連立一次方程式を解くために行列を使用する場合、行列の行に対して使用される 3 つの基本的な操作があります。 目標は通常、行列の左側部分が恒等行列のように見えるようにすることです。
3つの操作は次のとおりです。
- 行の入れ替え
- 行に数値を掛ける
- 行を足す
行の入れ替え
行を入れ替えて、新しい行列にすることができる。
→
上の例では、1行目を2行目に、2行目を3行目に、3行目を1行目に移動しています。 (
行と数値の掛け算
任意の行に数値を掛けることができます。 (これは、行のすべてのエントリに同じ数を掛けることを意味します。)
→ R 3 : 1 3 R 3
この例では、行列の行 3 に 1 3 を掛けました。 (これにより、3行目、3列目に必要な1が得られます。)
行の追加
2行を足し、その結果で1行を置き換えることも可能です。
例えば、最後の例で得られた行列で、2行目と3行目を項目ごとに足すことができます。
+ _
そして、2行目を結果で置き換えます。
→ R 2 : R 2 + R 3
行の倍数を足す
3つの操作しかないと言いましたが、実際にありますね。 しかし、最後の2つの操作を組み合わせて使うことで、行の倍数全体を他の行に追加することができ、より速く処理することができます。
1段下がって、行列ができました。
ここで、単に行2+行3を足すのではなく、行2+( 2 × 行3 ) :
+ _
そして行2を結果で置き換えます。
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
このようにすると、Row 2 , Column 3に0が入ります。
これをもう一度やると、2行目、1列目に0が入ります。 ここでは、行1を-2倍して、行2に加え、行2をその結果で置き換えます。
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
もう数ステップで、左の3×3の恒等式行列が得られます（したがって、この系が解けます）。
次のステップは、行2 + ( 4 × 行3 ) を追加して、行2 , 列3に0を得ることです。
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
次に、1行目 , 3列目に0が必要です。
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
最後のステップは、2番目の演算の応用で、行に数字を掛けるだけです。
→ 1 3 R 3
これで解は順序付きトリプル( 1 , 0 , – 2 )となりました。
重要な注意：元の行列で表される方程式が同一または平行線を表す場合、これらの行の操作を使用して恒等行列を得ることはできません。 この場合、解は存在しないか、あるいは系に無限に多くの解が存在することになります。