環 | Tomas Rosprim

数学的な意味での環とは、集合と二つの二項演算子と（それぞれ一般に加算と乗算と解釈される）を伴って、次の条件を満足することである。

1. 加法的連想性。すべての, ,

2.加法的可換性。すべての, ,

に対して。加法的同一性。すべての, ,

に対して、という要素が存在する。加法的逆行性(Additive inverse)。すべてのに対して、,

となるが存在する5. 左右分配性。すべての, , に対して、

6.乗法的連想性。すべての, について（この性質を満たす環を明示的に連想環と呼ぶこともある）。

条件1〜5は必ず必要である。非結合環も存在するが、事実上すべてのテキストで条件6も要求されている（Itô 1986, pp.1369-1372; p.418; Zwillinger 1995, pp.141-143; Harris and Stocker 1998; Knuth 1998; Korn and Korn 2000; Bronshtein and Semendyayev 2004）

また環には種々のオプション条件も満たされることがある。

7.乗法的可換性。すべての, について（この性質を満たす環は可換環と呼ばれる）、

8. 乗法的同一性(multiplicative identity): すべての, について、という要素が存在する（この性質を満たす環は単位環と呼ばれ、「同一性を持つ環」とも呼ばれる）、

9. 乗法的逆数。の各に対して、すべての, に対して、1を恒等要素とするような要素が存在する。

付加的性質6〜9をすべて満たす環を場と呼び、付加的性質6、8、9のみを満たすものを分割代数（またはスキュー場）と呼ぶ。

通常の慣習から離れ、（その定義の下で）環が付加的性質を含むことを要求する著者もいる。例えば、Birkhoff and Mac Lane (1996) は環が乗法的同一性を持つことを定義している（つまり、性質8）

ここで、特定の条件を欠く環の例をいくつか挙げておく。

1. 乗法的結合性を持たないもの（非結合代数の場合もある）：オクトニオン、OEIS A037292,

2. 乗法的可換性を持たないもの：オクトニオン、OEIS A037292,

3: 実数値行列、クォータニオン、

3. 乗法的同一性がない場合。偶数値整数、

4. 乗法的逆行列がない：整数

リングとは、ドイツ語の「Zahlring」（数字の輪）を略したものである。フランス語で指輪を意味するのはanneau、現代ドイツ語はRingで、どちらも（意外と知られていない）”指輪 “という意味です。フレンケル(1914)は環の最初の抽象的な定義を行ったが、この仕事はあまり影響を与えなかった。この言葉はヒルベルトによって、

新しい要素を順次掛けていくと、結局ループして既に生成されたもの、つまりは新しいがは整数のようになった環のことを指すようになったのである。すべての代数的数はこの性質を持ち、例えばは.

を満たす。環は少なくとも一つの要素を含まなければならないが、乗法同一性を含む必要はなく、可換である必要もない。 , 2, …の要素の有限環の数は、1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, …である。 (となる（OEIS A027623, A037234; Fletcher 1980）。とが素数の場合、大きさの環が2つ、大きさの環が4つ、大きさの環が11つ（Singmaster 1964, Dresden）、大きさの環が22つ、に対して大きさの環が52、に対して大きさの環が53ある (Ballieu 1947, Gilmer and Mott 1973; Dresden).