1+2+4+8+⋯の部分和は1、3、7、15、…で、これらは無限大に発散するので、系列も同じです。
2 0 + 2 1 + ⋯ + 2 k = 2 k + 1 – 1 {displaystyle 2^{0}+2^{1}+cdots +2^{k}=2^{k+1}-1}
従ってCesàro和、Abel和など完全に正規の和は無限大の和になる。 一方、1 + 2 + 4 + 8 + ⋯を有限の値-1に和す、少なくとも一つの一般に有用な方法がある。 f ( x ) = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + ⋯ + 2 n x n + ⋯ = 1 1 – 2 x {displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+cdots +2^{n}{}x^{n}+cdots ={THEFRAC {1}{1-2x}}} があります。
は0付近の収束半径が1/2しかないので、x=1では収束しない。 それにもかかわらず、そう定義された関数fは点x = 1/2を削除した複素平面への一意の解析的連続を持ち、それは同じ規則f(x) = 1/1 – 2xによって与えられる。 f(1) = -1なので，元の級数1 + 2 + 4 + 8 + ⋯は-1まで(E)和可能であるといい，-1はその(E)和である． (この表記はG. H. Hardyによるもので、Leonhard Eulerの発散級数へのアプローチを参照)
ほぼ同じアプローチ(Euler自身によるもの)として、係数がすべて1である冪級数を考えることができる。e.
1 + y + y 2 + y 3 + ⋯ = 1 1 – y {displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+cdots ={theatfrac {1}{1-y}}}}.
そして、y = 2を差し込む。 この2つの級数はy = 2xの代入によって関連している。
（E）和が1 + 2 + 4 + 8 + …に有限の値を割り当てていることは、一般法が完全に正則でないことを示している。 一方、安定性や線形性など、和算法として望ましい他の性質も備えている。 後者の2つの公理は、以下の操作を成立させるので、実際には和が-1であることを強制する。
s = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ) = 1 + 2 s {displaystyle {begin{array}{rcl}s&=&}displaystyle 1+2+4+8+16+cdots \1+2(1+2+4+8+cdots )\2send{array}}} {displaystyle 1+2(1+2+4+8+cdots )|displaystyle 1+2}}のようになります。
有用な意味で、s = ∞は方程式s = 1 + 2sの根です。 (例えば、∞はリーマン球上のメビウス変換z → 1 + 2zの二つの固定点のうちの一つです). もし、ある和算法が s に対して普通の数、つまり ∞ ではない数を返すことが分かっていれば、それは容易に決定される。 この場合、式の両辺から s を引くと 0 = 1 + s となり、s = -1 となる。
上記の操作は、十分に強力な和算法のコンテキスト以外で -1 を生成するために呼び出されるかもしれません。 基本的な収束和を含む最もよく知られた簡単な和の概念では、正の項の系列が負の値を持つことは不合理である。 発散的な幾何級数1 – 1 + 1 – 1 + ⋯でも同様の現象が起こり，整数の級数が整数でない和1/2を持つように見える． これらの例は、0.111…や特に0.999…のような繰り返し現れる小数の級数に同様の議論を適用することの危険性を示している。 0.111…=1/9、0.999…=1 を暗示するこれらの収束級数の議論は最終的に正当化されるが、基礎となる証明は無限和の解釈について慎重に考える必要がある。
この級数を実数とは異なる数体系、すなわち2進数で収束すると見ることも可能である。 2進数の級数として、この級数は解析的継続によって上で導かれたのと同じ和-1に収束する
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