完全な証明は、互恵性（電磁気学）の記事を参照。 ここでは、均質な媒質の中で、アンテナの大きさに比べて大きな距離を隔てた2本のアンテナの近似に限定して、一般的な簡単な証明を示す。 最初のアンテナは、パターンが調査されるテストアンテナで、このアンテナはどの方向にも自由に向けることができます。
各アンテナは、特定のソースインピーダンスを持つ送信機と、同じ入力インピーダンスを持つ受信機（インピーダンスは2つのアンテナ間で異なっていてもよい）と交互に接続される。 その結果、送信機から受信機に転送される電力量は、2つの独立した要因の積として表すことができる。1つは送信アンテナの指向性特性に依存し、もう1つは受信アンテナの指向性特性に依存する。
, 距離r{displaystyle r}における放射電力密度
アンテナからの距離（単位面積を通過する電力）は W ( θ , Φ ) = G ( θ , Φ ) 4 π r 2 P t {displaystyle \mathrm {W}} となります。 (\theta ,\Phi )={frac { {mathrm {G}}. (\theta ,\Phi )}{4pi r^{2}}}P_{t}}.
.
ここで、角度 θ {displaystyle \theta } は、次のようになります。
and Φ {displaystyle \Phi }.
はアンテナからの方向依存性を示し、P t {displaystyle P_{t}} は、アンテナからの方向依存性を示す。
は送信機がマッチド・ロードに供給する電力を表す。 利得G { {displaystyle G}} は、送信機がマッチドロードに供給する電力を表します。
は、アンテナ利得（電力の方向性再配分）、放射効率（アンテナでのオーミック損失）、最後にアンテナと送信機のミスマッチによる損失の3要素に分解されることがあります。 厳密には、ミスマッチを含めるために、実現利得と呼ぶべきですが、これは一般的な使い方ではありません。
受信アンテナの場合、受信機に送られる電力は
P r = A ( θ , Φ ) W {displaystyle P_{r}= Mathematicsrm {A} となる。 (\theta ,\Phi )W,}
.
Here W {displaystyle W} .
は入射放射のパワー密度、A {displaystyle A} は入射放射のパワー密度である。
はアンテナ開口部またはアンテナの有効面積（観測された捕捉電力を遮断するためにアンテナが占有する必要のある面積）である。 方向性の引数は、現在、受信アンテナに対する相対的なものであり、再びA {displaystyle A} が使用されます。
はオーミック損失とミスマッチ損失を含むように取られます。
これらの式をまとめると、送信機から受信機に伝達される電力は
P r = A G 4 π r 2 P t {displaystyle P_{r}=A{frac {G}{4pi r^{2}}}P_{t}} である。
,
ここで、G {displaystyle G} は。
と A {displaystyle A} があります。
はそれぞれ送信アンテナ、受信アンテナの方向依存特性である。 基準アンテナ（2）から試験アンテナ（1）への送信は、P 1 r = A 1 ( θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {displaystyle P_{1r}=\mathrm {A_{1}} {displaystyle P_{1r}= θ , Φ ) G 2 4 π r 2 P 2 t {displaystyle P_{2t (\theta ,\Phi ){frac {G_{2}}{4pi r^{2}}}P_{2t}} {frac {G_{2}}{4pi r^{2}}} P_{2t
,
and for transmission in opposite direction
P 2 r = A 2 G 1 ( θ , Φ ) 4 π 2 r P 1 t {displaystyle P_{2r}=A_{2}{frac {mathrm {G_{1}}} (\theta ,\Phi )}{4pi r^{2}}}P_{1t}}.
.
ここで、ゲインG 2 {displaystyle G_{2}} は
と有効面積A 2 {displaystyle A_{2}} があります。
のアンテナ2の方向は固定であり、これはこのアンテナの方向が第1アンテナに対して固定だからである。
ここで、与えられたアンテナの配置に対して、互恵定理は、電力伝達が各方向に等しく有効であることを要求する、すなわち、
P 1 r P 2 t = P 2 r P 1 t {displaystyle {}frac {P_{1r}}{P_{2t}}={}frac {P_{2r}}{P_{1t}}}} である。
,
whence
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = A 2 G 2 {displaystyle {frac {mathrm {A_{1}}} (\theta ,\Phi )}{mathrm {G_{1}} (\theta ,\Phi )}}={frac {A_{2}}{G_{2}}} ｝
.
しかし、この式の右辺は固定されているので（アンテナ2の向きが固定されているので）、
A 1 ( θ , Φ ) G 1 ( θ , Φ ) = c o n s t a n t {displaystyle {frac {mathrm {A_{1}} }} となる。 (\theta ,\Phi )}{mathrm {G_{1}}
,
すなわち、（受信）有効口径の方向依存性と（送信）利得は同一である（QED）。 さらに、比例定数はアンテナの性質に関係なく同じであるから、すべてのアンテナで同じでなければならない。 特定のアンテナ（ヘルツ型ダイポールなど）を解析すると、この定数は λ 2 4 π {displaystyle {Chefrac {lambda ^{2}}{4pi }} であることがわかる。｝
, where λ {displaystyle \lambda } }.
は自由空間の波長である。 したがって、任意のアンテナについて利得と有効口径はA ( θ , Φ ) = λ 2 G ( θ , Φ ) 4 π {displaystyle \mathrm {A} で表される。 (\theta ,\Phi )={frac { {lambda ^{2}} }}mathrm {G}. (\theta ,\Phi )}{4pi }}}。
.
受信アンテナでも、有効口径を特定するよりも利得を記載する方が普通である。 したがって、受信機に送られる電力は、通常、P r = λ 2 G r G t ( 4 π r ) 2 P t {displaystyle P_{r}={frac {lambda ^{2}G_{r}G_{t}{(4π r)^{2}}}P_{t}} と書かれる。｝
(リンク予算参照)。
Practical consequencesEdit
- コンピュータシミュレーションにより受信アンテナのパターンを決定する場合、すべての入射角に対する計算を行う必要はない。
- 測定によってアンテナのパターンを決定する場合、アンテナは受信用でも送信用でもよく、都合のよいほうを選べばよい。