曲線に沿って移動するにつれて変化する。 しかし、上の例は特殊なケースを説明している。 需要関数の形が、 、と正の定数である場合、需要の弾力性は、 。 これは弾力性が一定である需要関数の唯一のクラスである。
弾力性を量で表す
需要の弾力性の別の式は、逆需要関数に戻ることによって得ることができるかもしれない. 逆関数の法則により、
だから
2番目の例として、ビューティフルカーズが本文の図7.15のような逆需要関数
に直面していると仮定する。 上の式を用いると、需要の弾力性は
となる。また、弾力性を価格で表現することもできる。 の2つの式はそれぞれ、需要曲線に沿って右に行くほど低下し、増加、減少することを示している。 これは、すべての線形需要関数についてそうであり、as approaches as approaches as its maximum value, where . したがって、Beautiful Carsが7840ドルの価格で1日に2台しか販売しない場合、需要の弾力性は49である。一方、1台あたり400ドルのみを徴収して1日に95台を販売する場合、小数点以下3桁まで
弾力性と限界収入
私たちはライプニッツ7.6で見た。1で、Beautiful Carsの逆需要関数を 、その収益関数を
とすると、限界収益（MR）は次のように定義される：
この式を式を使って書き直し、 、という事実を使うと、限界収益と需要の弾力性の間に関係があることがわかる：
これは、限界収益は正の場合 、負の場合
本文で述べたように、需要は弾性であるとされるが、非弾性の場合は 。 2つ目の例は、同じ需要曲線の異なる点で需要が弾力的であったり非弾力的であったりすることを示す。 ここで示したのは、需要が弾力的である需要曲線の部分において企業が活動している場合に限り、限界収入が正であることである。 特に、企業が利潤を最大化し、そのために限界収入と限界費用が等しくなるように出力を選択する場合、限界費用が正であるため、そうなる。
マークアップ
ライプニッツ7・6・1より、利益最大化の一次条件は、 、限界費用であることを思い出してほしい。 この式の左辺は企業のマークアップ、つまり価格に対する利潤率の割合である。 この式は、需要の弾力性が小さいほど、（利潤最大化点での）マークアップが大きくなることを教えてくれる。 例えば、需要の弾力性が最適であれば、マークアップは 、一方、需要の弾力性は、マークアップは 、したがって、会社は限界費用の5倍の価格を設定することを意味します。 マークアップと需要の価格弾力性の逆相関は、本文の図7.16と図7.17に示されており、以下に図1として再現する。
図1需要の弾性（上図）と非弾性（下図）による利益最大化の図。
弾力性一般
弾力性は一般的な数学の概念ですが、私たちの知る限りでは経済学者だけが使っています。 ここで微分可能な関数があり、andは正の値のみをとるとします。 に対する弾力性は次のように定義される：
これは分母がゼロに近づくにつれて
比率の限界となる。 需要の価格弾力性の場合に使用した代替案は、弾力性をこの限界の絶対値として定義することである
続きを読む。 Malcolm Pemberton and Nicholas Rauの6.4節と7.4節。 2015. 経済学者のための数学。 入門テキストブック、第4版。 マンチェスター マンチェスター大学出版.
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