Ci sono 3 operazioni di base utilizzate sulle righe di una matrice quando si utilizza la matrice per risolvere un sistema di equazioni lineari. L’obiettivo è di solito quello di ottenere la parte sinistra della matrice per assomigliare alla matrice identità.
Le tre operazioni sono:
- Scambiare le righe
- Moltiplicare una riga per un numero
- Aggiungere righe
Scambiare le righe
È possibile scambiare le righe di una matrice per ottenere una nuova matrice.
→
Nell’esempio mostrato sopra, spostiamo la riga 1 nella riga 2, la riga 2 nella riga 3 e la riga 3 nella riga 1. (La ragione per fare questo è di ottenere un 1 nell’angolo in alto a sinistra.)
Moltiplicando una riga per un numero
Puoi moltiplicare qualsiasi riga per un numero. (Questo significa moltiplicare ogni voce nella riga per lo stesso numero)
→ R 3 : 1 3 R 3
In questo esempio, abbiamo moltiplicato la riga 3 della matrice per 1 3 . (Questo ci dà l’1 di cui abbiamo bisogno nella riga 3, colonna 3.)
Aggiunta di righe
Potete anche aggiungere due righe insieme, e sostituire una riga con il risultato.
Per esempio, nella matrice che è risultata nell’ultimo esempio, possiamo aggiungere le righe 2 e 3 insieme, voce per voce:
+ _
Poi, sostituiamo la riga 2 con il risultato.
→ R 2 : R 2 + R 3
Aggiunta di multipli di righe
Abbiamo detto che ci sono solo tre operazioni, e ci sono. Ma usando le ultime due operazioni in combinazione, possiamo aggiungere multipli interi di righe ad altre righe, per rendere le cose più veloci.
Indietro di un passo, così abbiamo la matrice:
Ora invece di aggiungere solo la riga 2 + la riga 3, aggiungete la riga 2 + ( 2 × riga 3 ):
+ _
Poi sostituite la riga 2 con il risultato.
→ R 2 : R 2 + 2 R 3
In questo modo, otteniamo uno 0 nella riga 2 , colonna 3 .
Possiamo farlo di nuovo per ottenere uno 0 nella riga 2, colonna 1. Qui, moltiplichiamo la riga 1 per – 2 , aggiungiamo la riga 2 , e sostituiamo la riga 2 con il risultato.
→ R 2 : – 2 R 1 + R 2
Mostriamo qualche altro passo, per ottenere la matrice 3 × 3 identità a sinistra (e quindi risolvere il sistema).
Il prossimo passo è quello di aggiungere la riga 2 + ( 4 × riga 3 ) per ottenere uno 0 nella riga 2 , colonna 3 .
→ R 2 : R 2 + 4 R 3
Successivamente, abbiamo bisogno di uno zero nella riga 1 , colonna 3 .
→ R 1 : R 1 – 2 R 3
L’ultimo passo è solo un’applicazione della seconda operazione, moltiplicando una riga per un numero.
→ 1 3 R 3
Ora abbiamo la soluzione come tripla ordinata ( 1 , 0 , – 2 ) .
Nota importante: se le equazioni rappresentate dalla vostra matrice originale rappresentano linee identiche o parallele, non sarete in grado di ottenere la matrice identità usando queste operazioni di riga. In questo caso, la soluzione o non esiste o ci sono infinite soluzioni al sistema.